西南石油大学线性代数期末4答案


线性代数考试试卷答案

一.选择填空(5 分*6=30 分) 0 ? ?1 2 ? 2 ?3 0 ? 1 1. ? ?0 0 5 ? ? 0 0 ?1 ? 5 ? 4. C n +1 1 1 n +1 2 1 二.解:原式= n + 1 1 2 n +1 1 1 0? 0? ? 2? 5? ? 3? 5? ?

?1 0 0? 1 ? 2. 2 2 0? ? ? 10 ? ? 3 4 5 ? ?

3. 0,1

可以

5. C 1 1

6. C 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = n +1 1

1 0 1 = (n + 1) 0 2 0

? 2 ?1 ?1? ? ?1 3 ? ? ? ? 三.解: X = A B′ , A = ? 3 ?1 ?2 ? , X = ? ? ?1 4 ? ? ? ? 2 ?1? ? ? ?1 1 1 ? ?
?1
?1

2?λ
四. 解: A ? λ E =

2

?2

2 2

5 ? λ ?4 = (λ ? 1) 2 (λ ? 10) 4 λ ?5

(1) 当 λ ≠ 1 且 λ ≠ 10 时,有唯一解。 (2) 当 λ = 1 时,有无穷多解。 (3) 当 λ = 10 时,无解。

五. 解: (1)Tr(A)=Tr(B), x ? 1 = y + 1 ? x ? y = 2

? x=0 由 λ = ?1 为 A ? λ E = 0 的根。所以 ? ? y = ?2

? ?2 0 0 ? ? (2) A = ? ? 2 0 2 ? ,其特征值为-1,2,-2。 ? ? 3 1 1? ? ?0? ? ?1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 当 λ = ?1 时, A ? λ E = ? 2 1 2 ? ? ?0 1 2 ? , P 1 = ? ?2 ? , ? ? ?1? ? ? 3 1 2? ? ? ?0 0 0 ? ? ?0 ? ? ?4 0 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? 当 λ = 2 时, A ? λ E = ? 2 ?2 2 ? ? ?0 1 ?1? , P2 = ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 3 1 ?1? ? ? ?0 0 0 ? ? ?0 0 0 ? ?0 0 0? ?1? ? ? ? ? ? 当 λ = ?2 时, A ? λ E = ? 2 2 2 ? ? ?1 0 1 ? , P3 = ? ?0? ? ? ? ?1? ? ?3 1 3? ? ? ?0 1 0? ? ?0 0 1? ? ?1 设P = ? ? ?2 1 0 ? ,则 P AP = B 。 ? ? 1 1 ?1? ? 3?λ 0 0 ?3 0 0? ? ? 六. 解: A = 0 5 2 , A ? λ E = 0 5?λ 2 = ?(λ ? 3) 2 (λ ? 7) = 0 ? ? ?0 2 5 ? ? 0 2 5?λ ?

∴ λ1 = λ2 = 3, λ3 = 7
?0 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ? 当∴ λ1 = λ2 = 3 时, A ? 3E = ? ?0 2 2 ? ? ?0 1 1 ? ? x2 + x3 = 0 ? ?0 2 2 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ?1 ? ?0? ?1 ? ?0? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1? P 1 = ?0 ? , P 2 = ? ?1? , ε1 = ? 0 ? , ε 2 = 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ?1? ?

?0 ? ?0? ? x1 = 0 1 ? ? ? ? 当 λ = 7 时, ? ? , P3 = ?1 ? , ε 3 = 1 2? ? ? x2 ? x3 = 0 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?

? ?1 0 ? 1 ? 取 P = ?0 ? 2 ? 1 ? 0 ? 2 ?

? 0 ? ? 1 ? ,作变换 X = PY 将 f ( X ) 化为标准型 2? ? 1 ? 2? ?

2 2 g (Y ) = f ( X ) = f ( PY ) = 3 y12 + 3 y2 + 7 y3

七. 证: (1) 设 λ1 , λ2 ,

, λn 为 A 的 n 个特征值, 由 A 正定 ? λi > 0(i = 1,
1

, n) ,

故 A?1 的特征值

λi

> 0 ,故 A?1 正定。

(2)对 ?X ≠ 0, X ′( A + B) X = X ′AX + X ′BX > 0 ,所以 A + B 正定。


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