12.2圆的方程(1)


圆的方程

问题1:已知一定圆C的半径为r,求 此圆的方程。 问题2:若设一定圆C的圆心在(a,b), 半径为r,求此圆的方程。

方程( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 是 圆心 为 C ( a , b ) ,半径为 r 的圆的标准方程
2 2 2

例1.根据圆的方程写出圆心和半径 2 2 (1)( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 5 (2,3) r ? 5 (2) ( x ? a ) ? y
2 2

? a

2

a ? 0

(-a,0)
2

r ? a
2

(3) x ? 2 x ? y ? 4 y ? 0 (-1,2)
r ? 5

例2.写出下列各圆的方程
(1)圆心在 C ( 3, 4 ),半径为 5 ; (2)经过点P(5,1),圆心(8,-3). (3)直径的两个端点为A(3,-2)和B (-1,6) (4)求以C(-1,2)为圆心,并且和直线2x3y-5=0相切的圆的方程。 (5)求经过点A(5,2)与点B(3,2),且圆心在直线 2x-y-3=0上的圆的方程。

例 3:已知 M ( x 0 , y 0 )为圆 C : x 一点,求过点

2

? y

2

? r 上
2

M 的圆 C 的切线 l 的方程。

将圆的标准方程 2 x ? 都可化到:

( x ? a) ? ( y ? b)
2

2

? r

2

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

展开后 这一形式

反之对于任意的 D 、 E 、 F ? R , 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (*) 是否就一定可以表示为圆的方程呢 ?
2 2

将方程(*)配方: ( x ?

D 2

) ? (y ?
2

E 2

)

2

?

D

2

? E 4

2

? 4F

? 当

时,方程(*)表示的轨迹 D E (? , ? ),半径 为圆心 r ? D ? E ? 4 F 的圆; 2 2 ? 当 D ? E ? 4 F ? 0时,方程(*)表示一个点 D E (? ,? ; ) 2 2 ? 当 D ? E ? 4 F ? 0时,方程(*)无解,无轨迹 图形
D
2

? E

2

? 4F ? 0

2

2

2

2

2

2

? Dx ? Ey 方程 称为圆的一般方程 x ? y
2 2

? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0



例4.根据下列条件,求圆的方程:

? 经过三点(2,2)、(1,0)、(3,0) ;
? 过原点(0,0)和点(3,-1),且在轴上截得的弦长

为2 ;
? 过点A(5,2)和B(3,2),且圆心在直

线上 2 x ? y ? 3 ? 0 .

小结:圆一般方程的代数特点:
项的系数相同 、没有 xy 项 ; ? D 、 E 、 F 是3个参量,因此只需3个独立的 条件就可以列出一个三元一次方程组,解 出未知数 D 、 E 、 F ,得到圆的一般方程,这 与圆标准方程中的3个参量 a 、 b 、 r 意义上 不同,但在代数方程中本质上完全相同。
?
x
2

y 、

2

例5.过圆O: x ? y ? 16 外一点 M(2, -6)作直线交圆O于A、B两点,求弦AB的 中点C的轨迹。
2 2

课堂小结:
? 圆的标准方程及圆方程下的圆心半径的求法; ? 圆的一般方程的代数特征;

? 在求圆方程的问题中,两类方程形式各有千秋:

(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和 半径一目了然. (2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构, 更适合方程理论的运用. ? 解决与圆相关的问题时注意灵活运用到一元二次 方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几 何、向量的基本知识.

课后作业
教科书第39页1、3、4 ; 第41页 3、4 ; 第42页 1、2、3.


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