用3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式


3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

温 故 知 新

1.cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=
sinαcosβ-cosαsinβ

tan(α+β)= tan ? ? tan ?

1 ? tan ? tan ? tan(α-β)= tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

温 故 知 新

2.sin21° cos39° +cos21° sin39° 等于( C ) 2 A. 2 1 B.2 3 C. 2 D. 1
C

一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 β α 练习 1: 2sin 15° cos 15° =________. α+ +β β) (α )= 在公式 sin sin( =sin sin α αcos cos β β+ +cos cos α αsin sin β β 中,令 中,令 β= = α, , 、余弦、正切公式 、余弦、正切公式 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 α+ β)=sin ,这就是二倍角的正弦公式; ( 在公式 sin αβ cos β +cos αsin β 中,令 β=α, 得到 sin 2 α = ________ 2α 2α =sin αcos β+cos αsin 2sin β 中,令 = α , αcosα 练习 2:cos -sin =________. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 α+ ( ) sin αcos β+cos αsin ββ 中,令 βcos =αβ , 在公式 sin =sin α +cos αsin β 中,令 β=α, 2 2 得到 sin 2 α = ________ ,这就是二倍角的正弦公式; α + β ( ) 在公式 cos cos(α+β)= =cos cos α αcos cos β β- -sin sin α αsin sin β β 中,令 中,令 β β= =α α, , ___,这就是二倍角的正弦公式; 在公式 +β)sin (α 式 sin =sin α cos β+cos,这就是二倍角的正弦公式; αsin β 中,令 β=α, 2tan 2α ___ ,这就是二倍角的正弦公式; 得到 2 α = ________ 得到 cos 2 α = ________ ,这就是二倍角的余弦公式, =cos αcos β - sin α sin β 中,令 β = α , (= 在公式 cos αcos β-sin αsin β 中,令 β=α, 2 =________. α+ β)=cos ,这就是二倍角的余弦公式, 练习 3: 得到 cos 2α ________ 1-tan 2α sin α = ________ ,这就是二倍角的正弦公式; 其变形形式有: cos 2α= ________ = ________ ; β=α, α+ β ( ) ____ ,这就是二倍角的余弦公式, = cos2 α cos β - sin α sin β 中,令 β = α , 在公式 cos = cos α cos β - sin α sin β 中,令 2 2 得到 cos 2α=________ ,这就是二倍角的余弦公式, cos sin α 其变形形式有: cos α 2- α= ________ =________; s 2α = = ;,这就是二倍角的余弦公式, α+β) (________ 式 cos =cos αcos β-sin αsin β 中,令 β=α, ___ ,这就是二倍角的余弦公式, 得到 cos 2α________ = ________ 其变形形式有:cos 2α=________=________; 2cos2α- 1________; cos 2α = ________ ,这就是二倍角的余弦公式, 2α= ________ =________ ; 其变形形式有: cos 2 α=________ =

一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式

得到 tan 2α=________,这就是二倍角的正切公

2α 1-2sin; 形形式有:cos 2α=________=________ tan α + tan β tan α + tan β α + β ( ) 在公式 tan = 中,令 = α , 在公式 tan(α+β)= 中,令β β = α , 1 - tan α tan β 1-tan αtan β tan α+tan β = 中,令 β=α, 得到 tan 2 α = ________ ,这就是二倍角的正切公式. 1-tan αtan β 2α=________ 得到 tan ,这就是二倍角的正切公式.

练习 : 2sin cos = ________. ____,这就是二倍角的正切公式. 练习1 1 : 2sin15° 15° cos15° 15° = ________.

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 正弦 公式 sin2α= 2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α 2 2cos α - 1 =
2 1 - 2sin α =

简记 S(α+β) S2 α

余弦

C(α+β)

C2 α

正切

2tanα tan2α= 1-tan2α

T(α+β)

T2α

思考应用 1. 公式中的角是否为任意角? 2tan α 解析:注意 tan 2α= 2 这个公式,因为要使 1-tan α π π tan2α,tan α 有意义,即 2α≠ +kπ 且 α≠ +kπ,(k∈Z) 2 2 π 2 还有 1-tan α≠0 即 tan α≠± 1 从而推出 α≠ +kπ, 4 π kπ π (k∈Z)综上所述 α≠ + 且 α≠ +kπ,(k∈Z)而公 4 2 2 式 S2α、C2α 中,角 α 可以是任意角.

2.

练 习

D

C

练 习

2.倍角公式的拓展

1 2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1 sin2 α ; 2 1 2sin sin2 α ; 2sinα αcos cosα α= = sin2α α; ;sin sinα αcos cosα α= =2 sin2 α ; 1 sin2 2 2α;sinαcosα = sin2 α ; sin2 α 2 cosα=sin2 ; α 2sinα 1 sin2 cos = ; 2sin cos α = sin2 α;sinαcosα=2sin2α; cosα αα = ; 2sin α 2sin2α 2 cos α-sin α=cos2α; 2 2 2 2 cos α - sin α = cos2 α ; sin2 α cos α - sin α = cos2 α ; α= 2tan α2sinα; cos2αcos ; = tan2 α . 2 2 2tan α 2cos α-1=cos2α 1- tan 2tan α2α=tan2α. 2 2tan2α. = 2 1 - tan α cos α-α sin α=cos2α; 2α=cos2α 1- -2sin tan α. 1 2tanα 2 =tan2α. 1-tan α

(1)公式的逆用:

2.倍角公式的拓展

2.倍角公式的拓展

练 习

y ? A sin(? x ? ? ) ? b y ? A cos(? x ? ? ) ? b y ? A tan(? x ? ? ) ? b
这三个式子称为三角函数的标准式。 研究三角函数的性质,需先化为标准式. 三角函数的性质包括: 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、对 称性,等.

练 习

π 2π 1 .cos -sin 的值等于( 2. 12 12
2

) 2 D. 2

1 A. 2

B. 3
2

3 C. 2

π π 2π 解析:cos -sin =cos 2× 12 12 12 π 3 =cos = , 故选 C. 6 2 答案:C

练 习

α 4 α 3 2 .若 sin = ,cos =- ,则角 α 是( 3. 2 5 2 5 A.第一象限的角 C.第三象限的角 B.第二象限的角

)

D.第四象限的角 α α 解析:∵sin α=2sin cos 2 2 4 ? 3? 24 =2× × -5 =- <0, 5 ? ? 25 2α 2α cos α=cos -sin 2 2 3?2 ?4?2 7 ? = -5 - 5 =- <0, 25 ? ? ? ? ∴角 α 是第三象限角. 答案:C

练 习

π ? 55 ? 3 .(2011 年全国卷Ⅱ)已知 α∈ 2,π ,sin α= ? , 4. 55 ? ?

4 - 则 tan 2α=________. 3

sin 20° cos 20° 5. 4. 2 的值是( 2 cos 155° -sin 155° 1 A. 2

)

1 3 3 B.- C. D.- 2 2 2 1 sin 40° 2 sin 40° 解析:原式= = cos 310° 2cos(270° +40° )

5 4.解: ? ?( , ? ),sin ? ? ? , 2 5 1 ? tan ? ? , 2 2 tan ? 1 4 ? tan 2? ? ? ? . 2 1 ? tan ? 1 ? 1 3 4

?

sin 40° 1 = = . 2sin 40° 2 答案:A

练 习

5 .直接应用二倍角的正弦、余弦、正切公式求下列各式的值: 6. (1)sin 75° cos 75° ; 2tan 15° (3) . 2 1-tan 15° (2)cos215° -sin215° ;

1 1 解析:(1)sin 75° cos 75° = sin 150° = ; 2 4 3 2 2 (2)cos 15° -sin 15° =cos 30° = ; 2 2tan 15° 3 (3) =tan 30° = . 2 3 1-tan 15°

题型一 二倍角公式的简单应用 α π? 6sin α+cos α ? 已知 tan =2,求: (1)tan α+ 的值; (2) 的值. 2 4? ? 3sin α-2cos α α α 解析 解析: :(1) (1)∵ ∵tan tan2= =2 2, , π? 2 6sin α+cos α ? (1)tan α+4 的值; (2) 的值. α α ? ? 3sin α-2cos α 2tan 2tan2 2 4 2 2× ×2 2 4 ∴ = ∴ tan tan α α= = =1-4=- =-3; ; α 3 2α 1-4 1-tan2 2 π tan α+tan 4 π? ? 所以 tan α+4 = π ? ? 1-tan αtan 4

已知 tan =2,求: 2

练 习

3 ? 12 ? 1.(1)已知 cos α=- ,α∈ π, π , 求sin 2α,cos 2α,tan 2α之值. 13 ? 2 ? π? tan x ? (2)(2014年江苏卷)已知 tan x+4 =2,则 的值为________. tan 2x ? ? 3 ? 12 ? 解析:(1)∵cos α=- ,α∈ π,2π , 13 ? ? ∴sin α=- 1-cos2α 12?2 5 ? =- 1- -13 =- , 13 ? ? 5 ? ? 12? 120 ? ∴sin 2α=2sin αcos α=2× -13 × -13 = , ? ? ? ? 169 5 ?2 119 2 ? cos 2α=1-2sin α=1-2× -13 = , ? ? 169 sin 2α 120 tan 2α= = . cos 2α 119 4 (2) 9

题型二 利用二倍角公式化简与求值 例1 已知sinθ+cosθ=

2 3π 求 sin 2θ,cos 2θ的值. ,0<θ< , 2 4

2 解析:∵ ∵0 0< <sin sin θ θ+ +cos cos θ θ= = < <1 1, , 解析: 2 2 规律方法: 3π 3π, 且 0 < θ < 2 给出角的范围时,需根据三角函数 0<θ < , 2 4 cos且 θ = < 1 , 4 解析: ∵0<sin θ+cos θ= <1, 2 值进一步缩小角的范围,这在解题 2 3π π 3π ? ? 3π π<θ<3π,2θ∈?π, ?, ∴ ∴2<θ< 3π 中常常用到! 2 ?, 4 ,2θ∈?π, 2 2 4 且 0<θ< , 4 2 1 2 1 3π 将π sin θ θ+ +3π cos θ θ= = ? ,两边平方得 ,两边平方得 sin 2 2θ θ=- =- , , ? 3π? 将 sin cos sin π, 2 2 , 2 π, , 2 ∴ 22 ?<θ< 4 ,2θ∈ 2? ? 3 2 3 2 1 ∴cos cos 2 2θ θ=- =- 1 1- - sin 2 2θ θ=- =- . . 2 1 ∴ sin ,两边平方得 sin 2 θ =- , 2 将 sin θ+cos θ= ,两边平方得 sin 2θ=- , 2 2 2 3 2 3 2 sin ∴ 2θcos =- . 2θ2 =- 1-sin 2θ=- . 2

练 习

π? π 3π? 2 ? ? (1)求, sin x 的值; , . 2 .已知 cos x-4 = x∈ 1. 2 4? ? ? 10 ? π? ? (1)求 sin x 的值; (2)求 sin 2x+ 的值. 3? ? π 3π? π? ? ? 解析 :解法一 (1)因为 x∈ 2, 4 , 2x+ :的值. (2) 求 sin ? ? 3? ?
π ?π π? 所以 x- ∈ 4,2 , 4 ? ? π? ? 于是 sin x-4 = ? ? π? 7 2 ? 1-cos x-4 = ? ? 10
2

π? π? ? ? sin x=sin x-4 +4 ? ? ?? π? π π? π ? ? =sin x-4 cos +cos x-4 sin ? ? 4 ? ? 4 7 2 2 2 2 4 = × + × = . 10 2 10 2 5

练 习

π? π 3π? 2 ? ? (1)求, sin x 的值; , . 2 .已知 cos x-4 = x∈ 1. 2 4? ? ? 10 ? π? ? (1)求 sin x 的值; (2)求 sin 2x+ 的值. 3? ? π? 解法二:由题意得 ? (2)求 sin 2x+3 的值. ? 2 ? 2 2

2

cos x+

2

sin x=

10



1 即 cos x+sin x= . 5 2 2 2 又 sin x+cos x=1,从而 25sin x-5sin x-12=0, 4 3 解得 sin x= 或 sin x=- . 5 5 π 3π? ? 因为 x∈ 2, 4 , ? ? 4 所以 sin x= . 5

练 习

π? π 3π? 2 ? ? (1)求, sin x 的值; , . 2 .已知 cos x-4 = x∈ 1. 2 4? ? ? 10 ? π? ? (1)求 sin x 的值; (2)求 sin 2x+ 的值. 3? ? π π? 3π? ? ? , (2) 因为 ∈ , x+ (2) 求 sin x2 的值. 2 4 ? ? 3? ?

故 cos x=- 1-sin x=-

2

4?2 3 ? 1- 5 =- . 5 ? ?

24 7 2 sin 2x=2sin xcos x=- ,cos 2x=2cos x-1=- . 25 25 π? π π ? 所以 sin 2x+3 =sin 2xcos +cos 2xsin 3 3 ? ? 24+7 3 =- . 50

题型二 利用二倍角公式化简与求值

例2

化简三角函数式: 2cos8+2-2 sin8+1.

分析:将根号下的式子化为完全平方式,再开出来运算.

练 习

题型三 用倍角公式求值

例 求值:sin50° (1+ 3tan10° ).
规律方法:

(1)切弦混合时,要进行“切”化“弦”;
(2)(2)出现特殊值时,要化为特殊角. (3) (3)异角化同角.

练 习

题型四 二倍角公式与向量、函数综合问题 例 已知向量 a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值; 8 π (2)若 f(θ)=5,求 cos2(4-2θ)的值. 分析:用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.

练 习

练习

练习

练习

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