2014年湖南高考数学(理科)试卷及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的

z ?1 =i (i 的虚数单位)的复数 z= z 1 1 1 1 1 1 A、 ? i B、 ? i C、 ? ? i 2 2 2 2 2 2
1、满足

D、 ?

1 1 ? i 2 2

2、对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 、 p2 、 p3 ,则 A、 p1 ? p2 ? p3 B、 p1 ? p2 ? p3 C、 p1 ? p3 ? p2 D、 p1 ? p3 ? p2 3、已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= x ? x ?1 ,则 f(1)+g (1)= A、 ? 3 B、 ? 1 C、1 D、3
3 2

4、 ( x ? 2 y ) 的展开式中 x 2 y 3 的系数是
5

1 2

A、-20

B、-5

C、5

D、20

5、已知命题 p:若 x>y,则-x<-y :命题 q:若 x>y,在命题 ① p?q ② p?q ③ p ? ( ?q ) ④ (?p) ? q 中,真命题是 A、①③ B、①④ C、②③

D、②④

6、执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ?[?2, 2] ,则输出的 S 属于

A、[-6,-2]

B、[-5,-1]

C、[-4,5]
1

D、[-3,6]
1

7、一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半 径等于

A、1

B、2

C、3

D 、4

8、某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年的生产总 值的年平均增长率为

p?q 2 C、 pq
A、

B、

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2 D、 ( p ? 1)(q ? 1) ?1

9、已知函数发 f(x)= sin(x ? ? ) ,且 A、 x=

?

2x 3 0

f ( x)dx ? 0 ,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是
C、x=

5? 6
2 x

B、x=

7? 12

? 3

D、x=

? 6

10、已知函数 f(x)= x +e 取值范围是

1 2 (x<0)与 g(x)= x +In(x+a) 的图象在存在关于 y 轴对称点,则 a 的 2

(-?, ) A、

1 e

B、 (-?,e)

(C、

1 ,e) e

(- e, ) D、

1 e

二、填空题,本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (一)选做题(请考生在第 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11.在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos a ? 的直线 l 与曲线 C : ? (a 为参数) 4 ? y ? 1 ? sin a

交于 A,B 两点,且 AB ? 2 .以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,则直线 l 的极坐标方程是_________。

12.如图 3,已知 AB,BC 是 BC= 2 2 ,则

O 的两条弦,AO ? BC,AB=

3,

O 的半径等于________。
2 2

13.若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x | ? a=________. (二)必做题(14-16 题)

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 3 3?

? y ? x, ? 14 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 且 z ? 2 x ? y 的最小值为-6,则 k ? _______。 ? y ? k, ?
15.如图 4 正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b), 原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 经

b ? _________。 a 16.在平面直角坐标系中,O 为原点 A(?1,0), B(0, 3),
过 C、F 两点,则 C(3 0)动点 D 满足 CD ? 1 ,则 OA ? OB ? OD 的最 大值是__________。 三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17 .(本小题满分 l2 分) 某企事业有甲、 乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为

2 3 和 , 3 5

现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立。 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (II)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万 元,求该企业可获利润的分布列和数学期望

18. (本小题满分 l2 分) 如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 (I) 求 cos ?CAD 的值 (II)若 cos ?BAD ? ? 求 BC 的长

17 21 ,sin ?CBA ? 14 6

19. (本小题满分 l2 分) 如 图 6 , 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 所 有 棱 长 都 相 等 ,

AC BD ? O, AC B1D1 ? O1 ,四边形 ACC1 A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形。 1 1 (I)证明: O1O ? 底面 ABCD;
(II)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值。

3

3

20. (本小题满分 13 分)

已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? p , n ? N .
n ?

(I)若 ?an ? 是递增数列,且 a1 , 2a 2 ,3a 3 成等差数列,求 p 的值; (II)若 p ?

1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式。 2

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e1 :双 a 2 b2 x2 y2 3 曲线 C2 : 2 - 2 =1 的左、右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 。已知 e1e2 = ,且 F2 F4 = 3-1 。 a b 2
21、如图 7,O 为坐标原点,椭圆 C1 :

(Ⅰ)求 C1 、 C2 的的方程; (Ⅱ)过 F 1 做 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边 形 APBQ 面积的最小值 22、已知常数 a>0,函数 f(x)=In(1+ax)-

(0, +?) (Ⅰ)讨论 f(x)在区间 上的单调性; (Ⅱ)若 f(x)存在两个极值点 x1 、 x 2 ,且 f( x1 )+f( x 2 )>0,求 a 的取值范围

2x 。 x+2

4

4

一.选择题.

4.【答案】A
n 【解析】第 n ? 1 项展开式为 C5 ? 5? n ?1 ? x ? ? ?2 y ? , ?2 ? n

5? n 3 ?1 ? ?1 ? 则 n ? 2 时, C ? x ? ? ?2 y ? ? 10 ? x ? ? ?2 y ? ? ?20 x 2 y 3 ,故选 A. 学科网 ?2 ? ?2 ? n 5

n

2

【考点定位】二项式定理 5.【答案】C 【解析】当 x ? y 时,两边乘以 ?1 可得 ? x ? ? y ,所以命题 p 为真命题 ,当 x ? 1, y ? ?2 时,因为 x 2 ? y 2 ,所以 命 题 q 为假命题,所以②③为真命题,故选 C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词 6.【答案】D
[来源:学科网]

【 解 析 】 当 t ?? ?2,0? 时 , 运 行 程 序 如 下 , t ? 2t ?1? ?1,9? , S ? t ? 3 ? ? ?2,6? , 当 t ??0, 2?
2

时, S ? t ? 3???3, ?1? ,则 S ? ? ?2,6? 【考点定位】程序框图 二次函数

??3, ?1? ? ??3,6? ,故选 D.

学科网

7.【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ,则

8 ? r ? 6 ? r ? 82 ? 62 ? r ? 2 ,故选 B.
5 5

【考点定位】三视图 内切圆 球

【考点定位】指对数函数 方程 二.填空题.

6

6

13.【答案】 ?3

? 5 ??3a?2 ?3 ? ? a ? ?3 ,故填 ?3 . 【解析】由题可得 ? 1 ? a?2 ?3 ? ?3
【考点定位】绝对值不等式 14.【答案】 ?2
[来源:学*科*网]

【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 ? k , k ? , ? 4 ? k , k ? , ? 2, 2? ,学科网 且 y ? x, x ? y ? 4 的可行 域如图,所以 k ? 2 , 则当 ? k , k ? 为最优解时 , 3k ? ?6 ? k ? ?2 , 当 ? 4 ? k , k ? 为最 优解时, 2 ? 4 ? k ? ? k ? ?6 ? k ? 14 , 因为 k ? 2 ,所以 k ? ?2 ,故填 ?2 .
[来源:Z.xx.k.Com]

【考点定位】线性规划

7

7

15.【答案】 2 ? 1

? a 2 ? pa a a a ? ? ? ? ? 【解析】由题可得 C ? , ?a ? , F ? ? b, b ? ,则 ? 2 ?a ? ? ? 2 ? 1 ,故填 2 ? 1 . b ?2 ? ?2 ? ?b ? 2 p ? ? b ? ?2 ? ?
【学科网考点定位】抛物线

【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则事件 B 为一种新产

8

8

则数学期望 E? ? 0 ?

2 4 1 2 ? 120 ? ? 100 ? ? 220 ? ? 32 ? 20 ? 88 ? 130 . 15 15 5 5

【考点定位 】分布列 期望 独立试验的概率 18.如图 5,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 . (1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ?

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

9

9

19.如图 6,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的所有棱长都相等, AC 和四边形 BDD1B1 为矩形. (1)证明: O1O ? 底面 ABCD ; (2)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值.
0

BD ? O, AC 1 1

B1D1 ? O1 ,四边形 ACC1 A1

19.【答案】(1) 详见解析 (2)

2 57 19

10

10

(2)过 O1 作 B1O 的垂线 交 B1O 于点 E ,连接 EO1 , EC1 .不妨设四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的边长为 2 a .

OO1 ? 底面 ABCD 且底面 ABCD / / 面 A1B1C1D1 ?OO1 ? 面 A1B1C1D1 又 O1C1 ? 面 A1B1C1D1 ?O1C1 ? OO1 四边形 A1B1C1D1 为菱形 ?O1C1 ? O1B1 又 O1C1 ? OO1 且 OO1 O1C1 ? O1 , O1O, O1B1 ? 面 OB1D ? O1C1 ? 面 OB1D 又 B1O ? 面 OB1D ? B1O ? O1C1 又 B1O ? O1E 且 O1C1 O1E ? O1 , O1C1 , O1E ? 面 O1EC1 ? B1O ? 面 O1EC1

? ?O1EC1 为二面角 C1 ? OB1 ? D 的平面角,则 cos ?O1EC1 ?
?CBA ? 600 且四边形 ABCD 为菱形

O1E EC1

?O1C1 ? a , B1O1 ? 3a, OO1 ? 2a, B1O ? B1O12 ? OO12 ? 7a ,
则 O1E ? B1O1 sin ?O1B1O ? B1O1

O1O 2a 2 21 ? 3a ? a B1O 7 7a
2 2

再由 ?O1EC1 的勾股定理可得 EC1 ? O1E ? O1C1 ?

12 2 19 a ? a2 ? a, 7 7

11

11

OE 则 cos ?O1 EC1 ? 1 ? EC1

2 21 a 2 57 2 57 7 ? ,所以二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值为 . 19 19 19 a 7

【考点定位】线面垂直 二面角

12

12

1 ?4 ? , n为奇数 ? ? 3 3 2n ?1 综上 an ? ? . 4 1 ? ? , n为偶数 ? ? 3 3 2n ?1
【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列

13

13

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率为 e1 ; 双曲线 a 2 b2 x2 y 2 3 ,且 F2 F4 ? 3 ? 1 . C2 : 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F3 , F4 ,离心率为 e2 ,已知 e1e2 ? a b 2 (1)求 C1 , C2 的方程; y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时,求四边形 APBQ (2)过 F 1 点的不垂直于
21. 如图 7, O 为坐标原点 , 椭圆 C1 : 面积的最小值.

21.【答案】(1)

x2 x2 ? y2 ? 1 ? y 2 ? 1 (2)4 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

【 解 析 】 解 :(1) 由 题 可 得 e1 ? 1 ?

3 b2 b2 2 2 , 且 F1 F2 ? 2 a ? b , 因 为 e1e2 ? ,且 , e ? 1 ? 2 2 2 2 a a

b2 3 且 a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 3 ?1 ? a ? 2b 且 ? 2 a 2 x2 x2 2 ? y ? 1 ? y 2 ? 1 .学科网 ,双曲线 C2 的方程为 b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆 C1 方程为 2 2 (2)由(1)可得 F2 ? ?1,0? ,因为直线 AB 不垂直于 y 轴, 所以设直线 AB 的方程为 x ? ny ? 1 ,联立直线与椭圆方
F2 F4 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ,所以 1 ?

b2 a2

1?

2 2 程可得 n ? 2 y ? 2ny ? 1 ? 0 ,则 y A ? yB ?

?

?

2n n , 则 ym ? 2 ,因为 M ? xM , yM ? 在直线 AB 上,所以 n ?2 n ?2
2

n2 ?2 xM ? 2 ?1 ? 2 , 因 为 AB 为 焦 点 弦 , 所 以 根 据 焦 点 弦 弦 长 公 式 可 得 n ?2 n ?2 4 2 ? n2 ? 1? y n 2 2n 2 AB ? 2e1 xM ? 2 2 ? 2 ?2 2 ? ,则直线 PQ 的方程为 y ? M x ? y ? ? x ,联立直 2 n ?2 xM 2 n ?2

14

14

[来源:学科网]

22.已知常数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ln ?1 ? ax ? ? (1)讨论 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上的单调性; 【答案】(1)详见解析

2x . x?2

(2)若 f ? x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,求 a 的取值范围. 【学科网解析】解:(1)对函数 f ? x ? 求导可得

ax 2 ? 4 ?1 ? a ? a ? x ? 2 ? ? 4 ?1 ? ax ? a 4 2 ? ? , 因 为 ?1 ? ax?? x ? 2? ? 0 , 所 以 当 f '? x? ? ? 2 2 2 1 ? ax ? x ? 2 ? ?1 ? ax ?? x ? 2 ? ?1 ? ax ?? x ? 2 ?
2

1 ? a ? 0 时 , 即 a ? 1 时 , f ' ? x ? ? 0 恒 成 立 , 则 函 数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单 调 递 增 , 当 a ? 1 时 ,

f '? x? ? 0 ? x ? ?
调递增的.

2 a ?1 ? a ? a

, 则函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ? ?

? 2 a ?1 ? a ? ? 2 a ?1 ? a ? ? ? 单调递减 , 在 ? ? ?? 单 ? ? ? a a ? ? ?
2

ax 2 ? 4 ?1 ? a ? a ? x ? 2 ? ? 4 ?1 ? ax ? a 4 ? ? (2) 解 :(1) 对函数 f ? x ? 求导可得 f ' ? x ? ? , ? 2 2 1 ? ax ? x ? 2 ?2 ?1 ? ax ?? x ? 2 ? ?1 ? ax ?? x ? 2 ?
因为 ?1 ? ax ?? x ? 2 ? ? 0 ,所以当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,则函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递
2

增,当 a ?1 时,

f '? x? ? 0 ? x ? ?

2 a ?1 ? a ? a

, 则 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? 0,

? ? ?

2 a ?1 ? a ? ? ? 单调递减,在 ? a ?

? 2 a ?1 ? a ? ? ? ? ? ? 单调递增的. 学科网 ? ? a ? ?
15 15

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