数学奥林匹克高中训练题(85)


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2 0 0 6 年第 2 期 

4 3  

( 8 5 )  

第 一 试 
选择题 ( 每小题 6 分, 共3 6 分)   1 . 设实数 、 Y 满足Y>  > O , 且 


所在 的直线都是异面直线 . 则 n的最大值 为 
(   ) .   ( A) 3  



( B ) 4  

( C ) 5  

( D) 6  

6 . 设A 、 B为椭 圆   +   = 1 ( 口>b > o )  


t a n   = 一   . t a n   Y  

一 Y.  

2  

,  

则 
的值 为 (  

一  
) .  

+  

和双曲线  一   =1 的公共顶点 , P 、 M 分别  是双 曲线和椭圆上不同于 A 、 日的两动点  且  满足 A P+   =  ( A M +B M) (  E   R且 l  I   > 1 ) . 设A P、 B P 、 A M、 B M 的斜率分别为 k 1 、   k 2 、 k 3 、 k 4 . 则 k 1+ k 2+ k 3+ k 4的 值 为 
(   ) .   ( A) o

( A ) 0   ( B ) 2   ( C ) 一 1  

( D ) 一 寺  

2 . 设 函数 (  ) (  (  ) ≠O ) 的定义域 为  ( 0 , +∞) , 对 x ∈R + , Y ∈R恒 有 f (  ) =   ) . 若口 >b>c >1 , 且口 、 b 、 c成等差数  列, 则 ,( 口 )  ( c ) 与(  ( b ) )  的 关 系 为 
(   ) .  

( B ) 一  

( c ) 一  

( D) 一   b 2  

( A ) f ( a ) f ( c ) <(  b ) )   ( B ) f ( a ) f ( c ) =( f ( b ) ) 。   ( C ) f ( a ) f ( c ) >(   6 ) )  

二、 填空题 ( 每小题 9 分, 共5 4 分)   1 . 设 P、 P是曲线 

Y =  一 3 x   + ( 3 一  )   + 丢  
上的任意两点 . 则直线 尸 Q的倾斜角 a的取值  范围是— — .  

( D ) 无法确定  3 . 在网络游 戏《 变形》 中, 主人公每过一 

关 都以 鲁的概率变形( 即 从“ 大象” 变为“ 老  
鼠” 或从“ 老 鼠” 变 为“ 大象” ) . 若将主人公过  n 关而不变形的概率记为  , 则(   ) .  
( A) P 5 >P 4   ( C ) P 】 l <P l 2  
‘ 1 2  

2 . 设 口= ̄ /  +   + Y   , b=P√  ,  
c =  +Y + 若对任意的正数  和 Y , 以口 、 b 、 c 为  三边长的三角形存在, 则实数 P的取值范围是 

( B ) P 8 <P 7   ( D ) Pl 5 >Pl 6  

3 . 设 A={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . 则满足条件厂   ) )  
= 厂 (   ) 的映射 厂 : A —A的个数是— — ( 用数  字作答) .   4 . 已知两个半径为 l 的大球面外切 , 且都  与半径为 1 的圆柱面内切, 另一小球面与这两  个大球面都外切, 且与圆柱面内切 . 过小球球心  和—个大球球心的平面与圆柱面相交成一个椭  圆. 则该椭圆的离心率的最大可能值为— — .   5 . 设J s ={ 一 3 , 一 2 , l , 2 , 3 , 4 } , 在 S中任取  两数 口 、 b , 口 ≠b . 贝 0 函数 . 厂 (   ) ;   一 ( 口 +b )   +   的最I / J 、 值的最大值为 

4 . 设S   为数 列 {   } 的前 n项之和 . 若 

不等式 口 2   +   O   n , ≥; t a   对任何 等差数列 {   }  
及任何 正整数 n恒 成立 , 则  的最 大值 为 
(   ) .  

( A ) 0   ( B ) {   ( c ) 专   ( D ) I  
5 . 从正方体的 1 2 条棱和各面 的 l 2 条面  对角线 中选出 n条 , 使得其 中任意两条线段 

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6 . 在等比 数 列{ 0 『 l } 中 , Ⅱ   = 告, 前乃 项的  
几 何平均数是 8 . 若从前 / ' t 项中抽出一项后 的  几何平均数是 4 √ 2 , 则抽出的是第
f ( 2   ) =   一 2 a x+0   一1 ,  
— 一 — —

参 考 答 案 
第 一 试 


项.  



1 . B.  

三、 ( 2 o 分) 设函数. 厂 (  ) 满足  且厂 (   ) 在[ 2  , 2 。   求 n的取值范围.   ] 上的值域为[ 一1 , 0 ] .  

由已知得 
=  

s i n   ( x y )  


v  

恤 l   V—l a n  


= 一c o s   - c o s   y,  

s i n ( x +y )  
—  







 



 

四、 ( 加 分) 设  、 b 、 c 、 d ∈R . 在复数集内,   关于  的方程  +似 +b = 0和  +   +d: 0   的根的模均小于 1 . 求证: 方程 

2 x   c 0 s   x ( x c o s   一s i n  )  
2 x+s i n   2x  
一 一  

=  


.   ( 二  

二  望  2  
一2 x c o s  ? s i n  
1 一e  

2 t a n   +2 s i n  ? c 0 s  

2 x s i n  

2 s i d 
—s i   一厶 。  

2 + 竿  +   = 0  
的根的模小 于 1 .  





s e c   +C O S   一  

故选( B ) .  
2. A.  

五、 ( 2 0 分) 设e 为圆锥 曲线 厂的离心率 ,   为一个焦点, Z 是焦点所在的对称轴 , 0是 Z   上距  较近的顶点, 又 M、 Ⅳ是 Z 上满足 O F?   O M +O F? O N= ( 1 一e ) O M? O N的两点. 求证 :   对曲线 r的过点 M 的任一条弦 A S ( A 、 B为弦  的端点) , 直线 f 平分 M 和 N B的一组夹角.   第 二 试 

设 o=   c =  , 则 r 、 s 为正数 .  
又 口+c =2 b . 口>c , 则 
6>   :   >   .  

于是 。 瑙< 1 .  

故, ( Ⅱ ) , ( c ) = , ( 6 r ) , ( b   ) =  ( , ( 6 ) )   < (  6 ) )   .  
3. C.  

由已知得 
+.:

( 5 o 分) 如图 1 , 两圆外切于点 T ,   为  ④0 . 的弦, 直线 


{  + 吾 ( 1 一  ) = 号 一 号 P n .  



于是,  + : 一 只+   =一 专(  + - 一 P ^ ) .  

P T 、 Q T分 别 交 

再由P o = 1 , P J = {可得  
= 一

( 三 ) 0 , 于点 R 、 S ,  
分别 过 P、 Q作 

号 ( 一 号 )   .  

00 。 的切 线 依 
次交 0 0 ,于 A、  


从而, {   } 中 n为偶数的项都比它的邻项大,  
图1  

而 n 为奇数的项都 比它的邻项小 .  
4. B.  

D、C, 直 线 

R D 、   分别交  于 E 、 F. 求证:  


设{ %} 的公差 为 d , 则 

 ̄E A F=  

c.  

“  

二、 ( 5 o 分) 设正整数 乃 ( 乃 ≥3 ) , 正数  、  

_ [ n . + ( n - 1 ) d ]   + ÷ [ 加   +  
= 2 8   + 3 ( n 一 1 ) 8 1   d + 丢 ( n 一 1 )   d 2  
= -

d 】  

满 足 号= 詈  , 又  E   R + (   = l , 2 , … , 乃 ) , 且  
^ 
.  

=1 - 求 

的最小值?  

} 。   + [   专 。   +   ( n —   ) d ]   ≥   } 。   .  

三、 ( 5 o 分) 如果一个正整数 乃 在三进制下  的各位数字之和能被 3 整除, 则称 乃为“ 恰当   数” . 求S ={ 1 , 2 , …, 2   0 Q 5 } 中全体哈当数之和.  

当  为 负 整 数 时 , 使 得 去 。   +  ( n ~ 1 ) d = o  
的 正 整 数n 存 在. 故 所 求   一= ÷.  

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5. B.  

4 5  
C 

有k ( k EN+ ) 个元 素的 ,有  | l }   个. 故满 足条件 的 

如图 2 , 取A  l 、   l 、   C D 。 、D A 。 , 显 然 两 两 异  面, 故 n≥4 。 叉所 求 异 面  直线 与 正 方 体 表 面 的交  点两两 不 同, 且最多有 8  
个, 故 n ≤4 .  
6. A.  

, 的 个 数为∑ | l }  . 取n = 5 即 得 结 果.  

4 ÷ 
C 
A   B  

易 算出 小 球 半 径为{. 设 过 小球 球 心和 一个 大  
球球心 的直线交 圆柱 于 点 C、 D, 则过 C、 D 的截面  截 圆柱所得 的椭 圆的短 轴长 为定 值( 圆柱 的底 面直 

图 2  

不 妨 取 A(一 0 , 0 ) 、 B( 0, 0 ) . 设 P(  ? , Y ? ) 、  

M(  , Y   ) . 由已知等式可知 0、 P、 M 三点共 线 . 故 
¨  
: 

径为 2 ) , 长轴 长的最小 值就是 C D. 易知 C D:   , 则 

X l  + a
!  

+ 
Xl   一  a

= 

一 a  ‘  

椭 圆 离 心 率 e = √   一 ( ÷ )   ≤ √   一 ( 号 )   = 詈 .  
5 . 一 { .  
易知   ) 的最小值为 
( n , 6 ) =一   ( n一6 )   .  

:  


. 

2 .a ‘ 2   2   a +   Yl— a  

a ‘   Yl  

同理 , | } l , +| } l   =一   2 b 2 x2
? 
.  

从而 , k I +k 2 +  3 +k 4 =0 .  

由于 a 、 b ∈S , 且 a ≠b , 故I   a—b   I 的最 小值 为  1 . 从而,  ( n , 6 ) 的最大值为 一   1.  
6 . 1 3.  

二 l 、 1 . 0 。 号 ) u (  ) .  
求导数 可知该 曲线上任何点处 切线 的斜 率 k ≥  
一  



则过其上不 同两点的直线 的斜 率均 大于 一   .  

设公 比为 口 , 前 n项 积为 M, 抽 出的是第 k项 。  
则 M:8   , 且  :( 4   )   .  

于 是 , 直 线 尸 口 的 倾 斜 角 的 范 围 是 [ o , 号 ) u ( 夸 ,   ) .  
2 . ( 2 一   , 2+   ) .   显 然 a<c 。 于是 ,  

故  ;  ) ”   , 即 专 q   ’ =  )  .  
从而 , q  。 =   ) ”“.   ① 

n 、 b 、 c能构成 三角形 
车  c— a< b<c+ a  

又   = 8   , 即 ( { )   q 山  = 8   , 有  
矿~=   ) “.   ② 
‘  
. 

甘对任 意正 整数  、 Y , 恒有 

专+   一  专“+  

比 较①、 ②两 式有 | } l 一 1 ;   上  
由k ≤n 。 解出 n ≤1 3 , 且 
=   .  

< p < √ 号+ √  + √ 号 +   +  .   ①  
由 √号+ √÷≥ 2 , 知  
式①右边 
:  +  + 

所 以, 1 2能整除 n一1 .  

从而 , n =l ( 与 已知矛盾 ) 或 n = 1 3 . 故 k =1 3 .  



  .  

三、 记 g (  ) ;  2   ) , 则 
)  g ( 1 0 g 2  ) =( 1 0 g 2  )  一 2 a l 0 g 2   +a   一1 .  

易知  =Y时 , 式①右边取最小值 2+   .   叉式①左边 的表达 式恰 为右边 表 达式 的倒数 ,   从而 , 其 最大值为 2 一   .  
故2 一   <P< 2+   .  
3. 1 9 6.  

故f (  ) 在 区间 [ 2  ’ , 2   ”   ] 上 的 值 域 为 
[ 一1 , 0 ] 。 等价 于 g(  ) =   一2   +a  一1在 区 间  [ a一1 , a  一2 a+2 ] 上 的值域为[ 一1 , 0 ] .  

由于 g ( a ) =~1 是g (  ) 在 R 内的最小 值 , 故 
由条件知 a E[ n—l , a   一2 a+2 ] , 且g (  ) 在该 区间 

可推广成 A中有 n 个元素 的情形 . 由条件知 , 若 

上的最 大值应 在端点处达到 ; 叉g (  ) 在 区间左端 点   处 的函数值 g ( a 一 1 ) = 0 恰为 g (   ) 在该 区间上 的最   大值 , 故 a必 在区间右半部分 , 即有 

a ∈A , 且a 材 的值域中, 则必有  a ) =a . 于是, 可  按 厂 的值域中的元素个数进行分类 , 使 厂 的值域中  


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二   ≤ 。≤ 0





2 。+2 .  

( 1 一e   c o d0 ) t   +( 1 +e ) [ ( 1 一e )  l 一  ] ?   2 t c o s   0+( 1 +e )  I [ ( 1 一e )  I 一2 s ] = 0 .   2 r   o ● ● ● , ● ‘ 甘 o ● ●    o 【  ●   当点 A、 曰存在 时 , 设 所对 应 的参 数分 别 为 t 。 、  
一 ●● ● ●  

解得 

≤。 ≤1 或2 ≤。 ≤  

.  



注: 由于 g( o+1 ) =g( o一1 ) =0 , 故必 有 o≤  
o。


6   1   2  

< <  t : , 则 t 。 t : ≠0 , 且 由 韦 达 定 理 知 

≥  +  
0  6 
,  , 

2 a+2 ≤o+1 . 由此 亦可解出 口的取值 范围 .   四、 引理 关于 . I f 的方程 . I f  +a x+b =0的根 的 
l   al <
. 



  一Ⅲ r  
= 一  

玎  。  


③ 

由式② 可知 ,   A (   I +t I 1 3 0 8   0 , t I   8 i n   0 ) , 曰(  I +t 2 o o 8   0 , t 2   8 i n   0 ) .  

模 均 小 于1 甘  ̄

’  

① 
小于 1  

L   6< 1

为证直 线 z 平分 N A和 N B的一组 夹 角, 只须证  明直 线 N A和 N B的斜率 互为相反数 . 这 等价于证明 
t I   s i n   0   一t 2 s i n   0   ∽o s   0‘  

引理的证明: 方程  +础 +b = 0的根白 蝴

+ _ 孽 毫 。 或 {   三 :   ( 。 ≤ r < 1 ) ,  
② 



 

甘 训

+  



一 c。 s  

一 

f   i = _  
= 一 2 c o s   .  
第 二 试 



甄1 f o   一 4 6 < 0 ,  
0 ≤ 6< 1 .  

( 去 + 去 )  

③ 

注意到方程组① 表示 ( 。 , b ) 平面上 由 4 - 。+b +  

1 =0 及 6=1 这 三条 直线 围成 的 三角 形 区域 ( 不含 


边界 ) , 而方程组②和③分别表示这个 区域在抛物线  。   = 4 b的下方 和上方 的部分 , 故两者等价 .   从而, 引理结论成立 .  
现证原题 .  



如图 3 , 延长 c 4 至点  , 联 结  、   、   、  

S D、 s c、 A D.  

由于( 。 , b ) 平面上方程组 ①表 示 的区域是 凸图 

形, 若( 。 , b ) 和( c , d ) 均在其 内, 则对任何  ∈[ 0 ,  
1 ] , ( ( 1 一  ) o+  c , ( 1 一A ) b +  d ) 也在此区域内 .   取  =  1, 知原题结论成立 .   五、 以 0为原点 、 O F 为  轴正 向建立直角 坐标  系. 设I   O FI =s , 则 曲线 I 1 的方 程为 
图3  

(   — s )   + y   = e   (   + ÷  

①  

易知 册 ∥   , 故  =  A S R=   P T A.   从 而, P、 F、 T 、 A四点共圆 . 于是 ,  
=  

F AT+  

=   脚

’ +  

又因为 O F? O M +O F? O N =( 1 一e ) 0 l l 4? O N  已限定  、 Ⅳ异于 点 0, 且当 I 1为椭 圆或 双曲线时 ,  


r Q D+   T S D=   S D C=   S A C.   则 A F平分  D A M.  
=  

Ⅳ异 于I 1 的 中心 ( 否则 , 有O F=( 1 一e ) 0 l l 4或 

同理 , 延长 B D至点 Ⅳ, 可证 D E平分  A D N.  
又  S 刀 =   A P T =   S Q e。 有  △ S   ∽△ S Q F.   于是。 s   =S T ? S Q.  

O F=( 1 一e ) O N, 矛盾 ) . 故 可设 M(  I , 0 ) (  I ≠0 ) ,  

知 Ⅳ 【  {   , 0 ) .  
又设直线  :  

同理可得 

=s   ? s Q, s c 2 =S T - S Q.
1  
二 

  .

{ X   = : £ X s l   i +   t c 0 。   ( f 为 参 数 ) ,  
其 中  的取值 只须保证式② 与 I 1 有公共点 .  
将式②代入①并整理 , 可得 

②  

故S F=S D=S C, 即 s为△ F C D 的外心 . 从而 ,  
1  
二 

F C D= ÷  F S D= 音, dA C D.  
则C F平 分  A C D. 所以, F为△ A D C的旁心 .  

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2 0 0 6 年第 2 期 
I 司理 知 E为△ D A B的旁心 . 因此 ,  
E A F=  


4 7  

= 

×3 ”  ( 3 ” 一1 ) .  

F A D一   E A D 


I( /A C D+Z A D C)

吉 (   脚+  ̄ D A B )  

当 m≥1 时, t t  个数字和模 3 余0 的数 中, 首位 
为 O的  一 。 个 的和 A   , 首位为 l 的  一 。 个的和为 
1 ×3   c   一 l +   — I=   +  




告 (   A D c 一   A 朋 ) : {   肋 c : ÷  c .  

I,

首 位 为 2的 b  1  

二、 记  =  一 P ( 1 一   ) .  

个 的和为 2 ×3   6   一 I +B m   l = 2×3 2 一 +   一 I . 则 
A m= A   一 l+3   m一 ’ +  


l +2×3 2   一  +  
1  

由加 权的算术一 几何平均不等式 有 


m  l  

(   ) 一   (  

)  ( 1 _  。  

=   + A m — l +   1 +  一 l =   + {×  ( 3 m 一 1 )  
厶 

1  


÷× 3   ( 3 一  一1 ) ( m≥1 ) .  
二 
1  

≤ (  ) 州 [  


厂  

从而, 在三 进制下 不超 过 m +1 位的 3  一1个 

(   )  (   )  
(   )  (  ) 南= ( n 一 1 ) n -  .  

恰当数之和为{ × 3   ( 3 一  一1 ) ( m≥1 ) ,  
厶 

由于 2   0 0 5 =( 2 2 0 2 0 2 1 )  为 7 位数 , 而 由前 面 的  
分析知 , 不超 过 7位 的正 整数 中 , 恰 当数 共有 3 6 —1  

则  ≤ (   )  (   )  


个, 和为 ÷× 3 6 ( 3 7 — 1 ) = 7 9 6   7 9 7 , 这个和中包括了  
二 

不超过 ( 2 2 2 2 2 2 2 ) , 而大 于 ( 2 2 0 2 0 2 1 )  的恰 当数 共 6 0   个. 将这 6 0个数从小到大排列 为 
( 2 2 0 2 1 0 2 ) 3 , ( 2 2 0 2 1 1 1 ) 3 , ( 2 2 21 0 2 0 ) 3 ,   ( 2 2 o 2 2 o 1 ) 3 , ( 2 2 0 2 2 1 0 ) 3 , ( 2 2 0 2 2 2 2 ) 3 ;   ( 2 2 1 0 0 0 1 ) 3 , ( 2 2 1 0 0 1 0 ) 3 , ( 2 2 1 0 0 2 2 ) 3 ,  

故 砉 禹= 骞  
≥ ( n 一 1 ) 。 ‘ ‘ n  。 ∑  =   。   .  
上式等 号 成 立 的条 件 是 
1 =   ,

=1一  : , 即 

( 2 2 1 0 1 0 0 ) 3 , ( 2 2 1 0 1   1 2 ) 3 , ( 2 2 1 0 1 2 1 ) 3 ;  
( 2 2 1 0 2 0 2 ) 3 , ( 2 2 1 0 2 1 1 ) 3 , ( 2 2 1 o 2 2 O ) 3 ,   ( 2 2 1 l O O O ) 3 , ( 2 2 1 l O 1 2 ) 3 , ( 2 2 1 1 21 0 ) 3 ;   ( 2 2 1 1 1 2) 0 3 , ( 2 2 1 l 1 l 1 ) 3 , ( 2 2 1 1 1 0) 2 3 ,  

=   2 a-

亦 即 施 = ( { )  
的最小值为   。   .  

从而,  

( 2 2 1 1 2 0 1 ) 3 , ( 2 2 1 1 2 1 o ) 3 , ( 2 2 1 1 2 2 2 ) 3 ;   ( 2 2 1 2 0 0 2 ) 3 , ( 2 2 1 2 0 1 1 ) 3 , ( 2 2 1 2 o 2 O ) 3 ,   ( 2 2 1 2 1 0 1 ) 3 , ( 2 2 1 2 1 l O ) 3 , ( 2 2 1 2 1 2 2 ) 3 ,   ( 2 2 1 2 2 0 0 ) 3 , ( 2 2 1 2 2 1 2 ) 3 , ( 2 2 1 2 2 2 1 ) 3 ;  

三、 对 mEN, 在三进 制下不超 过 m+1 位 的非  负整数共有 3  ’ 个, 设其 中数字 和模 3 余O 、 余 1 、 余 
2的数的个数分别为 ‰ 、 b  、 C m . 当 m≥1 时, 将 数字 

和模 3 余 0的数 按其 首 位 是 0 、 1 、 2分 类 ( 将 不 足  m+1 位的非负 整 数前 面添 上一 些 0而变 成 m +1   位, 以下仿此 ) , 易得 
am = Ⅱ 


( 2 2 2 O 0 O O ) 3 , (  

1 2 ) 3 , ( 2 2 2 0 0 2 1 ) 3 ,  

( 2 2 01 2 2) 0 3 , ( 2 2 01 2 l 1 ) 3 , ( 2 2 2 0 1 2 o ) 3 ,   ( 2 2 02 2 01 ) 3 , ( 2 2 2 0 2 1 0 ) 3 , ( 2 2 2 0 2 2 2 ) 3 ;   ( 2 2 2 1 ( 3 0 2 ) 3 , ( 2 2 2 1 O l 1 ) 3 , ( 2 2 2 1 0 2 0 ) 3 ,   ( 2 2 2 1 1 0 1 ) 3 , ( 2 2 2 1 1 l O ) 3 , ( 2 2 2 l l 2 2 ) 3 ;   ( 2 2 2 1 2 o o ) ¨( 2 2 2 1 2 1 2 ) 3 , ( 2 2 2 1 2 2 1 ) 3 ,  
( 2 2 2 2 0 0 1 ) 3 , ( 2 2 2 2 o 1 O ) 3 , ( 2 2 2 2 0 2 2 ) 3 ;  

1+ b  — I +c 胁 ~ 1 .  

同理 ,   =a m 一 1 +   1 +   l ,  
c m= Ⅱ m  1+b m 一 1 +C , n


1.  

于是 , % =b  =c  = 3  ( m≥ 1 ) .  

又显然  =b 0 =c 0 =1 , 故对 m∈N, 恒有 % =  

( 22 1 o o ) 3 , ( 2 2 2 2 1   1 2 ) 3 , ( 2 2 2 2 1 2 1 ) 3 ,   ( 2 2 2 2 2 0 2 ) 3 , ( 2 2 2 2 2 1   1 ) 3 , ( 2 2 2 2 2 2 0 ) 3 ;  

b  =c   = 3   . 从而, 在三进制下不超过 m+1 位的恰 
当数共有 3  一1 个.   对 mEN, 在三进制下不超过 m+1 位的  “个非  负整数 中, 设数字和模 3 余0 、 余1 、 余 2的数的和分别为 
、   、  ,

易算 出这 6 0个数之 和为 
1 2 0×( 3  +3   )+8 1 ×3 4+ ( 1 8   x   1 +2 4×2 )×  

3 3 +( 2 1 ×1 +2 1 ×2 ) ×3 2 +6 0 ×( 3 +1 ) =1 2 5   7 9 0 .  

故 S={ 1 , 2 , …, 2   0 0 5 } 中全体恰 当数之 和为 
7 9 6   7 9 7— 1 2 5   7 9 0=6 7 1   0 0 7.  

则  +   +c m等于这  “个数之和 , 即 
+c  =1 + 2+… +( 3  l 一1 )  

A  +  

( 方廷 刚   四川省成都 市第七 中学 , 6 1 0 0 4 1 )  


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