数列的通项公式和求和


求数列通项公式的常用方法

类型 1、

an?1 ? an ? f (n) 型,( f (n) 可求前 n 项和),
? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。
{an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N * )求通项公式。

利 0 用 an 例.已知 解:

an ? an?1 ? 2(n ? 1)

0

an?1 ? an?2 ? 2(n ? 2)
0

an?2 ? an?3 ? 2(n ? 3) …… a3 ? a 2 ? 2 ? 2
0

? a2 ? a1 ? 2 ?1
an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? n


an ? n2 ? n ? 1

变式 1.已知数列 {an } 满足 an?1

? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1

? an ? 2 ? 3n ?1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式 3. 已知数列 {an } 中,

a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an-1 (n ? 2) 求数列 ?an ? 的通项公式.
an ?1 ? an ? 1 n(n ? 1)

a ?满足 a 变式 4. 已知数列 ?
n

1

? 1,

,求

?an ?的通项公式。

1

类型 2、

an?1 ? f (n) ? an 型。
f (n) 是常数时,可归为等比数列。 f (n) 可求积,利用恒等式 a ? a a2 a3 ??? an (a ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为 n 1 n a1 a2 an?1

(1)若

(2)若

累乘法。

例 1:已知:

a1 ?

2n ? 1 1 an ? a n ?1 {a } 2n ? 1 3, ( n ? 2 )求数列 n 的通项。

an an?1 an?2 a3 a2 2n ? 1 2n ? 3 2n ? 5 5 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a an?2 an?3 a2 a1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 7 5 2n ? 1 解: n ?1
a n ? a1 ? 3 1 ? 2n ? 1 2n ? 1



变式 1. 已知 a1

? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.

变式 2. 已知数列 {an } 满足 a1 公式。

?1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项

?a ? a1 ? 3 , an?1 ? n ? 1 an ,求 an 。 变式 3. 已知数列 n 满足
变式 4. 已知

2

n

{an } 中,

a n ?1 ?

n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

2

类型 3、

an?1 ? kan ? b 型(其中 k、b 为常数, kb ? 0 , k ? 1 )


解:设

an?1 ? m ? k (an ? m)
?m?b


an?1 ? kan ? km ? m
b k ?1

比较系数: km

m?



{a n ?

b b } a1 ? k ? 1 是等比数列,公比为 k ,首项为 k ?1



an ?

b b ? (a1 ? ) ? k n ?1 k ?1 k ?1 b b ) ? k n ?1 ? k ?1 k ?1

∴ 例1

a n ? (a1 ?

已知数列

?an ? 中,

a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

【解析】:利用 (an

? x) ? 2(an?1 ? x) , an ? 2an?1 ? x ,求得 x ? 1 ,

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,? ?an ? 1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,
即 an

? 1 ? 2 ? 2n?1 , an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1
? 2 a n ? 4 ,且 a1 ? 1 求通项 an 3

变式 1.已知数 {an } 的递推关系为 a n ?1

2.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项

3

类型 4

an?1 ? kan ? an ? b 型
an?1 ? A(n ? 1) ? B ? k (an ? An ? B) an?1 ? kan ? (k ? 1) An ? (k ? 1) B ? A
?(k ? 1) A ? a ? ?(k ? 1) B ? A ? b
A?
解得:

解:可设 ∴

∴ ∴

b a a B? ? k ? 1 (k ? 1) 2 k ?1 ,

{an ? An ? B} 是以 a1 ? A ? B 为首项, k 为公比的等比数列
an ? An ? B ? (a1 ? A ? B) ? k n?1 an ? (a1 ? A ? B) ? k n?1 ? An ? B
1
将 A、B 代入即可

∴ ∴

例 1.

a ? 1 ,0 n ? 2 时, a n ? 2 a n ?1 ? 2n ? 1 ,求 {an } 的通项公式。 已知: 1
解:

1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] 2 设

an ?

1 1 1 1 a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ? ? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ?B ? 6


a1 ? 4 ? 6 ? 3
1 {an ? 4n ? 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列
1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 an ? 3 2 n ?1 ? 4n ? 6







变式 1 已知数列 {an } 满足 an?1 解:设 an?1 ? x(n ? 1)
2

? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z)
4

类型 5

an?1 ? kan ? q n 型 ( q ? 0 )
n ?1

等式两边同时除以 q

a n?1 k a n 1 ? ? n ? n ?1 q q q q 得

Cn ?


an qn

C n ?1 ?


k 1 Cn ? q q



{C n } 可归为 an?1 ? kan ? b 型

例 1. 已知

{an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2n ( n ? 2 )求 an 。

a n a n ?1 ? n ?1 ? 1 n n a ? 2 a ? 2 n?1 2 由 n 得2
{


an an 1 } ? ? (n ? 1) n 2 成等差数列, 2 n 2



an ? n ? 2 n ? 2 n?1

变式 1 已知数列 {an } 满足 an?1

? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

解:设 an?1 ? x ? 5

n?1

? 2(an ? x ? 5n )

5

类型 6

an ?1 ? Aan ? Bqn ( A、B、q 为常数,下同)型,
? ? ? q n?1 ? A(an ? ? ? q n ) 的形式.

可化为 an ?1 例 1.在数列

?an ?中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,求通项公式 an


解:原递推式可化为:

a ? ? ? 3n ? 2(a ? ? ? 3n ? 1) n ?1 n
比较系数得 ? 则数列

n n ?1 ) ? ?4 ,①式即是: an ?1 ? 4 ? 3 ? 2(a n ? 4 ? 3

.

{an ? 4 ? 3n?1} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2.



an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1



an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式 1. 已知数列 {an } 满足 an?1

变式 2. 已知数列 {an } 满足 an?1

? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

变式 3 已知数列 {an } 满足 an?1

? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

6

类型 7、 an ?1

?

can (c ? 0, d ? 0) an ? d
1 d 1 1 ? ? an ?1 c an c
的形式的方法叫倒数变换.

取倒数变成

例1

已知数列

?an ? (n ? N * ) 中,
?

a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1

【解析】:将 an ?1

?1? an 1 1 1 1 1 取倒数得: ? 2 ? ,? ? ? 2 ,? ? ? 是以 ? 1 a1 2an ? 1 an ?1 an an ?1 an ? an ?
1 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? . 2n ? 1 an

为首项,公差为 2 的等差数列.

例 2 已知

{an } 中, a1 ? 4 ,

an ? 4 ?

4 a n?1
(n

? 2 )求 an 。

an?1 ? 2 ? 2 ?
解:

4 2(an ? 2) ? an an

1


an?1 ? 2
1


?

an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2 ( n ? 1 )
? 1 1 1 ? bn ? a n ? 2 2 ( n ? 1 )设 an ? 2
1 ( n ? 1) 2

a n ?1 ? 2



bn ?1 ? bn ?



{bn } 是等差数列
1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? a n ? 2 a1 ? 2 2 2
an ? 2 ?2 n



变式 1.已知数列{ an }中 a1

? 1 且 a n ?1 ?

an (n? N ) an ? 1



,求数列的通项公式。

变式 2.数列

?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ?

2an , (n ? N ? ) an ? 2

变式 3.在数列{ a n }中, a 1 =1,

(n ? 1)an ?1 ? nan ,求 an 的表达式。
7

类型 8、 an? 2

? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)。
an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ?
给出的数列

(特征根法):对于由递推公式

?an ? , 方 程

x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, (1)当 x1
n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a 2 ? ? 决定(即 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2 n?1 ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得到关于 A、B 的方程组);

把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n (2)当 x1

? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即
? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组)。

把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n 3、

an ? 2 ? A ? an ?1 ? B ? an 型,可化为

an ? 2 ? ?an ?1 ? ( A ? ? ) ? (an ?1 ? ?an ) 的形式
例 1 在数列{ an }中, 1

a ? ?1, a2 ? 2 ,当 n ? N , an?2 ? 5an?1 ? 6an



求通项公式

an .
解:①式可化为:

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an )
比较系数得

? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:

an ? 2 ? 2an ?1 ? 3(an ?1 ? 2an )
则 ∴

{an?1 ? 2an } 是一个等比数列,首项 a2 ? 2a1 =2-2(-1)=4,公比为 3.

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 .利用上题结果有:

an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1 .
例 1 数列

?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
2

a1 ? a, a2 ? b ,求 an
2 , 3

解(特征根法):的特征方程是: 3x

? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ?

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3
8

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
变式 1. 已知数列

故 an

2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3

?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。
3 3

key : an ?

7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3

变式 2. 已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

类型 9、 Sn

? f (an )
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或 ?? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

解法:利用 an

与 Sn

? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。

例 1 已知无穷数列

?a n? 的前 n 项和为 Sn ,并且 a

n

? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式?
n 1 1? . an ,又 a1 ? 1 , an ? ? ? ? 2 2 ?2?

? Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ?
变式 1. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是
3

S n ? n(2n ? 1)an

,求 an

变式 2. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n 求数列 {a n } 的通项公式

? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .

变式 3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S ,其中 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 求数 ( n ? 1 ) b n? n 列 {a n } 的通项公式; 变式 4. 数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) .求数列 ?an ? 的通项 an
? 2an ? n ? 3 (n ? N * ) .

变式 5. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n 求数列 {a n } 的通项公式;

变式 6.

S n ? ( a n ? 2) 2 S {a } 8 已知在正整数数列 n 中,前 n 项和 n 满足

1

{a } (1)求证: n 是等差数列

b ? a n ? 30 ,求 {bn } 的前 n 项和的最小值 (2)若 n 2
9

1

数列求和(错位相减、裂项相消法)
裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1.数列

?an ?是等差数列,数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和. ? an an?1 ?

2 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

3、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (Ⅱ)设 bn

? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

10

4、已知等差数列

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(Ⅰ)求 an 及 Sn ;(Ⅱ)令 bn=

5、已知二次函数

y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和
?

为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N

) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn 数 m;

?

m 1 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 20 an an ?1

对所有 n ? N 都成立的最小正整

?

6、 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N 且b

?

, 点 (n ,

S )n

, 均在函数

y ? b x ? r (b ? 0

? 1, b, r 均为常数)的图像上.

(1)求 r 的值;

(2)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 T n

11

数列求和专项练习
1、 求数列 {

? 2n ?1? ? 3n}前n项和.

2、求数列

1 3 5 7 2n ?1 , , , , ??? , n 的前 n 项和. 2 4 8 16 2

3、求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

4、已知数列

?an ?的通项公式为 a n

?

1 n ?1 ? n

求它的前 n 项的和.

5、已知数列{ an }满足: a1

? 3a2 ? ? ? (2n ? 1)an ? (2n ? 3) ? 2n?1 , 数列 {bn }的前 n 项和

S n ? 2n 2 ? n ? 2.求数列 {an ? bn }的前n项和Wn .

6、在数列

?an ?中, a1 ? 1 ,

an ?

2S n (n ? 2). 2S n ? 1

2

证明数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求出 s n ? ?

Sn 的表

达式.

12

7、已知等差数列

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n .

(1)求 a n 及 S n ;

(2)令 bn

?

1 ? ( n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an 2 ? 1

8、已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, Sn ? an ( Sn ? 2 ) ;

1

(1)求 Sn , an (2)求

?Sn ? 的前 n 项和 Tn

9、已知在数列

?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? ? ?1 ?
?
,求数列

1? n ?1 ? an ? n n? 2

(1)设 bn

?

an n

?bn ? 的通项公式

(2)求数列

?an ? 的前 n 项和 Sn

13

10、已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (1)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o* (2)设 bn

? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

11、已知等差数列

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

(1)求 an 及 Sn ;

(2)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn an ? 1
2

12、已知二次函数

y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和
?

为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N

) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn 数 m;

?

1 , Tn 是数列 {bn } 的前 an an ?1

n 项和,求使得 Tn

?

m 20

对所有 n ? N 都成立的最小正整

?

13、已知数列 {a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n (I)求 an 与an?1 (n ?

?(

an ? 1 2 ) , 2

2) 之间的关系式,并求 {an } 的通项公式;

(II)求证

1 1 1 ? ??? ? 2. S1 S 2 Sn

14

15


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