江苏省南通市通州区2012年高一数学暑假自主学习 单元检测一 直线与方程


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高一数学暑假自主学习单元检测一 直线与方程
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是____ __. 4 2.若直线的倾斜角的余弦值为 ,则与此直线垂直的直线的斜率为____ __. 5 3.两条直线 ax+y-4=0 与 x-y-2=0 相交于第一象限,则实数 a 的取值范围是____ __. 4.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 α ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45°, 得到直线的倾斜角为 α +45°,则 α 的取值范围为____ 5.直线 xcosα + 3y+2=0 的倾斜角的范围是____ __. __.

6.已知点 A(-2,4)、B(4,2),直线 l 过点 P(0,-2)与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的 取值 范围是____ __. __.

7. 已知直线 l1:=2x+3, y 直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称, 则直线 l2 的斜率为____

8.过点 P(1,2)作直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,-5)距离相等,则直线 l 的方程为 ____ __.

9.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是____ __.

10.一条直线过点 P(1,2)且被两条平行直线 4x+3y+1=0 和 4x+3y+6=0 截取的线段长为 2,求这条直线的方程____ __. π 11.设 l1 的倾斜角为 α ,α ∈(0, ),l1 绕其上一点 P 沿逆时针方向旋转 α 角得直线 l2, 2

l2 的纵截距为-2,l2 绕 P 沿逆时针方向旋转 -α 角得直线 l3:x+2y-1=0,则 l1 的方
程为________. 12.已知 b>0,直线(b +1)x+ay+2=0 与直线 x-b y=0 互相垂直,则 ab 的最小值等于 _______. 13.已知△ABC 的两个顶点坐标为 B(1,4)、C(6,2),顶点 A 在直线 x-y+3=0 上,若△ABC 的面积为 21.则顶点 A 的坐标为____ __.
2 2 2 2

π 2

14.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴围成 一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为____ __. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知两直线 l1: +ysinθ -1=0 和 l2: xsinθ +y+1=0, x 2 试求 θ 的值, 使得: l1∥l2; (1)
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(2)l1⊥l2.

16.(本小题满分 14 分) 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: (1)斜率为

1 的直线; (2)过定点 A(?3,4) 的直线. 6

17.(本小题满分 14 分) 已知三条直线 l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0 及 l3:2x-3my-4=0,求 m 的值,使 l1,

l2,l3 三条直线能围成三角形.

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18.(本小题满分 16 分) 已知三直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:-4x+2y+1=0 和 l3:x+y-1=0 且 l1 7 与 l2 的距离是 5. 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距 1 离是 P 点到 l2 距离的 ;③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5?若能,求出 P 2 点的坐标;若不能,说明理由.

19.(本小题满分 16 分) 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并 求此时直线 l 的方程.

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20.(本小题满分 16 分) 将一块直角三角板 ABO ( 45o 角)置于直角坐标系中,已知 AB ? OB ? 1, AB ? OB , 点 P ( , ) 是三角板内一点,现因三角板中部分( ?POB )受损坏,要把损坏的部分锯掉, 可 用经过 P 的任意一直线 MN (M、N 可分别与 O、B 重合)将其锯成 ?AMN . (1) 求直线 MN 的斜率的取值范围;
???? 1 ???? (2) 若 P 点满足 MP ? PN ,这样的直线 MN 是否存在,如不存在,请说明理由;若存 3

1 1 2 4

在,求出此时直线 MN 的方程; (3) 如何确定直线 MN 的斜率,才能使锯成的 ?AMN 的面积最大和最小,并求出最值?

A

M
P
O N B

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高一数学暑假自主学习单元检测一参考答案 一、填空题: 1.答案:-2 或 1 4 2.答案:- 3 解析:由 a+2=

a+2 ,∴a=-2 或 1. a

4 π 解析:设直线的倾斜角为 θ ,由题意知,cosθ = ,θ ∈(0, ), 5 2

3 sinθ 3 4 ∴sinθ = ,k=tanθ = = .∴与此直线垂直的直线的斜率为- . 5 cosθ 4 3 6 ?x=1+a, ? 得? 4-2a ?y= 1+a . ?

3.答案:(-1,2)

?ax+y-4=0, ? 解析:由? ? ?x-y-2=0,

由 x>0,y>0,

6 ?1+a>0 ? 得? 4-2a ? ? 1+a >0

,解得,-1<a<2.

4.答案:0°<α <135°

解析:由?

?0°<α <180° ? ? ?0°≤α +45°<180°

,∴0°<α <135°.

π 5π 5.答案:[0, ]∪[ ,π ) 解析:由直线 xcosα + 3y+2=0,所以直线的斜率为 k= 6 6 - cosα 3 .

cosα 3 cosα 3 3 3 设直线的倾斜角为 β , tanβ =- 则 , 又因为- ≤- ≤ , 即- ≤tanβ ≤ , 3 3 3 3 3 3 π 5π 所以 β ∈[0, ]∪[ ,π ). 6 6 6.答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 取 值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 1 7.答案: 2 1 ∴l2 的斜率为 . 2
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解析:由 kPA=-3,kPB=1,由图得直线 l 的斜率 k 的

1 3 解析:∵l2、l1 关于 y=-x 对称,∴l2 的方程为-x=-2y+3,即 y= x+ , 2 2

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8.答案:4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0

解析:直线 l 为与 MN 平行或经过 MN 的中点的直

线,当 l 与 MN 平行时,斜率为-4,故直线方程为 y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0;当 l 3 3 经过 MN 的中点时,MN 的中点为(3,-1),直线 l 的斜率为- ,故直线方程为 y-2=- (x 2 2 -1), 即 3x+2y-7=0. 9. 答案: 2 10 解析: 分别求 P 关于直线 x+y=4 及 y 轴的对称点, P1(4,2)、 2(-2,0), 为 P

由物理知识知,光线所经路程即为|P1P2|=2 10. 10.答案:x+7y-15=0 或 7x-y-5=0 解析: (1)当斜率不存在时,直线方程为 x=1, 10 5 - ? ?= ≠ 2.∴x=1 不是所求直 3 ? 3 ?

5 10 ? 5 与两直线交点 A(1,- ),B(1,- ),∴AB=?- -? 3 3 ? 3 线.

(2)当斜率存在时,设为 k,则所求直线的方程为 y-2=k(x-1), 3k-7 -5k+8 它与两已知直线分别联立方程组, 求出它与两已知直线的交点坐标分别是 A( , ), 3k+4 3k+4

B(

3k-12 8-10k 5 5k 2 1 2 2 , ).由 AB =( ) +( ) =2,得 k=7 或 k=- . 3k+4 3k+4 3k+4 3k+4 7

故所求直线的方程为 x+7y-15=0 或 7x-y-5=0. 11.答案:2x-y+8=0 解析:∵l1⊥l3,∴k1=tanα =2,k2=tan2α = 2tanα 4 =- . 2 1-tan α 3

?y=-4x-2, ? 4 3 ∵l2 的纵截距为-2,∴l2 的方程为 y=- x-2. 由? 3 ?x+2y-1=0, ?
l1 过 P 点,∴l1 的方程为 2x-y+8=0.
12.答案:2 所以 ab= 解析:由两条直线垂直可得:-

∴P(-3,2),

b2+1 1 b2+1 ? 2=-1,解得 a= 2 , a b b b? =2, b
1

b2+1 b2+1 1 1 ?b= =b+ .又因为 b>0,故 b+ ≥2 b2 b b b b

1 当且仅当 b= ,即 b=1 时取“=”. |6-2+3| 13.答案:(7,10)或(-5,-2) 解析:点 C(6,2)到直线 x-y+3=0 的距离为 d= 2 7 = ,因为点 A 在直线 x-y+3=0 上,可以验证点 B(1,4)也在直线 x-y+3=0 上,所以设 2

A(x,y).
又因为直线 x-y+3=0 的倾斜角为 45°,所以|AB|=

|1-x| = 2|1-x|,所以三角形面积 cos45°

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S= |AB|d= ? 2|1-x|?
1 14.答案: 8

1 2

1 2

7 2

=21.所以 x=7 或 x=-5.故 A 点坐标为(7,10)或(-5, -2).
2

解析:l1:k(x-2)-2y+8=0 过定点(2,4),l2:k (y-4)=4-2x 也过定点(2,4),

1 1 2 1 2 2 如图,A(0,4-k),B(2k +2,0),S= ?2k ?4+(4-k+4)?2? =4k -k+8. 当 k= 时,S 取得最小 2 2 8 值. 二、解答题: 15.解: (1)法一:当 sinθ =0 时,l1 的斜率不存在,l2 的斜率为零,l1 显然不平行于 l2. 1 1 当 sinθ ≠0 时,k1=- ,k2=-2sinθ ,欲使 l1∥l2,只要- =-2sinθ ,sinθ sinθ sinθ =± 2 , 2

π π ∴θ =kπ ± ,k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当 θ =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 4 1 2 2 2 法二:由 A1B2-A2B1=0,即 2sin θ -1=0,得 sin θ = ,∴sinθ =± ,由 B1C2-B2C1≠0, 2 2 π π 即 1+sinθ ≠0, sinθ ≠-1, θ =kπ ± , ∈Z, 即 得 k ∴当 θ =kπ ± , ∈Z 时, 1∥l2. k l 4 4 (2)∵l1⊥l2 ∴A1A2+B1B2=0,∴2sinθ +sinθ =0,即 sinθ =0,∴θ =kπ (k∈Z), ∴当 θ =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2.

1 x ? b ,则直线 l 与坐标轴的交点为 A(?6b,0) 、 B(0, b) 6 1 1 依题设有 | 6b | ? | b |? 3 ,得 b ? ?1 ,则直线 l 的方程为 y ? x ? 1 2 6
16.解: (1)设直线 l 的方程为 y ?

?? 3 4 3 ? ? a ? b ?1 ?a ? 3 x y ? ?a ? ? (2)设直线 l 的方程为 ? ? 1 ,则由 ? ,解得 ? 2 或? a b ?b ? 2 ?b ? ?4 ? 1 | ab |? 3 ? ?2 ?
则直线 l 方程为

x y x y ? ? 1 或 ? ? 1 即 24 x ? 3 y ? 12 ? 0 或 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 3 ?4 3 2 ? 2
4 -4m ,得 l1,l2 的交点坐标为( , ). 4-m 4-m

17.解: (1)若 l1,l2,l3 三条直线交于一点.显然 m≠4,若 m=4,则 l1∥l2.
? ?4x+y-4=0 由? ?mx+y=0 ?

8 -4m 2 代入 l3 的方程得 -3m? -4=0.解得 m=-1 或 m= , 4-m 4-m 3

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2 ∴当 m=-1 或 m= 时,l1,l2,l3 交于一点. 3 1 (2)若 l1∥l2,则 m=4,若 l1∥l3,则 m=- ,若 l2∥l3,则 m∈?. 6 (3)若 l1∥l2∥l3,则 m∈?. 2 1 综上知:当 m=-1 或 m= 或 m=4 或 m=- 时,三条直线不能构成三角形, 3 6 即构成三角形的条件是

m∈(-∞,-1)∪(-1,- )∪(- , )∪( ,4)∪(4,+∞).
1 18.解: (1)∵l2:2x-y- =0,∴l1 与 l2 的距离 d= 2 1 |a+ | 2 7 5 = ,∵a>0,∴a=3. 10 5

1 6

1 6

2 3

2 3

(2)设存在点 P(x0,y0)满足②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l′:2x-y+c=0 上, |c-3| 1 = ? 2 5 1 |c+ | 2 13 11 13 11 ,即 c= 或 c= ,∴2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0, 2 6 2 6 5 |2x0-y0+3| 2|x0+y0-1| = , 5 5 2



若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式有:

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|.∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0, ∵P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能,

?2x0-y0+13=0, ? 2 联立? ?x0-2y0+4=0. ?

?x0=-3, ? 解得? 1 ?y0=2. ?

?2x0-y0+11=0, ? 6 (舍去) 由? ?x0-2y0+4=0, ?

?x =1, ? 9 得? 37 ?y =18, ?
0 0

1 37 ∴ P( , )即为同时满足条件的点. 9 18

19.解: (1)证明:直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x+2=0 令? ?1-y=0 ? ? ?x=-2 解之得? ?y=1 ?



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- , k

?-1+2k≤-2 ? k 在 y 轴上的截距为 1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有? ?1+2k≥1 ?
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解之得 k>0; 当 k=0 时,直线为 y=1,合题意,故 k≥0.

? 1+2k ?-1+2k,0?,B(0,1+2k).依题意得?- k <0, (3)由 l 的方程,得 A? ? ? k ? ? ?1+2k>0 ?
>0.

,解得 k

2 1 ? 1 1 1 ?1+2k? 1 (1+2k) 1? ∵S= ?|OA|?|OB|= ?? ?|1+2k|= ? = ?4k+ +4?≥ (2?2+4) ? k ? 2 2 2 ? k ? 2 k 2?

=4, 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0. 20.解: (1)由图知 A(1,1), B(1,0) , kOP ?

1 1 , k BP ? ? , 2 2

1 1 设直线 MN 的斜率为 k ,直线 MN 与 ?POB 不能相交,所以 ? ≤ k ≤ , 2 2

(2)直线 MN 的方程为 y ? 令 y ? x得x ? y ?

1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? k ( x ? ) ,令 x ? 1 得 y ? ? N (1, ) 4 4 4 2

2k ? 1 2 k ? 1 2k ? 1 ?M ( , ) 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

???? 1 ???? 1 2k ? 1 1 2 k ? 1 1 1 2k ? 1 1 1 ∵ MP ? PN ,∴ ( ? , ? ) ? (1 ? , ? ) ∴k ? ? 2 4(k ? 1) 4 4(k ? 1) 3 2 4 4 3 2

∴ MN 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,此时和 BP 重合. (3)由(2)知 | AN |? 1 ?
2k ? 1 3 ? 2k ,点 M 到直线 AN 的距离为1 ? 2k ? 1 ? 2k ? 3 ? 4 4 4(k ? 1) 4(k ? 1)

? S ?AMN ?

1 1 3 ? 2k 2 k ? 3 1 ? ? [(1 ? k ) ? ? 1] 4(k ? 1) 8 4(1 ? k ) 2 4

1 1 1 1 1 3 在 [ ,?? ) 上是增函数,故当 ? ? ≤ k ≤ ? ≤1 ? k ≤ 而函数 y ? x ? 2 2 2 2 4x 2 3 1 1 1 1 1 ? k ? ,即k ? ? 时 ? S ?AMN 取得最大值 当 1 ? k ? , 即k ? 时, 2 2 2 2 3 1 ? S ?AMN 取得最小值 (最小值也可用基本不等式直接得到). 4

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