新版青岛版九年级下数学课件5.4(1)二次函数y=ax2的图象和性质


学习目标
1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性 质的过程,进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验; 2.会作出y=ax2的图象,并能比较它们与y=x2 的异同,理解a对二次函数图象的影响; 3.能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标.

二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像 是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画 一个函数的图像?
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢?

画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0 (2) 描点 (3) 连线
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 1
y

2 4

3 … 9 …

y=x2

根据表中x,y的数 值在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线 顺次连接各点,就得到 y=x2的图像.

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

请画函数y=-x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= - x -7 -8 -9 -10

根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.

下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?

y

从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=-x2的图像都是一条曲线,这 条曲线叫做抛物线

y=x
2

y=x2的图像叫做抛物线y=x2 y=-x2的图像叫做抛物线y=- x2 实际上,二次函数的图像都是抛 物线,它们的开口向上或者向下, 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c

o y o

x

x

y=-x2

y

从图象可以看出,二次函数y=x2 和y=-x2的图像都是轴对称图形,y 轴是它们的对称轴.
o

y=x2

抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=-x2的顶点(0,0)是它的最高点. 实际上,每条抛物线都有对称轴,抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶 点。顶点是抛物线的最低点或最高点
y o y=-x2

x

x

1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2x 和y=2x2的图像 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … 1 2 … y= x 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …

(2)描点 (3)连线

2

x



-2

-1.5 y

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2



y=2x2 … 8

4.5 2 0.5
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 0.5 2 4.5 8 …

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

函数y= 图像相比,有什么共同点和不同点?

1 x22,y=2x2的图像与函数y=x2的

共同点: 开口向上,顶点是原点,顶点是抛物线 的最低点,对称轴是y轴, 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同
y= 2x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y

y=x2 y= 0.5x2

性质:a>0,图象开 口向上,顶点是抛 物线的最低点,a越 大开口越小,反之 越大

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

在同一直角坐标系中画出函数y=-1 x2和y=-2x2的图像
2
x y=- x2
1 2

… …

-4 -8

-3

-2 -2

-1

0

1

2 -2

3
? 9 2

4 -8

… …

x
y=2x2




9 ? 2

?

1 2

0

?

1 2
1 2

-2
-8

-1.5 -1 9 -2 ? 2

-0.5 0 1 0 ? 2 y 1

0.5
?

1
-2

1.5 9 ? 2

2
-8




-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -9 y=- x 2 2 -10 y=-2x

函数y=- 像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下,顶点是原点,对称轴是y轴, 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
1 y

12 2的图像与y=-x2的图 x ,y= - 2x 2

性质:当a<0时, 图象开口向下,顶 点是抛物线的最高 点,a越大,抛物线 的开口越大。

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

x

1 2 y=- x 2

y=-2x2

y=x2

y ? ax 2

二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点,对称轴是y轴。
y ? ?ax 2

2、当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方
(除顶点外),它的开口向上,并且向 上无限伸展;a越大,抛物线的开口越小 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方 (除顶点外),它的开口向下,并且向 下无限伸展。a越大,抛物线的开口越大。

y= 2x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x2 y= 0.5x2
1 y

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

x

1 y=- x 2

y=-2x2

y=x2

a的符号决定抛物线的开口方向,|a|的 大小决定抛物线开口的大小,|a|越大开 口越小

思考:在同一坐标系内,抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系? 一般地,抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2呢? 答:抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称,又关于原点对称。抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
y ? x2 y ? ax 2

y ? ?x2

y ? ?ax 2

y ? ax

2

当a>0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 减小。 当a>0时,在对称轴的 右侧,y随着x的增大而 增大。 当a<0时,在对称轴的 左侧,y随着x的增大而 增大。

y ? ?ax当a<0时,在对称轴的
2

右侧,y随着x的增大而 减小。

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 a> 0
O

a< 0
O

开口

开口向上

开口向下

对称性
顶点 增减性

a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是( A ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y>0.
o x

(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0) , 对称轴是 y轴 ,在 对称轴的右 侧,

y随着x的增大而增大;在 对称轴的左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 时,
函数y的值最小,最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的
3

上 方(除顶点外)。 增大而增大 ;当x〉0时,y随着x

(2)抛物线 y ? ? 2 x 2 在x轴的 下 方(除顶点外),当x

〈0时,y随着x的


增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,最大值 0 ,当x



?

0时,y<0.


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