选修4-1 几何证明选讲 第一讲 相似三角形的判定及有关性质


选修4-1 几何证明选讲 选修 第一讲 相似三角形的判定及有关 性质

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相似三角形的判定及有关性质 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得线 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得线 平行线等分线段定理 段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第 推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 三边. 三边 推论2:经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 推论 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 .

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2.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例 对应线段成比例. 成比例 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线) 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 成比例. 所得的对应线段成比例 所得的对应线段成比例 3.相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比?对应中线 相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比? 的比?对应角平分线的比都等于相似比 的比?对应角平分线的比都等于相似比; 相似比 相似三角形周长的比?外接圆的直径比? 相似三角形周长的比?外接圆的直径比?外接圆的周长比都等 于相似比; 相似比 相似三角形面积的比?外接圆的面积比都等于相似比的平方 相似比的平方; 相似三角形面积的比?外接圆的面积比都等于相似比的平方

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4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边 在斜边上的射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边 在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边 的比例中项 上射影与斜边的比例中项 射影与斜边的比例中项. 的比例中项

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考点陪练

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1.如图 ?E分别是△ABC的边 ?AC上的点 如图,D? 分别是 分别是△ 的边AB? 上的点 上的点,DE∥BC,且 如图 的边 ∥ 且
AD = 2,那△ADE与四边形 与四边形DBCE的面积比是 的面积比是________. 那 与四边形 的面积比是 DB

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S?ADE 4 AD AD 2 解析 : Q = 2,∴ = ,故 = , DB AB 3 S?ABC 9 ∴ S ?ADE S四边形DBCE 4 = . 5

4 答案 : 5

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2.如图 如图,AA1与BB1相交于点 相交于点O,AB∥A1B1且AB=?A1B1.若 如图 ∥ 若 的外接圆的直径为1,则 △AOB的外接圆的直径为 则△A1OB1的外接圆的直径为 的外接圆的直径为 ________.

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解析:∵ ∥ 解析 ∵AB∥A1B1且AB=?A1B1, ∴△AOB∽△A1OB1, ∽ ∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比. 两三角形外接圆的直径之比等于相似比 的外接圆直径为2. ∴△A1OB1的外接圆直径为 答案:2 答案

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3.(2010·湛江质检)如图 在Rt△ABC中 ·湛江质检 如图 如图,在 △ 中 ,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 ∠ 于点D,CD=2,BD=3,则 ° ⊥ 于点 则 AC=________.

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解析 :由射影定理 : CD 2 = AD DB, 4 ∴ AD = , 又AC2 = AD·AB ∴ AC = AD AB 3 4 ?4 13 ? . = × ? + 3? = 3 ?3 3 ?

2 13 答案 : 3

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4.如图所示 △ABC中,D为BC中点 在CA上且 如图所示,△ 中点,E在 上且 上且AE=2CE,AD? 如图所示 中 为 中点 ? BE交于 则 交于F,则 交于

AF BF = _____, = _______ . FD FE

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解析 : 如图所示, 取BE中点G, 连接DG, 又D为BC中点. 则DG CE, 且CE = 2DG.Q AE = 2CE ∴ AE = 4DG,即 AE = 4. DG

AF AE EF AF 从而 = = 4,同理 = = 4, DF DG GF DF ∴ EF = 4GF.又BG = GE = GF + EF = 5GF, 则BF = 6GF. BF 6GF 3 ∴ = = . EF 4GF 2

答案 : 4

3 2

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5.一直角三角形的两条直角边之比是 ?: 一直角三角形的两条直角边之比是1? 一直角三角形的两条直角边之比是 上的射影的比是________. 上的射影的比是

3,则它们在斜边 则它们在斜边

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解析:如图 在直角三角形 解析 如图,在直角三角形 如图 在直角三角形ABC中, 中 BC?AC=1?3, ? ? 作CD⊥AB于D, ⊥ 于 由射影定理得BC 由射影定理得 2=BD·AB, · AC2=AD·AB, · 则

BC 2 BD 1 = = , 2 AC AD 9
9

故它们在斜边上的射影的比是1? 故它们在斜边上的射影的比是 ?: 9. 答案:1?: 答案 ?

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类型一

平行线(等 分线段成比例定理 平行线 等)分线段成比例定理

解题准备:解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基 解题准备 解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基 本图形,看清楚被平行线组截得的线段 本图形 看清楚被平行线组截得的线段. 看清楚被平行线组截得的线段

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上一点,连接 【典例1】 如图 为?ABCD边AB上一点 连接 交AC于 典例 】 如图,F为 边 上一点 连接DF交 于 G,并延长 交CB的延长线于 并延长DF交 的延长线于 的延长线于E. 并延长 求证:DG·DE=DF·EG. · 求证 ·

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[分析 由于条件中有平行线 考虑平行线 等)分线段定理及 分析] 由于条件中有平行线,考虑平行线 考虑平行线(等 分线段定理及 分析 推论,利用相等线段 平行四边形对边相等 经中间比代换, 推论 利用相等线段(平行四边形对边相等 经中间比代换 利用相等线段 平行四边形对边相等),经中间比代换 证明线段成比例,得出等积式 证明线段成比例 得出等积式. 得出等积式

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[证明]Q四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD BC, AB DC, AD = BC.Q AD BC, DG AD DF BC AD .又 Q AB DC,∴ ∴ = = = , EG EC DE EC EC DG DF ∴ = ,即DG DE = DF EG. EG DE

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[反思感悟 在有关比例问题的证明中 要结合平行线分线段 反思感悟] 在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段 反思感悟 成比例定理,构造平行线解决 平行线分线段成比例定理是 成比例定理 构造平行线解决.平行线分线段成比例定理是 构造平行线解决 几何选讲的基础内容,要熟练掌握 几何选讲的基础内容 要熟练掌握. 要熟练掌握

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类型二

相似三角形的判定及性质

解题准备:相似三角形的判定及性质的运用 是几何证明的基 解题准备 相似三角形的判定及性质的运用,是几何证明的基 相似三角形的判定及性质的运用 要注意比例线段在研究相似图形中的作用.应用三角形 础,要注意比例线段在研究相似图形中的作用 应用三角形 要注意比例线段在研究相似图形中的作用 相似既可推理证明,还可以计算线段的长度 我们常常利用 相似既可推理证明 还可以计算线段的长度,我们常常利用 还可以计算线段的长度 相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系,列方程计 相似三角形的性质找出几何图形中的等量关系 列方程计 算出未知量的值. 算出未知量的值

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梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E? 【典例2】 如图所示 梯形 典例 】 如图所示,梯形 中 ∥ 且 ? F分别是 ?BC的中点 分别是AB? 的中点 的中点,EF与BD相交于点 相交于点M. 分别是 与 相交于点 (1)求证 △EDM∽△FBM; 求证:△ 求证 ∽ (2)若DB=9,求BM. 若 求

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[分析] (1) 可由已知条件证DE CB; DM DE = , 又因为 ( 2 )由(1) 可得 BM BF 1 DE:BF = 2, 故BM = DB. 3

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[解] 1)证明 ∵E是AB的中点 解 证明:∵ 是 的中点 的中点, 证明 ∴AB=2EB. ∵AB=2CD,∴CD=EB ∴ 又AB∥CD, ∥ 是平行四边形. ∴四边形CBED是平行四边形 四边形 是平行四边形 ∴CB∥DE,∴△EDM∽△FBM. ∥ ∴ ∽

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DM DE . = ( 2 ) Q EDM∽ FBM,∴ BM BF Q F是BC的中点,∴ DE = 2BF.∴ DM = 2BM, 1 ∴ BM = DB = 3. 3

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[反思感悟 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选 反思感悟] 反思感悟 择判定定理,若题目条件涉及平行线可选择判定定理 或判 择判定定理 若题目条件涉及平行线可选择判定定理1或判 若题目条件涉及平行线可选择判定定理 定定理2. 定定理

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类型三

射影定理及应用

解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角 解题准备 直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角 三角形中的应用,在直角三角形中 灵活利用射影定理 三角形中的应用 在直角三角形中,灵活利用射影定理 可简 在直角三角形中 灵活利用射影定理,可简 化某些命题的证明和线段的计算. 化某些命题的证明和线段的计算 特别提醒:应用射影定理有两个前提条件 ①是直角三角形;② 特别提醒 应用射影定理有两个前提条件:①是直角三角形 ② 应用射影定理有两个前提条件 是斜边上的高线. 是斜边上的高线.

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分别在AC? 上 且 【典例3】 如图 在△ABC中,D?F分别在 ?BC上,且 典例 】 如图,在 中 ? 分别在 AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC. ⊥ ⊥ 求

[分析 本题中有多处垂直关系 要注意直角三角形射影定理 分析] 本题中有多处垂直关系,要注意直角三角形射影定理 分析 的合理应用. 的合理应用

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[解] 在△ABC中,设AC为x, 解 中设 为 ∵AB⊥AC,AF⊥BC,FC=1, ⊥ ⊥ 根据射影定理得:AC2=FC·BC,即BC=x2. 根据射影定理得 · 即 再由射影定理得: 再由射影定理得 AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC, · ·

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∴ AF = x 2 ? 1. 在 ABC中, 过点D作DE ⊥ BC于E, Q BD = DC = 1,∴ BE = EC, 又 Q AF ⊥ BC,∴ DE AF, DE DC ∴ = , AF AC DC AF ∴ DE = = AC
2 2

x2 ?1 .在Rt DEC中,Q DE 2 + EC2 = DC2 , x

? x ? 1 ? ? x 2 ?2 2 x2 ? 1 x4 即? ? + ? ? = 1 , 即 2 + = 1, ? x ? ? 2? x 4 ? ? ∴ x = 3 2, 即AC = 3 2 .
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[反思感悟 本题体现了基本图形基本性质的综合应用 还应 反思感悟] 本题体现了基本图形基本性质的综合应用.还应 反思感悟 该注意,作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的 该注意 作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的 方法. 方法

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分类不当? 错源 分类不当?考虑不全致误 边上的高,若 【典例】 已知 是△ABC的BC边上的高 若 典例】 已知AD是 的 边上的高 AD2=BD·CD,则△ABC的形状是 的形状是________. · 则 的形状是 [剖析 我们知道 在直角三角形中 斜边上的高是两直角边在 剖析] 我们知道:在直角三角形中 在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在 剖析 斜边上的射影的比例中项.反之 因三角形的一边上的高可 斜边上的射影的比例中项 反之,因三角形的一边上的高可 反之 能在三角形外,因此,原定理的逆命题是不成立的 能在三角形外,因此,原定理的逆命题是不成立的,即题中 因此 原定理的逆命题是不成立的,即题中 不一定是直角三角形. △ABC不一定是直角三角形 不一定是直角三角形

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[正解 若点 在线段 上,如图 所示 由AD2=BD·CD,可 正解] 若点D在线段 在线段BC上 如图 所示,由 如图(1)所示 正解 · 可 从而可得△ 是直角三角形. 证△ABD∽△CAD,从而可得△ABC是直角三角形 ∽ 从而可得 是直角三角形

若点D在 的延长线上 如图(2)所示 的延长线上,如图 所示,则仍可证 若点 在BC的延长线上 如图 所示 则仍可证 是钝角三角形. △ABD∽△CAD,但△ABC是钝角三角形 ∽ 但 是钝角三角形 综上所述,△ 是直角三角形或钝角三角形. 综上所述 △ABC是直角三角形或钝角三角形 是直角三角形或钝角三角形

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[评析 在几何图形中 分类讨论的数学思想是一种重要的思 评析] 在几何图形中,分类讨论的数学思想是一种重要的思 评析 想方法,例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形 想方法 例如本题的三角形之高可能在三角形内或三角形 外.又如直角三角形的直角顶点是哪一点 等腰三角形的腰 又如直角三角形的直角顶点是哪一点,等腰三角形的腰 又如直角三角形的直角顶点是哪一点 是哪两边,相似三角形的对应顶点是什么 诸如此类 是哪两边 相似三角形的对应顶点是什么,诸如此类 必须分 相似三角形的对应顶点是什么 诸如此类,必须分 类讨论. 类讨论

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技法 判定两个三角形相似的几种方法 判定两个三角形相似的几种方法:①两角对应相等 两三角形 判定两个三角形相似的几种方法 ①两角对应相等,两三角形 相似;②两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 两三角形相似;③ 相似 ②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边 对应成比例,两三角形相似 ④相似三角形的定义. 对应成比例 两三角形相似;④相似三角形的定义 两三角形相似

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【典例】 如图 已知 典例】 如图,已知 :AF·AD=AG·BF. · ·

ABCD中,G是DC延长线 中 是 延长线

上一点,AG分别交 和BC于E?F两点 证明 分别交BD和 于 ? 两点 两点,证明 上一点 分别交

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[证明]Q四边形ABCD为平行四边形, ∴ AB DC, AD BC.∴ ABF∽ GCF, GCF∽ GDA.∴ ABF∽ GDA. AF BF , 即AF AD = AG BF. 从而有 = AG AD

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[方法与技巧 一般地 证明等积式成立 可先将其化成比例式 方法与技巧] 一般地,证明等积式成立 证明等积式成立,可先将其化成比例式 方法与技巧 ,再根据三角形相似证明其成立 三角形相似具有传递性 如 再根据三角形相似证明其成立.三角形相似具有传递性 再根据三角形相似证明其成立 三角形相似具有传递性,如 果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么 △ 那么 △A1B1C1∽△A3B3C3.

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