两角和与差的余弦、正弦和正切


第五章 三角比

5.3.3 同角三角比的关系和诱导公式

5.4.1 两角和与差的余弦、正弦和正切

一、两角差的余弦公式推导
设 ? , ? 的终边与单位圆 分别交于点 C , B C (cos ? ,sin ? ) B(cos ? ,sin ? )
?
C

? ??
D

y

B

?

将 ? , ? 同时旋转角 ? ? 后交单位圆于 D, A D(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) A(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) 即 A(1, 0) 显然 | CB |?| DA |

O

A

x

一、两角差的余弦公式推导 C (cos ? ,sin ? ) B(cos ? ,sin ? )
D(cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) A(1, 0)

| CB | ? (cos ? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? )
2 2

2

? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )

| DA | ? [cos(? ? ? ) ?1] ? [sin(? ? ? ) ? 0]
2 2

2

? 2 ? 2cos(? ? ? )

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
思考 如何得到 cos(? ? ? ) ? ?

二、两角和与差的余弦公式 对于任意角 ? , ? 都成立:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
此公式叫做两角差的余弦公式,一般记作C? ? ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
此公式叫做两角和的余弦公式,一般记作C? ? ?

例1.利用 C? ? ? ,计算 cos15 ,cos 75 的值.

?

?

解:cos15 ? cos(45 ? 30 )
? ? ?

? cos 45 cos30 ? sin 45 sin 30
? ? ?

?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 ? ? ? cos75 ? cos(45 ? 30 )
? cos 45 cos30 ? sin 45 sin 30
? ? ? ?

2 3 2 1 6? 2 解毕 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4

4 ? 5 例2.已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? 是 5 2 13 第三象限角,求 cos(? ? ? ) 的值.
分析:为了计算 cos(? ? ? ) ,应先计算什么? 4 ? sin 解: ? ? , ? ? ( , ? ) ,得 5 2 3 2 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5 5 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 13 12 2 sin ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13

4 ? 5 例2.已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? 是 5 2 13 第三象限角,求 cos(? ? ? ) 的值.
分析:为了计算 cos(? ? ? ) ,应先计算什么? 3 12 续解: ? ? ? ,sin ? ? ? cos 5 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3 5 4 12 ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 5 13 5 13 33 解毕 ?? 65

课堂练习 1.计算: cos105? 2. 证明: cos(

3 求:cos(? ? ? )

? ? ) ? sin ? , cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 2 3? 3 3? 3. sin ? ? ? , ? ? (? , ), cos ? ? , ? ? ( , 2? )
2 4 2

?

?

4.化为一个三角比: 1 3 (1) cos ? ? sin ? 2 2 (2) cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

课堂练习答案 ? ? ? 1. cos105 ? cos(60 ? 45 ) ?
? ? ?

2? 6 cos 60 cos 45 ? sin 60 sin 45 ? 4 ? ? ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? 2. 证: 2 2 2 ? sin ?
?

用 ?? 替换 ? 带入上式可得:

cos( ? ? ) ? sin(?? ) ? ? sin ? 证毕 2

?

课堂练习答案 2 5 7 3 ,sin ? ? ? ,cos ? ? 3. sin ? ? ? ,cos ? ? ? 3 3 4 4 2 7 ?3 5 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 12 4.化为一个三角比:

1 3 (1) cos ? ? sin ? ? cos 60? cos ? ? sin 60? sin ? 2 2 ? ? cos(60 ? ? ) (2) cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ?

第五章 三角比

5.4.1 两角和与差的余弦、正弦和正切

5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切

一、角 ? 与 角? 与

?
2

? ? 的三角函数值的关系

?
2

? ? 终边关于直线 y ? x 对称.
?
y

第V组诱导公式

sin(

?

2
P'

??

cos( ? ? ) ? sin ? 2 tan( ? ? ) ? cot ? 2

?

2

? ? ) ? cos?

1

P
O M' M

?
x

?

二、角 ? 与

?
2

? ? 的三角函数值的关系
?
2 ??
y

第VI组诱导公式

sin( ? ? ) ? cos? 2 cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 tan( ? ? ) ? ? cot ? 2

?

?

P' 1 P
M' O

?
x

M

?

还有哪些推导上面公式的方法?

0? ~ 45?之间的角的三角比. 例1.将下列三角比化为
(1)sin 68 ? sin(90 ? 22 ) ? cos 22
?

?

?

?

(2) cos 75 ? cos(90 ? 15 ) ? sin15
?

?

?

?

(3) sin121 ? sin(90? ? 31? ) ? cos 31?
?

(4) tan136 ? tan(90 ? 46 ) ? ? cot 46
?

?

?

?

例2.利用诱导公式证明:

? 3 (1) sin( ? ? ? ) ? ? cos ? (2) cos(? ? ) ? sin ? 2 2 3 ? ? 证: sin( ? ? ? ) ? sin[? ? ( ? ? )] ? ? sin( ? ? ) 2 2 2 ? ? cos?
cos(? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2
证毕

?

?

1 ? 例3.已知 cos(60 ? ? ) ? ,求 sin(30 ? ? ) 的值. 3
?

解:? (30 ? ? ) ? (60 ? ? ) ? 90
? ? ? ?

? ?

?sin(30 ? ? ) ? sin[90 ? (60 ? ? )]
1 ? cos(60 ? ? ) ? 3
?

解毕

注意观察“已知角”与“未知角”的关系!

课堂练习: ? ? 1.将下列三角比化为 0 ~ 45 之间的角的三角比.

5 (1) sin115 (2) cos105 (3) tan ? 3 ? ? ? 2.若 sin 53.13 ? 0.8 求 cos143.13 ,cos 216.87 ? 3? ? sin( ) ? tan( ? ? ) 3.化简: ? ? ) ? cos(? ? 2 2 2 3? 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? ,sin( ? ? ) ? ? cos ? 4.证明:
?
?

? 1 ? 5.若 sin( ? x ) ? ? , x ? (0, ) ,求 sin( ? x ) 4 4 5 2

?

2

2

课堂练习答案 ? ? 1. (1) sin115 ? cos 25

(2) cos105 ? ? sin15
?

?

5 2 ? (3) tan ? ? tan ? ? ? cot 3 3 6 cos143.13? ? ?0.8, cos 216.87? ? ? 0.8 2. ? 3? ? ) ? tan( ? ? ) 3. sin(? ? ) ? cos(? ? 2 2 2 2 ? cos ? ? (? sin ? ) ? cot ? ? ? cos ?

课堂练习答案 3? 3? cos( ? ? ) ? ? sin ? ,sin( ? ? ) ? ? cos ? 4.证明: 2 2 3? ? ? 证: cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 2 3? ? ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ? cos? 2 2 2 ? ? 1 ? 5.若 sin( ? x ) ? ? , x ? (0, ) ,求 sin( ? x ) 4 4 5 2 ? 1 ? 1 解: sin( ? x) ? ? ? cos( ? x) ? ? 4 5 4 5 ? 2 6 ? ? 3? ? sin( ? x) ? 解毕 ? ? ?x? 4 5 4 4 4

第五章 三角比

5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切

5.4.3 两角和与差的余弦、正弦和正切

一、两角和与差的正弦公式的推导

sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ) ? ? ] 2 2 ? ? ? cos( ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ) sin ?
2 2

?

?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 替换 ? ,得: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

二、两角和与差的正弦公式 对于任意角 ? , ? 都成立:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
此公式叫做两角和的正弦公式,一般记作 S? ? ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
此公式叫做两角差的正弦公式,一般记作 S? ? ?

3 例1.已知 cos ? ? ? , ? ? (0, ? ) , 5 ? ? 求 sin(? ? ),sin( ? ? ) 的值. 6 4 4 2 解: ? ? 1 ? cos ? ? sin 5 ? ? ? sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin 6 6 6
4 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? (? ) ? ? 5 2 5 2 10

3 例1.已知 cos ? ? ? , ? ? (0, ? ) , 5 ? ? 求 sin(? ? ),sin( ? ? ) 的值. 6 4 4 2 解: ? ? 1 ? cos ? ? sin 5 ? ? ? sin( ? ? ) ? sin cos ? ? cos sin ? 4 4 4
2 3 2 4 7 2 ? ? (? ) ? ? ?? 2 5 2 5 10
解毕

例2.利用 S? ? ? 化为一个三角比: (1) sin 43 cos 20 ? cos 43 cos 70
? ? ? ?

1 3 (2) sin ? ? cos ? 2 2 ? ? ? ? 解: (1) 原式= sin 43 cos 20 ? cos 43 sin 20 ? ? ? ? sin(43 ? 20 ) ? sin 63 ? ? (2) 原式= sin ? cos ? cos ? sin 3 3 ? ? sin(? ? ) 解毕 3

4 12 cos 例3. 已知 ?ABC 中, A ? , cos B ? 5 13 求 sin C 的值.
? 解: A ? B ? C ? ? ?sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) 3 5 ? A, B ? (0, ? ) ? sin A ? ,sin B ? 5 13 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 3 12 4 5 56 ? ? ? ? ? 解毕 5 13 5 13 65

思考 如果知道两个内角的正弦值?

课堂练习: S? ? ? ,计算 sin15? ,sin105? 的值. 1.利用

3? 2? 3? 2? (1) sin cos ? cos(? ) sin(? ) 7 5 7 5 2 2 ? ? (2) sin 60 ? cos 60 2 2 2 2 sin( 3.求证: ? ? ? )sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? 1 4.已知 cos(? ? ) ? ? , ? 是锐角,求 sin ? 的值. 6 4

2.利用 S? ? ? 化为一个三角比:

课堂练习答案: ? ? ? 1. sin15 ? sin(45 ? 30 )

? sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4 ? ? ? sin 75 ? sin(45 ? 30 )
? sin 45 cos30 ? cos 45 sin 30
? ? ? ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4

3? 2? 3? 2? 2.(1) sin cos ? cos(? ) sin(? ) 7 5 7 5 3? 2? 3? 2? 29? ? sin cos ? cos sin ? sin 7 5 7 5 35 2 2 ? ? (2) sin 60 ? cos 60 2 2 ? ? ? ? ? ? sin 60 cos 45 ? cos 60 sin 45 ? sin15
3.证: 左边= sin

? cos ? ? cos ? sin ? 2 2 2 2 ? (1 ? cos ? )cos ? ? cos ? (1 ? cos ? ) 2 2 ? cos ? ? cos ? =右边 证毕
2 2 2 2

1 4.已知 cos(? ? ) ? ? , ? 是锐角,求 sin ? 的值. 6 4 ? ? 2? ? ? ?? ? ? 解: ? sin(? ? ) ? 0 6 6 3 6 ? ? 15 2 sin(? ? ) ? 1 ? cos (? ? ) ? 6 6 4 ? ? sin ? ? sin[(? ? ) ? ] 6 6 ? ? ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6 15 3 1 1 3 5 ?1 解毕 ? ? ? (? ) ? ? 4 2 4 2 8

?

第五章 三角比

5.4.3 两角和与差的余弦、正弦和正切

5.4.4 两角和与差的余弦、正弦和正切

回顾
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

tan(? ? ? ) ? ? tan(? ? ? ) ? ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

能否用 tan ? , tan ? 表示 tan(? ? ? )?

一、两角和与差的正切公式的推导
sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ?

当 cos ? cos ? ? 0 时,分子分母同除以 cos ? cos ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

? ? 替换 ? ,得:
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

二、两角和与差的正切公式 对于? , ? ? k? ?

?

2 tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

, k ? Z 成立:

此公式叫做两角和的正切公式,一般记作 T? ? ?

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

此公式叫做两角差的正切公式,一般记作T? ??

例1.求下列各式的精确值.

tan17 ? tan 43 (1) tan 75 (2) ? ? 1 ? tan17 tan 43 ? ? ? 解: (1) tan 75 ? tan(45 ? 30 ) 3 1? ? ? tan 45 ? tan 30 3 ? 2? 3 ? ? ? ? 1 ? tan 45 tan 30 3 1? 3 ? ? ? (2)原式= tan(17 ? 43 ) ? tan 60 ? 3
? ?
?

解毕

例2.已知 tan(? ?

?
6

) ? ?2 ,求 tan ? 的值.

3 tan ? ? ? 3 ? ?2 解: tan(? ? ) ? 6 3 1? tan ? 3 解得 tan ? ? 8 ? 5 3
解法二:tan ? ? tan[(? ?

?

)? ] 6 6

?

例3.已知三个相同的正方形, 求证: ? ? ? ?

?
4
?

?

? 1 1 证: ? ? , tan ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) tan 2 2 3 tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? ?1 1 ? tan ? tan ? ? ?? , ? ? (0, ) ?? ? ? ? (0, ? ) 2 在区间 (0, ? )内,正切值为1的角只有一个, ? ? 证毕 即 tan ? 1 ,因此 ? ? ? ? 4 4

tan 5 ? cot 50 1 ? tan 75 (3) (1) tan15 (2) ? ? ? 1 ? tan 5 ? cot 50 1 ? tan 75 2.已知 tan(? ? ? ) ? ?2, tan ? ? 3 ,求 tan ?
? ? ?
?

课堂练习: 1. 求下列各式的精确值:

3.在 ?ABC 中,若 tan A, tan B 是方程

的两个根,求证: ? 45? x ? 6x ? 7 ? 0 C ? 4.若 ? ? ? ? 45 ,求 (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) 的值.
2

课堂练习答案: 1. 求下列各式的精确值:

(1) tan15 ? tan(60 ? 45 ) ? 2 ? 3
?

?

?

1 ? tan 75? ? ? (2) ? tan(45 ? 75 ) ? ? 3 ? 1 ? tan 75 ? ? tan 5 ? cot 50 ? (3) ? tan(5 ? 40 ) ? 1 ? ? 1 ? tan 5 ? cot 50
2.已知 tan(? ? ? ) ? ?2, tan ? ? 3,求 tan ?

tan ? ? tan[? ? (? ? ? )] ? ?1

课堂练习答案:

3.在 ?ABC 中,若 tan A, tan B 是方程
的两个根,求证: ? 45? x ? 6x ? 7 ? 0 C
2

证: C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B ) ? 1 tan

? 0 ? C ? 180 ?C ? 45 ? 4.若 ? ? ? ? 45 ,求 (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) 的值. 原式= tan ? tan ? ? (tan ? ? tan ? ) ? 1 ? tan ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? 1 ?2
? ? ?

第五章 三角比

5.4.4 两角和与差的余弦、正弦和正切

5.4.5 两角和与差的余弦、正弦和正切
辅助角公式

回顾 把下列各式化为一个三角比
2 sin ? ? 2 1 cos ? ? 2 2 cos ? ? sin(? ? 45? ) 2 3 ? ? sin ? ? cos(60 ? ? ) ? sin(30 ? ? ) 2

思考
sin ? ? cos ? ? 2( 2 sin ? ? 2 cos ? ) ? 2 sin(? ? 45? ) 2 2 3 4 3sin ? ? 4 cos ? ? 5 ? ( sin ? ? cos ? ) ? 5sin(? ? ? ) 5 5 4 3 其中 sin ? ? , cos ? ? 5 5

一、辅助角公式 一般地,对于任意非零实数 a , b ,成立:

a sin ? ? b cos ? ? a2 ? b2 sin(? ? ? )
其中 ? 叫做辅助角,满足:

cos ? ?

a a ?b
2 2

,sin ? ?

b a ?b
2 2

通常取 0 ? ? ? 2? 或 ?? ? ? ? ?

例1.把下列各式化为 A sin(? ? ? ) ( A ? 0) 的形式 (1) 2sin ? ? 2 cos ? (2) 3 sin ? ? cos ? (3) 5sin ? ? 12 cos ? 解: (1) 2 2(cos 45? sin ? ? sin 45? cos ? )

? 2 2 sin(? ? 45 ) ? ? ? (2) 2(cos sin ? ? sin cos ? ) ? 2sin(? ? ) 6 6 6 5 12 (3) 13( sin ? ? cos ? ) ? 13sin(? ? ? ) 13 13 12 5 其中 sin ? ? , cos ? ? 13 13
?

例2.已知 ? ? R ,求 sin ? ? cos ? 的最值,并指 出相应的? 值. 解: sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?

3? 当 ? ? ? 2k? ? ,即 ? ? 2k? ? ,k ?Z 时 4 2 4

?

?

4

)

(sin ? ? cos ? )max ? 2 ? ? ? 当 ? ? ? 2k? ? ,即 ? ? 2k? ? , k ? Z 时 4 2 4 (sin ? ? cos? )min ? ? 2
解毕

课堂练习: 1.把下列各式化为 A sin(? ? ? ) ( A ? 0) 的形式 (2) cos ? ? sin ? (1) sin ? ? 3 cos ? (3) 2sin ? ? 3cos ?

? ? sin( 2.化简: ? ? ) ? cos(? ? ) 4 4 ? ? 3. 求 sin( ? 2? ) ? cos( ? 2? ) 的最大值. 3 3 2 4.已知? ? (0, ? ),sin ? ? cos? ? , 3 ? 求 cos(? ? ) 的值. 12

3? 1.(1) 2sin(? ? ) (2) 2 sin(? ? ) 3 4 2 13 3 13 (3) 13 sin(? ? ? ),cos ? ? ,sin ? ? 13 13
2. 2 sin ?

课堂练习答案:

?

2? 6 ? 2? 6 sin( ? 2? ) 最大值为 3. 2 4 2 ? ? ? 1? 2 6 4. cos(? ? ) ? cos[(? ? ) ? ] ? 6 12 4 6


相关文档

更多相关文档

两角和与差的余弦,正弦,正切
两角和与差的余弦,正弦正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
两角和与差的余弦正弦正切练习
两角和与差的余弦正弦正切教案
两角和与差的余弦正弦正切基础练习
两角和与差的余弦,正弦,正切 课件
18 两角和与差的余弦、正弦、正切的应用(一)
两角和与差的余弦正弦正切基础练习[1]
20 两角和与差的余弦、正弦、正切的应用(三)
5.4两角和与差的余弦正弦正切
两角和与差的余弦、正弦和正切
3.1.1两角和与差的余弦公式
高一数学教案:课____题§4.6.6____两角和与差的余弦、正弦、正切(六)_
两角和与差的余弦,正弦,正切
电脑版