2015年高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教A版必修4


2015 年高中数学 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教 A 版必修 4
难易度及题号 基础 2、3、4 1 中档 6 12 7、8、9、11 5 10 13 稍难

考查知识点及角度 向量加减法运算的综合 用已知向量表示其他向量 向量加、减法运算的应用 相反向量及运用

→ → → → 1.四边形 ABCD 中,设AB=a,AD=b,BC=c,则DC=(

)

A.a-b+c C.a+b+c

B.b-(a+c) D.b-a+c

→ → → → → → → 解析:DC=DA+AB+BC=-AD+AB+BC=a-b+c. 答案:A 2.如图在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( )

→ → A.AB=DC → → → C.AB-AD=BD → → → 解析:AB-AD=DB,故 C 项错. 答案:C

→ → → B.AD+AB=AC → → D.AD+CB=0

3.已知 a,b,c 是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c +(b+a)中,与向量 a+b+c 相等的个数为( A.5 C.3 ) B.4 D.2

解析:依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与 a+b+c 相等,故选 A. 答案:A
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→ → → 4.如图,AB+BC-AD等于( → A.AD → C.DB

) → B.DC → D.AB

→ → → → → → → → → 解析:AB+BC-AD=AB-AD+BC=DB+BC=DC. 答案:B 5.若 a,b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( A.a∥b,且 a 与 b 方向相同 B.a,b 是共线向量 C.a=-b D.a,b 无论什么关系均可 解析:当 a 与 b 不共线时,一定有|a+b|<|a|+|b|;当 a 与 b 共线且同向时,有|a +b|=|a|+|b|.选 A. 答案:A → → → 6.如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AC 与 BD 交于 O 点, 则BA-BC-OA → → +OD+DA=________. → → → → → → → → → 解析:由题图知BA-BC-OA+OD+DA=CA-OA+OA=CA. → 答案:CA → → → 7.已知菱形 ABCD 边长都是 2,求向量AB-CB+CD的模. → → → → → → → 解:如图,∵AB-CB+CD=AB+BC+CD=AD, → → → → ∴|AB-CB+CD|=|AD|=2. )

→ → → → 8.平面内有四边形 ABCD 和点 O,若OA+OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状是( A.梯形 C.矩形 B.平行四边形 D.菱形

)

→ → → → → → → → → → 解析:因为OA+OC=OB+OD,所以OA-OB=OD-OC,即BA=CD.又 A,B,C,D 四点不共 → → 线,所以|BA|=|CD|,且 BA∥CD.故四边形 ABCD 为平行四边形.

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答案:B → → → 9.若 O 是△ABC 内一点,OA+OB+OC=0,则 O 是△ABC 的( A.内心 C.重心 B.外心 D.垂心 )

→ → → → → → → → 解析:如下图,以OB,OC为邻边作平行四边形 OBDC,则OD=OB+OC,又OA+OB+OC= 0.

→ → → → → ∴OB+OC=-OA.∴OD=-OA. ∴A,O,D 三点共线.设 OD 与 BC 的交点为 E,则 E 是 BC 的中点, ∴AE 是△ABC 的中线.同理可证 BO,CO 都在△ABC 的中线上,∴O 是△ABC 的重心. 答案:C 10.给出以下五个命题: ①|a|=|b|,则 a=b; ②任一非零向量的方向都是唯一的; ③|a|-|b|<|a+b|; ④若|a|-|b|=|a|+|b|,则 b=0; → → → ⑤已知 A,B,C 是平面上任意三点,则AB+BC+CA=0. 其中正确的命题是________.(填序号) 解析:由|a|=|b|,得不到 a=b,因为两个向量相等需要模相等,方向相同,故①不 正确; 若 b=0,|a|-|b|=|a+b|,故③不正确,其他均正确. 答案:②④⑤ → → → → 11.在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,先用 a,b 表示向量AC和DB,并回答:当 a,

b 分别满足什么条件时,四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形?
→ → → → 解:由向量加法的平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b. 当 a,b 满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线相等,四边形 ABCD 为矩形; 当 a,b 满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形 ABCD 为菱形; 当 a,b 满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形 ABCD 为正方形. → → 12.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,M 为斜边 AB 的中点,CM=a,CA=b.
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求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|. → 证明:如图,在等腰 Rt△ ABC 中,由 M 是斜边 AB 的中点,有|CM → → → |=|AM|,|CA|=|CB|. → → → (1)在△ACM 中,AM=CM-CA=a-b. → → 于是由|AM|=|CM|,得|a-b|=|a|. → → (2)在△MCB 中,MB=AM=a-b, → → → 所以CB=MB-MC=a-b+a =a+(a-b). → → 从而由|CB|=|CA|, 得|a+(a-b)|=|b|.

13.三个大小相同的力 a,b,c 作用在同一物体 P 上,使物体 P 沿 a 方向做匀速运动, → → → 设PA=a,PB=b,PC=c,判断△ABC 的形状. 解:由题意得|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做匀速运动,故合 力为 0, 即 a+b+c=0.所以 a+c=-b.如图, 作平行四边形 APCD 为菱 形. →

PD=a+c=-b.
所以∠APC=120°. 同理:∠APB=∠BPC=120°. 又因为|a|=|b|=|c|, 所以△ABC 为等边三角形.

→ → 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB=BA就可以把减 法转化为加法.即:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如 a-b=a+(-b). 2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减 数”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. → → 3.以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量AB=a,AD=b,则两条对角线表 → → → 示的向量为AC=a+b,BD=b-a,DB=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解 并记住.

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