一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组



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一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组
一、重要知识点
5、一元一次不等式与一次函数 ⑴利用函数图象求解不等式, 通过直接观察图象,得到不等式的解集, 并用解不等式方法加以验证; ⑵借助于函数关系建立不等式,即先建立函数模型,再建立不等式模型。 6、一元一次不等式组: 1、关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。 2、一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 3、一元一次不等式组的解法:先解出各个不等式的解集,然后再找出它们的公共部分。可以利用 数轴来找。 不等式组 (a>b) 数轴上表示 不等式的解集 口诀 b

?x ? a ? ?x ? b
a x>a 大大取大

?x ? a ? ?x ? b
b a x<b 小小取小

?x ? a ? ?x ? b
b a b<x<a 小大大小取 中

?x ? a ? ?x ? b
b a 无解 大大小小无 解

二、例题分析
一元一次不等式与一次函数 1.已知函数 y=-4x-8. (1)当 x 取哪些值时,-4x-8≥0? 2)当 x 取哪些值时,y≤6?

2、已知函数 y1 ?

1 x ? 3 , y2 ? 3x ? 1 ,求当 x 为何值时, y1 ? y2 , y1 ? y2 , y1 ? y2 。 2

3、甲现有存款 600 元,乙现有存款 2000 元,从本月起甲每月存 500 元,乙每月存 200 元。问几个 月后甲的存款开始超过乙的存款额?

1

4、某电视厂要印刷产品宣传材料。甲印刷厂提出每份材料手 1 元印刷费,另收 1500 元制版费;乙 印刷厂提出每份材料收 2.5 元印刷费,不收制版费。假如你是电视机厂的厂长,选择哪家印刷厂较 合算?

5、x 取什么值时,函数 y=-2(x-1)+4 的值是(1)正数?(2)负数?

一元一次不等式组(一) 1.填空题.

? x ? 0, (1)不等式组 ? 的解集是 ? x ? ?2; ?3x ? 1 ? ?5, (2)不等式组 ? 的解集是 ?? 2 x ? 6; ?2 x ? 3 ? 5, 2.不等式组 ? 的解集为 ?4 x ? 2 ? 4
(A)x >1 (B)x >
2 3

?2 x ? 1 ? 0, ;不等式组 ? 的解集是 ?3x ? 0.
.这个不等式组的所有整数解的和是





( (C)x ≥1 (D)x ≥
2 3

) .

? x ? 2 ? 0, 3.不等式组 ? 的最大整数解是 ?x ? 3 ? 0
(A)x =-2 4.解下列不等式组: (B)x =2 (C)x =3 (D)x =4



) .

? x ? 2 ? 2, (1) ? ?2 x ? 1 ? 1;

?3x ? 2 ? ?1, (2) ? ?1 ? x ? 3;

2 x ? 4 ? 0, 5.求不等式组 ? 的整数解. ? ?1 ? 2 x ? 0

2

6.锐角∠α=(5x-35)°,求 x 的取值范围.

7.在△ABC 中,AB=AC,BC=10 cm.如果这个三角形的周长必须大于 34 cm,小于 44 cm,求 AB 的可能范围.

8.已知 2-a 和 3-2a 的值的符号相同,求 a 的取值范围.

2.解下列不等式组: (1) ?

?2 x ? 8 ? 5x ? 1, ?11? 2 x ? 21? 4 x;

(2) ?

?2 x ? 3 ? 9 ? x, ?2 x ? 5 ? 10 ? 3x;

?4 x ? 3 ? 3(2 x ? 1), ? (3) ? 3x 1 ? 1 ? 5 ? x; ? 2 ?2

(4) ? 2 x ? 1

? x ? 4 ? 3( x ? 2), ? ? 1 ? x; ? ? 3

3

3.一块长方形土地的宽是 8m,周长小于 50 m,该地面积至少是 120 m2,求长方形的长的 取值范围.

4.有一个两位数,其个位数字比十位数字大 2,如果这个数大于 20 小于 40,求这个两位数.

3.若干苹果分给几只猴子,若每只猴子分 3 个,则余 8 个;每只猴分 5 个,则最后一只 猴分得的数不足 5 个,问共有多少只猴子?多少个苹果?

三、课堂练习
一、选择题: 2、已知一次函数 y=kx+b 的图像,如图所示,当 x<0 时,y 的取值范围是( ?) A、y>0 B、y<0 C、-2<y<0 y D、y<-2

y2=x+a
0 2 x

-4 (第 2 题) (第 4 题)

O

3
(第 5 题) ) .

y1=kx+b

3、已知 y1=x-5,y2=2x+1.当 y1>y2 时,x 的取值范围是( A、x>5 B、x<

1 2

C、x<-6

D、x>-6 )

4、已知一次函数 y ? kx ? b 的图象如图所示,当 x<1 时,y 的取值范围是( A、-2<y<0 B、-4<y<0 C、y<-2 D、y<-4

5、一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则下列结论①k<0;②a>0;③当 x<3 时,y1<y2 中,正确的 个数是( )A、0 B、1 C、2 D、3
4

6、如图,直线 y ? kx ? b 交坐标轴于 A,B 两点,则不等式 kx ? b ? 0 的解集是( A、x>-2 B、x>3 C、x<-2 D、x<3



7、已知关于 x 的不等式 ax+1>0(a≠0)的解集是 x<1,则直线 y=ax+1 与 x 轴的交点是( A. (0,1) B. (-1,0) C. (0,-1) D. (1,0)



8 、直线 l1 : y ? k1 x ? b 与直线 l2 : y ? k2 x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式

k1 x ? b ? k2 x 的解为(
A、x>-1 B、x<-1

) C、x<-2 D、无法确定

y
y A(-2,0)

y ? k2 x

B(0, 3)
x

?1



0 ?2

x
y ? k1 x ? b

(第 6 题) 9.如果 0 ? x ? 1 ,则下列不等式成立的是 A

(第 8 题) ( )

x2 ?

1 ?x x

B

1 ? x2 ? x x

C

x?

1 ? x2 x

D

1 ? x ? x2 x
( )

10. 6x ? 5 ? 5 ? 6x, 则x的取值范围是 A

x?

5 6

B

x?

5 6

C

x?

5 6

D

x?

5 6
( )

11.若代数式 A

2x ? 1 的值不小于 ? 3, 则x 的取值范围是 5 x ? ?5 x?5 x?5 B C

D

x ? ?5
( )

12.不等式 (a ? 1) x ? 1 ? a 的解为 x ? ?1 ,则 a 的取值范围是 A

a ?1

B

a ?1

C

a ?1

D

a?0
( )

? x ? 1 ? 2( x ? 1), ? 13.不等式组 ? 1 5 的解集在数轴上表示正确的是 x ?1 ? 3 ? x ? 2 ?2
A. C. -4 –3 –2 –1 0 4 -4 –3 –2 –1 0 4 1 1 2 2 3 3 B. D. -4 –3 –2 –1 0 4 -4 –3 –2 –1 0 4
5

1 1

2 2

3 3

14.不等式组 ? A 1

? 2x ? 3 ? 0 的整数解的个数是 ?? 3x ? 5 ? 0
B 2 C 3 D 4





15.实数 a 和 b 在数轴上的位置如图,下列式子中成立的是 A C





ab ? 0 a?b

B D

a ?0 b

a2 ? b2

16.不等式组 ? A -1

? ?

2 的最小整数解为 3 ? ?x ? 4 ? 4 ? 2x x??
B 0 C 1 D 4





17.不等式组 ? A.

?? x ? 2 ? x ? 6 的解集是 x ? 4 ,那么 m 的取值范围是 ?x ? m
B.





m?4

m?4

C.

m?4

D.

m?4

二、填空题 1、若一次函数 y=(m-1)x-m+4 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方,则 m 的取值范围是________. 2 、如图,某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数,由图可知行李的重量只要不超过 ________千克,就可以免费托运.

y 2 -2 -2

y=3x+b y=ax-3 O 2 x

(第 2 题) 3、当自变量 x 时,函数 y=5x+4 的值大于 0;当 x

(第 5 题) 时,函数 y=5x+4 的值小于 0.

4、已知 2x-y=0,且 x-5>y,则 x 的取值范围是________. 5、如图,已知函数 y=3x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P(-2,-5),则根据图象可得不等式 3x+b>ax-3 的 解集是_______________。 6、如图,一次函数 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 的图象相交于 A(3,2),则不等式(k2-k1)x +b2-b1>0 的解集为__________. 7、已知关于 x 的不等式 kx-2>0(k≠0)的解集是 x>-3,则直线 y=-kx+2 与 x?轴的交点是__________. 8、已知不等式-x+5>3x-3 的解集是 x<2,则直线 y=-x+5 与 y=3x-3?的交点坐标是_________.
6

y A x

y1 y2

O

一、选择题 1. 如果 a、b 表示两个负数,且 a<b,则( (A) 2.

). (C)

a ?1 b

(B)

a <1 b

1 1 ? a b

(D)ab<1

3. 4. 5. 6.

7.

a、b 是有理数,下列各式中成立的是( ). 2 2 (A)若 a>b,则 a >b (B)若 a2>b2,则 a>b (C)若 a≠b,则|a|≠|b| (D)若|a|≠|b|,则 a≠b |a|+a 的值一定是( ). (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 若由 x<y 可得到 ax>ay,应满足的条件是( ). (A)a≥0 (B)a≤0 (C)a>0 (D)a<0 若不等式(a+1)x>a+1 的解集是 x<1,则 a 必满足( ). (A)a<0 (B)a>-1 (C)a<-1 (D)a<1 九年级(1)班的几个同学,毕业前合影留念,每人交 0.70 元.一张彩色底片 0.68 元,扩印一张相片 0.50 元, 每人分一张.在收来的钱尽量用掉的前提下,这张相片上的同学最少有( ). (A)2 人 (B)3 人 (C)4 人 (D)5 人 某市出租车的收费标准是:起步价 7 元,超过 3km 时,每增加 1km 加收 2.4 元(不足 1km 按 1km 计).某人乘 这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元, 设此人从甲地到乙地经过的路程是 xkm, 那么 x 的最大值是( ). (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 若不等式组 ? (A)k<2

8.

?1 ? x ? 2, 有解,则 k 的取值范围是( ?x ? k
(B)k≥2 (C)k<1

). (D)1≤k<2 ). (D)m≥1
1 b d 4 ? 3 ,则 b+d 的值为_________.

9.

不等式组 ? (A)m≤2

? x ? 9 ? 5x ? 1, 的解集是 x>2,则 m 的取值范围是( ?x ? m ? 1
(B)m≥2
a b d c

(C)m≤1
? ac ? bd ,已知 1 ?

10. 对于整数 a,b,c,d,定义

11. 如果 a2x>a2y(a≠0).那么 x______y. 12. 若 x 是非负数,则 ? 1 ?

3 ? 2x 的解集是______. 5

13. 已知(x-2)2+|2x-3y-a|=0,y 是正数,则 a 的取值范围是______. 14. 6 月 1 日起,某超市开始有偿 提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为 1 元、2 元和 3 元,这三种 .. 环保购物袋每只最多分别能装大米 3 千克、5 千克和 8 千克.6 月 7 日,小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保 购物袋用来装刚买的 20 千克散装大米,他们选购的 3 只环保购物袋至少 应付给超市______元. .. 15. 若 m>5,试用 m 表示出不等式(5-m)x>1-m 的解集______. 16. 乐天借到一本 72 页的图书,要在 10 天之内读完,开始两天每天只读 5 页,那么以后几天里每天至少要读多 少页?设以后几天里每天要读 x 页,列出的不等式为______. 17. k 满足______时,方程组 ?

? x ? y ? 2k , 中的 x 大于 1,y 小于 1. ?x ? y ? 4
7

二、解下列不等式 18. 2(2x-3)<5(x-1). 10-3(x+6)≤1.

19. 1 ?

x x?2 ?5? ? 3 2

y ? 1 y ?1 y ?1 ? ? ? 3 2 6

20.

3[x-2(x-7)]≤4x.

y?

3 y ? 8 2(10 ? y) ? ? 1. 3 7

21.

1 1 (3 y ? 1) ? y ? y ? 1. 2 5

3x ? 1 7 x ? 3 2( x ? 2) ? ? 2? . 3 5 15

22.

1 1 2 x ? [ x ? ( x ? 1)] ? ( x ? 1). 2 2 3

0.4x ? 0.9 0.03 ? 0.02.x x ? 5 ? ? ? 0.5 0.03 2

三、解不等式组 23. ?

?2 x ? 1 ? 0, ?4 ? x ? 0.

?? 3x ? 0, ? ?4 x ? 7 ? 0.

8

?1 ? x ? 1 ? x, 24. ? 2 ? ?2 x ? 4 ? 3x ? 3.

-5<6-2x<3.

?2 x ? 5 ? 3x, ? 25. ? x ? 2 x ? ? ? 3 ? 2

?x x ? ? ? ?1, ?2 3 ?2( x ? 3) ? 3( x ? 2) ? ?6. ?

?x ? ? 4 ? 1, 26. ? 2 ? ? x ? 8 ? 2( x ? 2).

2x ?1 ? x ? 5 ? 4 ?

3 x. 2

? 3x ? 3 2 x ? 1 ? ? x, ? ? 2 3 27. ? ? 1 [ x ? 2( x ? 3)] ? 1. ? ?2

? ? x ? 3 ? 1 ? x, ? 5? x ? , ?x ? 5 ? 2 ? x ? x?4 ? ? ? 2 ?
9

? 2 ? 4 x ? 3 x ? 7, ? 28. 解不等式组 ?6 x ? 3 ? 5 x ? 4, ?3 x ? 7 ? 2 x ? 3. ?

四、变式练习 29. 若 m、n 为有理数,解关于 x 的不等式(-m2-1)x>n.

30. .已知关于 x,y 的方程组 ?

?3x ? 2 y ? p ? 1, 的解满足 x>y,求 p 的取值范围. 4 x ? 3 y ? p ? 1 ?

31. 已知方程组 ?

?2 x ? y ? 1 ? 3m, ① 的解满足 x+y<0,求 m 的取值范围. ② ? x ? 2 y ? 1? m

32. 适当选择 a 的取值范围,使 1.7<x<a 的整数解: (1) x 只有一个整数解; (2) x 一个整数解也没有.
10

33. 当 2( k ? 3) ?

10 ? k k ( x ? 5) ? x ? k 的解集. 时,求关于 x 的不等式 4 3

34. 已知 A=2x2+3x+2,B=2x2-4x-5,试比较 A 与 B 的大小.

35. (类型相同)当 k 取何值时,方程组 ?

?3x ? 5 y ? k , 的解 x,y 都是负数. ?2 x ? y ? ?5

36. (类型相同)已知 ?

? x ? 2 y ? 4k , 中的 x,y 满足 0<y-x<1,求 k 的取值范围. ?2 x ? y ? 2k ? 1

37. 已知 a 是自然数,关于 x 的不等式组 ?

?3x ? 4 ? a, 的解集是 x>2,求 a 的值. ?x ? 2 ? 0

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38. 关于 x 的不等式组 ?

? x ? a ? 0, 的整数解共有 5 个,求 a 的取值范围. ?3 ? 2 x ? ?1

39. (类型相同)k 取哪些整数时,关于 x 的方程 5x+4=16k-x 的根大于 2 且小于 10?

40. (类型相同)已知关于 x,y 的方程组 ?

? x ? y ? 2m ? 7, 的解为正数,求 m 的取值范围. ? x ? y ? 4m ? 3

? x ? 15 ? x ? 3, ? ? 2 41. 若关于 x 的不等式组 ? 只有 4 个整数解,求 a 的取值范围. ? 2x ? 2 ? x ? a ? ? 3

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