陕西省西工大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学文试题(必修3和选修1-1)


2012—2013 学年度第一学期模块质量检测试卷

高二数学(文科) (必修 3 和选修 1-1)
一.选择题: (共 10 小题,每题只有一个正确答案,每小题 4 分,满分 40 分) 1.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家。 为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的 方法,抽取的中型商店数是: ( A.2 B. 3 ) C. 5 D. 13 )

2.圆 O1 : x2+y 2 ? 2x ? 0 和圆 O2 : x2+y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离 B. 相交 ) . C. 外切 D. 内切

3.下列说法中,正确的是(

A.数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 D.数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半 4.已知命题 p :对于任意 x ? R, 都使得 sin x ? 1 ,则( A. ?p : 存在 x ? R, 使得 sin x ? 1 C. ?p : 存在 x ? R, 使得 sin x ? 1 )

B. ?p : 对于任意 x ? R, 使得 sin x ? 1 D. ?p : 对于任意 x ? R, 使得 sin x ? 1 )

5.圆 x2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2,2) C. k ? (?∞, 2) ? ( 2,∞) ? ?

B. k ? (?∞, 3) ? ( 3,∞) ? ? D. k ? (? 3,3) )

6.设 x, y ? R 则“ x ? 2且y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( 0) 7.已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范

围是(



A. ? 2 2, 2) ( 2 C. ? (
2 2 , ) 4 4

B. ? 2,2) (
1 1 ( D. ? , ) 8 8

8. 一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 40、0.125,则 n 的值为( A.640 ) B.320 C.240 D.160

9. 过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于
y ? x 对称时,它们之间的夹角为(

) C. 60? D. 90?

A. 30?

B. 45?

10.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,若点 P 在平面 ABCD 内运动,使得 P 到直线 AB 和 A1D1 的距离平方和为 2,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.线段 C.一条直线 ) D.两条直线

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本 的频率分布直方图(如右图) 析居民的收入与年龄、学历、 方面的关系,要从这 10000 人 分层抽样方法抽出 100 人作进 查,则在[2500,3000) (元) 段 人 应 。 抽 出 为了分 职业等 中再用 一步调 月收入

12.已知 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要 条件。现有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分不必要条件;③ r 是 q 的 必要不充分条件;④ ?p是?s 的必要不充分条件;⑤ r 是 s 的充分不必要条件,则正 确命题序号是 。

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 13.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?



14.已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称。直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相交 于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为__________________。 三、解答题(共 5 个小题,满分共 44 分) 15. (本题满分 8 分) 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x 万元) ( 销售额 y(万元) 4 40 2 19 3 29 6 61 5 51

(Ⅰ)根据上表,求线性回归方程; (注: y ? a ? bx, 其中b ?
x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn ? nx ? y ; a ? y ? bx ) x12 ? x22 ? ? xn 2 ? nx 2

(Ⅱ)据此模型,估计广告费用为 9 万元时销售额为多少万元? 16. (本题满分 8 分) 某医院用甲、乙两种原料为病人配制营养餐,其营养成分和售价如下: 蛋白质 甲种原料(每 10 克) 乙种原料(每 10 克) 5 mg 铁质 10mg 售价 3元

7 mg

4 mg

2元

若病人每餐至少需要 35 mg 蛋白质和 40 mg 铁质,试问:应如何使用甲、乙原 料,才能既满足营养,又使费用最省? 17. (本题满分 8 分) 已知圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1与圆 O2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 1 ,过动点 P 分别作圆 O1 、 O2 圆 的切线 PM , PN ( M , N 分别为切点) ,使得 PM ? 2 PN ,求动点 P 的轨迹方程。 18. (本题满分 10 分)

从某实验中,得到一组样本容量为 60 的数据,分组情况如下: 分组 频数 频率 (Ⅰ)求出表中 m, a 的值; (Ⅱ)估计这组数据的平均数和中位数。 19. (本题满分 10 分) 已知以点 A(?1, 2) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,过点 B(?2, 0) 的动直 线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P 。 (Ⅰ)求圆 A 的方程; (Ⅱ) 当 MN ? 2 19 时,求直线 l 的方程; 5~15 6 15~25 2l 25~35 35~45

m a
0.05

??? ??? ? ? (Ⅲ) 问 BQ ? BP 是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明理由。

高二数学(文科)试题
题 号 答 案 C B D C D A 1 2 3 4 5 6

参考答案

一.选择题: (共 10 小题,每题只有一个正确答案,每小题 4 分,满分 40 分) 1 7 8 9 0 C B C A

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11. 25 ;12. ①②④ ;13.

3 2

;14. x ? ( y ? 1) ? 18 .
2 2

三、解答题(共 5 个小题,15、16、17 各 8 分,18、19 各 10 分,满分共 44 分) 15.解: (Ⅰ)由题意得 x ? 4, y ? 40 ,

b?

4 ? 40 ? 2 ?19 ? 3 ? 29 ? 6 ? 61 ? 5 ? 51 ? 5 ? 4 ? 40 ? 10.6 , 42 ? 22 ? 32 ? 62 ? 52 ? 5 ? 42

a ? 40 ? 4 ?10.6 ? ?2.4 ,所以线性回归方程为: y ? ?2.4 ? 10.6 x
(Ⅱ)因为线性回归方程: y ? ?2.4 ? 10.6 x ,所以 y ? ?2.4 ? 10.6 ? 9 ? 93 (万元) 16. 解:由题意设甲,乙原料各 10x g、 10y g,则需要费用 z ? 3x ? 2 y ,

? 5 x ? 7 y ? 35 ? 5x ? 7 y ? 35 14 ? 得约束条件: ?10 x ? 4 y ? 40 ,画出可行域,在 ? 交点 ( , 3) 为最优解, 5 ?10 x ? 4 y ? 40 ? x ? 0, y ? 0 ?
所以用甲原料

14 ?10 ? 28( g ) ,乙原料 3 ?10 ? 30( g ) ,费用最省。 5

17.解:圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1与圆 O2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , 则两圆心分别为 O1 (?2, 0), O2 (2, 0) .设 P( x, y ) ,则 PM 2 ? O1P2 ? O1M 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , 同理 PN 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .∵ PM ? 2PN ,∴ ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ? 2[( x ? 2)2 ? y 2 ? 1] , 即 x2 ? 12x ? y 2 ? 3 ? 0 ,所以,动点 P 的轨迹方程为: ( x ? 6)2 ? y 2 ? 33 . 18.解: (Ⅰ) m ? 60 ? 0.05 ? 3 , a ?

(60 ? 6 ? 21 ? m) ? 0.5 60

(Ⅱ)平均数 x ? 10 ? 0.1 ? 20 ? 0.35 ? 30 ? 0.5 ? 40 ? 0.05 ? 25 ; 中位数

0.5 ? 0.1 ? 0.35 ?10 ? 25 ? 26 。 0.5

19.解: (Ⅰ) 因为以点 A(? 1, 2)为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,所以圆 A 的半径

r?

?1 ? 4 ? 7 5

? 2 5 ,所以圆 A 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 ;

(Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时, x ? ?2 符合题意, ② 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? k ( x ? 2), 即 kx ? y ? 2k ? 0, 连 接 AQ , 则

A Q ? MN。? MN ? 2 19,? AQ ? 20 ? 19 ? 1 ,则由 AQ ?
则直线 l : y ?

k ?2 k ?1
2

? 1 ,得 k ?

3 , 4

3 ( x ? 2), 4

故所求直线 l 的方程为 x ? ?2 或 3x ? 4 y ? 6 ? 0 。 (Ⅲ)? AQ ? BP,? AQ? ? 0 , BP

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? BQ?BP ? (BA ? AQ)?BP ? BA?BP ? AQ?BP ? BA?BP
① 当直线 l 与 x 轴垂直时,易得 P ( ?2, ? ) ,则? BP ? (0, ? ) , 又 BA ? (1, 2), ? BQ ? BP ? BA ? BP ? ?5 ② 当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2), 则由 ? 得 P(

5 2

??? ?

5 2

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? y ? k ( x ? 2) , ?x ? 2 y ? 7 ? 0

??? ? ?4k ? 7 ?5k ?5 ?5k , ) ,则? BP ? ( , ), 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?5 ?10k ? BQ ? BP ? BA ? BP ? ? ? ?5 , 1 ? 2k 1 ? 2k ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 综上所述: BQ ? BP 是定值,且 BQ ? BP ? ?5 。


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