【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 4 节 双 曲线课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 双曲线的综合问题 题号 1、6、7、10 2、3、4、8、9 5、11、12、13、14、15、16、17

基础过关 一、选择题 1.(2014 福建晋江模拟)双曲线 2x -y =8 的实轴长是( C (A)2 (B)2 (C)4 (D)4
2 2

)

解析:双曲线的标准方程为 - =1,所以 a=2,则实轴长是 4.

2.(2014 湖南师大附中质检)设双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为 ( C ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:由题意得 = ,∴a=2.

3.已知 0<θ < ,则双曲线 C1: (A)实轴长相等 (C)离心率相等

-

=1 与 C2:

-

=1 的( D

)

(B)虚轴长相等 (D)焦距相等 =1,双曲线 C2 的半焦距 c2= =1,故选

解析:双曲线 C1 的半焦距 c1= D.

1

4.(2014 福建福州模拟)双曲线 -y =1 的顶点到渐近线的距离等于(

2

C )

(A) (B) (C)

(D)

解析:双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为 x±2y=0,则顶点到渐近线的距离为 =
2

.

5.(2014 高考湖北卷)设 a,b 是关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 的两个不等实根,则过 A(a,a ),B(b,b )两点的直线与双曲线 (A)0 (B)1 (C)2
2 2 2

-

=1 的公共点的个数为( A )

(D)3

解析:关于 t 的方程 t cos θ +tsin θ =0 有两个不等实根为 0,-tan θ (tan θ ≠0),则过 A,B 两点的直线方程为 y=-xtan θ ,双曲线 y=-xtan θ 与双曲线没有公共点. 6.(2014 郑州模拟)已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos∠F1PF2 等于( (A) (B) (C) (D) 解析:由双曲线的定义有 c=2, 且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 ∴|PF1|=2|PF2|=4 , , C )
2 2

-

=1 的渐近线为 y=±xtan θ ,所以直线

则 cos∠F1PF2=

=

= .

2

7.(2014 济南模拟)已知△ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线 - =1 的左、右焦点,顶点 P 在双

曲线上,则

的值等于( A )

(A) (B)

(C) (D)

解析:在△ABP 中,由正弦定理知 =

=

= = .

8.(2014 甘肃省张掖模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点 F,直线 x= 与其渐近线交 于 A,B 两点,与 x 轴交于 D 点,且△ABF 为钝角三角形,则离心率取值范围是( D ) (A)( (C)( ,+∞) (B)(1, ,+∞) (D)(1, ) )

解析:易知 A( , ), 若△ABF 为钝角三角形,则∠AFB 为钝角, 即∠AFD>45°, 所以在△ADF 中, tan∠AFD= = >1,

解得 1<e< 二、填空题

.

3

9.(2014 福建周宁一中、政和一中联考)双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2, 过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双曲线的离心率 为 .

解析:由条件令|MF2|=m,|MF1|=2m, 则|F1F2|= 即 2c= m, m,

2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m, 所以离心率 e= = = .

答案:

10.(2013 高考天津卷)已知抛物线 y =8x 的准线过双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个焦点,且双 曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 解析:由抛物线 y =8x 知其准线方程为 x=-2. 则双曲线中 c=2, = =2,a=1,b= .
2

2

.

所以双曲线方程为 x - =1.

2

答案:x - =1 11.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x +y =10 相交于点 P(3,-1),若此圆过点 P 的切线 与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的方程为 解析:切点为 P(3,-1)的圆 x +y =10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x±y=0. 设所求双曲线方程为 9x -y =λ (λ ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ =80,
2 2 2 2 2 2

2

.

4

∴所求的双曲线方程为 - =1.

答案: - =1 三、解答题 12.(2015 山东潍坊第一次质检)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的

距离等于

,过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,F1 为左焦点.

(1)求双曲线的方程; (2)若△F1AB 的面积等于 6 ,求直线 l 的方程.

解:(1)依题意,b=

, =2? a=1,c=2,

∴双曲线的方程为 x - =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知 F2(2,0). 易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意, 故可设直线 l:y=k(x-2), 由 消元得(k -3)x -4k x+4k +3=0, k≠± 时,x1+x2= ,
2 2 2 2

2

x1x2=

,

y1-y2=k(x1-x2), △F1AB 的面积 S=c|y1-y2|=2|k|?|x1-x2|

=2|k|?

5

=12|k|? =6
4

.
2

得 k +8k -9=0, 则 k=±1. 所以直线 l 方程为 y=x-2 或 y=-x+2. 13.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,且过点 P(4,(1)求双曲线方程; ).

(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:
2 2

?

=0.

(1)解:设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4,∴16-10=λ ,即λ =6, ∴双曲线方程为 x -y =6, 即 - =1.
2 2

),

(2)证明:法一 由(1)可知,双曲线中 a=b= ∴c=2 ∴F1(-2 ∴ = , ,0),F2(2 , = ,0), ,

,

?

=

=-

.

∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m =6,m =3. 故 ? =-1,
2 2

∴MF1⊥MF2,

6



?

=0.

法二 由(1)可知,双曲线中 a=b= ∴c=2 ∴F1(-2 , ,0),F2(2 ,0).

,



=(-2

-3,-m),

=(2

-3,-m),



?

=(3+2

)?(3-2

)+m =m -3.

2

2

∵点 M 在双曲线上, ∴9-m =6. ∴m =3,即 m -3=0,
2 2 2



?

=0. 能力提升

14.(2014 浙江衢州模拟)过双曲线 - =1(b>a>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0)作圆 x +y =a 的切

2

2

2

线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 心率为( (A) D ) (B) (C) (D)

2

= (

+

),则双曲线的离

解析:抛物线的焦点坐标为 F2(c,0), 准线方程为 x=-c. 圆的半径为 a, = ( + ),

所以 E 是 FP 的中点, 又 E 是切点,

7

所以 OE⊥FP, 连接 PF2,则 PF2⊥FP, 且 PF2=2a, 所以 OE=a,FE=b,PF=2b, 过 P 作准线的垂线 PM, 则 PM=PF2=2a,

所以 MF=

=

=2

,

在直角三角形 FPF2 中,PF?PF2=FF2?MF,

即 2b?2a=2c?2 所以 c (b -a )=a b , 即 c (c -2a )=a (c -a ), 整理得 c -3a c +a =0, 即 e -3e +1=0,
4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,

解得 e =

2

=

,

根据题意舍去 e =

2

,

所以 e =

2

,

即e=

2

=

=

,

所以 e=

.

8

15.已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5) +y =1 上,点 R 在曲线 C3:(x+5) +y =1 上,则|PQ|-|PR|的最大值是 .

2

2

2

2

解析:依题意知 P 在曲线 C1 的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR| 的最小值为|PC3|-1, 则|PQ|-|PR|的最大值是 |PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10. 答案:10 16.(2014 高考湖南卷)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1: - =1(a1>0,b1>0)和椭圆

C2: + =1(a2>b2>0)均过点 P( 面积为 2 的正方形.

,1),且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是

(1)求 C1,C2 的方程;

(2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且| 明你的结论. 解:(1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而 a1=1,c2=1. 因为点 P( ,1)在双曲线 x - =1 上,
2

+

|=|

|?证

所以(

) - =1.

2

故 =3. 由椭圆的定义知

9

2a2=

+

=2

.

于是 a2=

,

= - =2.

故 C1,C2 的方程分别为 x - =1, + =1. (2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点, 所以直线 l 的方程为 x= 当 x= 时,易知 A( , 或 x=),B( ,. ),
2

所以|

+

|=2

,|

|=2

.

此时,|

+

|≠|

|.

当 x=-

时,同理可知,|

+

|≠|

|.

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m. 由 得(3-k )x -2kmx-m -3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 从而 x1+x2= ,x1x2= .
2 2 2

于是 y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m =

2

2

.



得(2k +3)x +4kmx+2m -6=0.

2

2

2

10

因为直线 l 与 C2 只有一个公共点, 所以上述方程的判别式 Δ =16k m -8(2k +3)(m -3)=0. 化简,得 m =2k +3. 因此 ? =x1x2+y1y2= +
2 2 2 2 2 2

=

≠0,

于是

+

+2

?



+

-2

?

,

即|

+

| ≠|

2

-

|.

2

故|

+

|≠|

|.

综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线. 探究创新 17.(2015 贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一 对“相关曲线”.已知 F1、F2 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠ F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 解析:设椭圆的半长轴为 a1,椭圆的离心率为 e1, 则 e1= , .

a1= . 设双曲线的实半轴为 a,双曲线的离心率为 e, e= ,a= . |PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0), 则由余弦定理得 4c =x +y -2xycos 60°=x +y -xy, 当点 P 看作是椭圆上的点时,
2 2 2 2 2

11

有 4c =(x+y) -3xy=4 -3xy,① 当点 P 看作是双曲线上的点时, 有 4c =(x-y) +xy=4a +xy,② ①②联立消去 xy 得 4c = +3a ,
2 2 2 2 2

2

2

即 4c =

2

+3

,

所以

+3

=4,

又因为 =e,

所以 e + =4, 整理得 e -4e +3=0,解得 e =3, 所以 e= , .
4 2 2

2

即双曲线的离心率为 答案:

12


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