高考一轮复习:任意角、弧度制及任意角的三角函数


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第1讲

任意角、弧度制及任意角的三角函数

【2015 年高考会这样考】 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看,这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创 新,因此学习中要立足基础,抓好对部分概念的理解.

基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α| l =r,l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. l ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值r与所取的 r 的大小无关, 仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形=2lr=2|α|r2. 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0), y x y 那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α=r ,cos α= r ,tan α=x,它们都是
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以角为自变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P, 过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的 定义知,点 P 的坐标为(cos_α,sin_α),即 P(cos_α,sin_α),其中 cos α=OM, sin α=MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边 或其反向延长线相交于点 T,则 tan α=AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合
? ?β|β ? ? π =2+kπ,k∈Z? ; 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 ? ? ? ?. ? ?

? ? ? kπ ?β?β= ,k∈Z 2 ? ? ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别: 第一象限角、 锐角、 小于 90° 的角是概念不同的三类角,
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第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量 制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 4 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z) 9 B.k· 360° + π(k∈Z) 4 5π D.kπ+ 4 (k∈Z) ).

9π 9 解析 与 4 的终边相同的角可以写成 2kπ+4π(k∈Z),但是角度制与弧度制不能 混用,所以只有答案 C 正确. 答案 C 2.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 ). B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

解析 当 k=2m+1(m∈Z)时, α=2m· 180° +225° =m· 360° +225° , 故 α 为第三象 限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· 360° +45° ,故 α 为第一象限角. 答案 A

3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角

). B.第二象限角 D.第四象限角

解析 由 sin α<0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α>0 知 α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为(
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).

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5 A.- 5

2 5 B. 5

2 5 C.- 5

1 D.-2 -1 5 =- 5 . 5

解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α= 答案 A

5.(2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y) 2 5 是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=________. 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为 正,断定该角为第四象限角,∴y<0,sin θ= 答案 -8 y 2 5 2=- 5 ?y=-8. 16+y

考向一

角的集合表示及象限角的判定

【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 7 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与3角的终边相同的角; α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、2所在的象限. [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. π 解 (1)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是3, ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为
? ? ? π ?α?α= +kπ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

6π θ 2π 2kπ (2)∵θ= 7 +2kπ(k∈Z),∴3= 7 + 3 (k∈Z). 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 + 3 <2π?-7≤k< 7 ,k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 , 21 , 21 . (3)∵α 是第二象限角,
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∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z. ∴2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360° ,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α ∵k· 180° +45° <2<k· 180° +90° ,k∈Z, α 当 k=2m(m∈Z)时,m· 360° +45° <2<m· 360° +90° ; 当 k=2m+1(m∈Z)时, α m· 360° +225° <2<m· 360° +270° ; α ∴2为第一或第三象限角. (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同 的角有无数个,它们之间相差 360° 的整数倍. (2)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 3π 以表示为?x?x=2kπ-2 ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ+ 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α=-β B.α=180° +β C.α=k· 360° +β(k∈Z) D.α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z)

).

解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α-β=k· 360° ± 180° (k∈Z). ∴α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z). 答案 D 考向二 三角函数的定义

2 【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ. 解 由题意得,r= 3+m2,∴ m 2 2= 4 m,∵m≠0, 3+m

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∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ=r = =- 4 , 2 2 y tan θ=x= 15 =- 3 . - 3 5

当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan=x= = 3 . 2 2 - 3 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴 重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ=( 4 A.-5 3 B.-5 3 C.5 4 D.5 ).

5 解析 取终边上一点(a,2a), a≠0, 根据任意角的三角函数定义, 可得 cos θ=± 5 , 3 故 cos 2θ=2cos2θ-1=-5. 答案 B 考向三 弧度制的应用

【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓 形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α=∠AOB=60° =3.
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π (2)由(1)可知 α=3,r=10, π 10π ∴弧长 l=α· r=3×10= 3 , 1 1 10π 50π ∴S 扇形=2lr=2× 3 ×10= 3 , 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB=2· AB· 2 =2×10× 2 = 2 , ?π 3? ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积 公式要简洁得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的 弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积 最大? 解 设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40, 1 1 ?20? S=2lr=2r(40-2r)=r(20-r)≤? 2 ?2=100. ? ? 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ=2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形 面积最大. 考向四 三角函数线及其应用

【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: 3 (1)sin α≥ 2 ; 1 (2)cos α≤-2.

3 1 [审题视点] 作出满足 sin α= 2 ,cos α=-2的角的终边,然后根据已知条件确 定角 α 终边的范围. 解

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3 (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区 域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? π 2 ?α?2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的 区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ? 2 ?α?2kπ+ π 3 ? ? ? ? ? 4 ≤α≤2kπ+3π,k∈Z?. ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin2x).

1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

π π? ? ∴定义域为?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? (2)∵3-4sin2x>0, 3 ∴sin2x<4,
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3 3 ∴- 2 <sin x< 2 . 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π? ? ∴定义域为?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

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规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重 y x 合)的坐标为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x2+y2>0),则 sin α=r 、cos α=r 、 y tan α=x分别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数 值的函数,这样的函数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限确定, r 的符号始终为正,应用定义法解题时,要注意符号,防止出现错误.三角函数 的定义在解决问题中应用广泛,并且有时可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求 得 x,y,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论. 【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011· 龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x, - 2)(x≠0), 3 且 cos α= 6 x,求 sin α、tan α 的值. 只要确定了 r 的值即可确定角 α 经过的点 P 的坐标,即确定角 α 所在 的象限,并可以根据三角函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x2+2,(2 分) 3 又 cos α= 6 x, ∴cos α= x 3 = 6 x, x +2
2

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6 分)

当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sin α=- 6 ,tan α=- 5 ;(9 分) 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2),

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6 5 ∴sin α=- 6 ,tan α= 5 .(12 分) 当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终 边在过坐标原点的一条直线上时,在根据三角函数定义求解三角函数值时,就要 把这条直线看做两条射线,分别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值, 这两个角相差 2kπ+π(k∈Z), 当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种 情况. 4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α+cos α+5tan α. [尝试解答] 3 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α=-5,

4 3 cos α=5,tan α=-4, 4 3 4 4 ? 3? 故 sin α+cos α+5tan α=-5+5+5×?-4? ? ? 2 =-5; 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α=5,cos α=-5,tan α=-4. 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α+cos α+5tan α=5-5+5×?-4?=-5. ? ? 4 2 4 综上,sin α+cos α+5tan α 的值为-5或-5.

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