2.4等比数列(2)


2.4 等比数列
(第2课时) 课时) 课时
数 数

2011 4 1 年 月 日

旧知回顾 1、等比数列的定义 、 一般的,如果一个数列从第2项起 项起, 一般的,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数 常数, 一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q 公比, 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示( 表示(q≠0)。 )。

an an+1 = q ( q ≠ 0, n ≥ 2) (或 = q) 定义式: 定义式: a n ?1 an
2、通项公式 、

an = a1q

n ?1 变形

可用来判定一个数列是 不是等比数列的主要依据

an=am qn-m

等差数列与等比数列的类比
等差数列 定义
首项、 首项、公差 公比) (公比)取 值有无限制

等比数列

an ? an?1 = d(n ≥ 2)

an = q(n ≥ 2) an?1

a1 ∈ R , d ∈ R
an = a1 + (n ?1)d
(1)an = am + (n ? m)d

a1 ≠ 0, q ≠ 0
an = a1q
n?1

通项 公式

(1)an = am q n ? m
则 am· an=as· ar . (3) an2=an-1· an+1 . (等比中项) 等比中项)

(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 若 ∈ 若 ∈ 主要 性质 则 am+an=as+ar . (3)2an=an-1+ an+1 . (等差中项) 等差中项) 等差中项

例1、 、

已知数列 {a n }为等比数列,且 a 3 = 9, a 6 = 243 , 求 a 5 .
解:由已知,得 由已知, 另解:由已知, 另解:由已知,得

? a1q 2 = 9 ① ? 5 ?a1 q = 243 ②

a6 243 3 =q = = 27 a3 9

②式除以①式得 q3 = 27
解之得

∴q = 3
∴ a5 = a3 q 2 = 9 × 32 = 81

q=3
4

∴ a5 = a1q = 81
基本量 法

运用通项变 形公式

例2、 、

在等比数列 {an }中,若 a2 ? a6 = 72, a3 + a5 = 18, 求 a1及q.

若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*), ∈ ) 则 am· an=as· ar .

练习: 练习:

(1)在等比数列{an }中,若a4 ? a8 = 9, 则 a2 ? a10 = 9 ,a6 = ±3 .
(2)在等比数列 {an }中,若 a4 ? a8 = 9, 则 a2 ? a3 ? a9 ? a10 = 81 .
(3)在正项等比数列 {an }中,若 a5 a6 = 81, 则log 3 a1 + log 3 a2 + L + log 3 a10的值是( C ) A.5 B.10 C .20 D.2

例3、 、

已知数列 {an }、bn } 是项数相同的等比数列, { 求证 {an ? bn } 是等比数列。

证明:设数列{a 的首项为 证明:设数列 n}的首项为 1 ,公比为 的首项为a 公比为p; 数列{bn}的首项为 1 ,公比为 的首项为b 公比为q, 数列 的首项为
an ? bn (a1 p n ?1 ) ? (b1q n ?1 ) 因为 = = n?2 n?2 an ?1 ? bn ?1 (a1 p ) ? (b1q )

pq

它是一个与n无关的常数, 它是一个与 无关的常数, 无关的常数
所以 {a n ? bn }是一个以 pq 为公比的等比数列。

例3、 、

已知数列 {an }、bn } 是项数相同的等比数列, { 求证 {an ? bn } 是等比数列。

你能利用本例的条件,构造其他数列吗? 你能利用本例的条件,构造其他数列吗?并判断 该数列是不是等比数列? 该数列是不是等比数列?
? an ? (1) ? 呢? ) ? ? bn ?

是不为0的常数 (2)c是不为 的常数,则{ c · an }呢? ) 是不为 的常数, 呢

{san ? rbn }呢?

? san ? ? ? 呢? ? rbn ?

完成课本第53页练习 完成课本第 页练习3 页练习

思考题: 思考题: (1) 已知等差数列 {an},试判断数列 {2 n }是不是等 比数列吗? 比数列吗? (2) 已知等比数列 {an},试判断数列{log2 an}是不是等 差数列吗? 差数列吗?
a

例4、已知三个数成等比数列,且其积为 、已知三个数成等比数列,且其积为512,若第一个 , 数与第三个数各减2,则成等差数列,求这三数。 数与第三个数各减 ,则成等差数列,求这三数。 a 解:设这三数为 , a, aq 对称设 q 法 a ? a =8 ? ? a ? aq = 512 ? ? q ? ∴? 1 ? ? 2a = ( a ? 2) + (aq ? 2) ?q = 2或q = 2 ? ? q
?

a 说明: (1)若三数成等比数列 且积已知, 则可设这三数为 q , a, aq 说明 若三数成等比数列, 积已知 若三数成等比数列 a a , , aq, aq 3 (2)若四数成等比数列 且积已知 则可设这四数为 3 若四数成等比数列, 积已知, 若四数成等比数列 q q

所以这三数为4 所以这三数为 , 8 , 16或16,8,4. 或 , ,

等差数列与等比数列的类比
等差数列 定义
首项、 首项、公差 公比) (公比)取 值有无限制

等比数列

an ? an?1 = d(n ≥ 2)

an = q(n ≥ 2) an?1

a1 ∈ R , d ∈ R
an = a1 + (n ?1)d
(1)an = am + (n ? m)d

a1 ≠ 0, q ≠ 0
an = a1q
n?1

通项 公式

(1)an = am q n ? m
则 am· an=as· ar . (3)若n , k , n-k ∈N*, 若 则 an2=an-k· an+k .

(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 若 ∈ 若 ∈ 主要 性质 则 am+an=as+ar . (3)若n , k , n-k ∈N*, 若 则 2an=an-k+ an+k .


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