【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:9.10二项分布及其应用(人教A版·数学理)


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课时提能演练(六十六)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.甲、乙两市都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨 天甲市占 20%,乙市占 18%,两市同时下雨占 12%.则甲市为雨天的条 件下,乙市也为雨天的概率为( ) 100 分)

(A)0.6 (B)0.7 (C)0.8 (D)0.66 1 2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率 3 1 1 分别为 , .假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至 4 5 少有 1 人去北京旅游的概率为( 59 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 60 5 2 60 3.在 4 次独立重复试验中,记事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0 <p<1),随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的 概率,则 p 的取值范围是( ) )

(A)[0.4,1) (B)(0,0.4] (C)(0,0.6] (D)[0.6,1) 4.(2011·湖北高考)如图,用 K、A1、A2 三类不同的 元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A2 至少有

一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依 次是 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( (A)0.960 (B)0.864 (C)0.720 (D)0.576 1 5.(预测题)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ,A 发生 B 不 9 发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同, 则事件 A 发生的概率 P(A) 是( ) )

2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 9 18 3 3 6.(2012·绍兴模拟)甲、 乙两人进行围棋比赛, 比赛采取五局三胜制, 2 无论哪一方先胜三局则比赛结束, 假定甲每局比赛获胜的概率均为 , 3 则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( 8 64 4 8 (A) (B) (C) (D) 27 81 9 9 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 1 7.在一段时间内,甲去某地的概率是 ,乙去此地的概率是 ,假定两 4 5 人的行动相互之间没有影响, 那么在这段时间内至少有 1 人去此地的 概率是 . )

2 3 8.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 , 3 4 两个零件是否加工为一等品相互独立, 则这两个零件中恰有一个加工 为一等品的概率为 .

9.(易错题)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个

红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分 别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再 从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则 下列结论中正确的是 2 ①P(B)= ; 5 5 ②P(B|A1)= ; 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2011·四川高考)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的 人越来越多, 某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过 两小时免费,超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分 按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一 1 1 车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 , ;两小时以上 4 2 1 1 且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四 2 4 小时. (1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率. 11.(2012·衡水模拟)某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动, (写出所有正确结论的编号).

根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品、3 种家电商品、5 种日 用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (2)商场对选出的 A 商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现 价的基础上将价格提高 120 元,同时允许顾客有 3 次抽奖的机会,若 中奖,则每次中奖都可获得 60 元奖金,假设顾客每次抽奖时获奖与 否是等可能的.试求某位顾客所中奖金数不低于商场提价数的概率. 【探究创新】 2 3 (16 分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两 3 4 人射击是否击中目标相互之间没有影响; 每人各次射击是否击中目标 相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次 的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少?

答案解析
1. 【解析】 A.甲市为雨天记为 A, 选 乙市为雨天记为 B, P(A)=0.2, 则

P(B)=0.18,P(AB)=0.12,∴P(B|A)=

P(AB) 0.12 = =0.6. P(A) 0.2

2.【解题指南】先求出三人都不去北京旅游的概率,再根据对立事件 求出至少有 1 人去北京旅游的概率. 1 1 1 【解析】选 B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 , , .因此, 3 4 5 2 3 4 他们不去北京旅游的概率分别为 , , ,所以,至少有 1 人去北京 3 4 5 2 3 4 3 旅游的概率为 P=1- × × = . 3 4 5 5 3.【解析】选 A.设事件 A 发生的概率为 p,则 C1p(1-p)3≤C2p2(1- 4 4 p)2,化简得 2(1-p)≤3p,解得 p≥0.4. 4.【解题指南】系统正常工作应保证 K 正常工作且 A1、A2 中至少有一 个正常工作. 【解析】 B.由相互独立事件的概率公式得 P=0.9×(1-0.2×0.2) 选 =0.9×0.96=0.864. 5.【解题指南】根据相互独立事件的概率公式构造含有 P(A)P(B)的 方程组求解. 1 【解析】 D.由题意, A )〃 B )= , A )〃 选 P( P( P( P(B)=P(A)〃 B ). P( 9 设 P(A)=x,P(B)=y,

?(1-x)(1-y)=1, ? 9 则? ?(1-x)y=x(1-y). ?

?1-x-y+xy=1, ? 9 即? ?x=y, ?

1 ∴x2-2x+1= , 9

1 1 2 ∴x-1=- ,或 x-1= (舍去),∴x= . 3 3 3 2 6.【解析】选 A.前三局中甲获胜 2 局,第四局甲胜,则 P=C2( )2× 3 3 2 2 8 (1- )× = . 3 3 27 7.【解题指南】至少有 1 人去此地的对立事件是两个人都不去此地, 求出两个人都不去此地的概率,再根据对立事件的概率得到结果. 【解析】由题意知,本题是一个相互独立事件同时发生的概率问题, 1 1 3 两个人都不去此地的概率是(1- )×(1- )= ,∴至少有一个人去 4 5 5 3 2 此地的概率是 1- = . 5 5 2 答案: 5 8.【解析】设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品;事件 B:乙实 2 3 习生加工的零件为一等品,则 P(A)= ,P(B)= ,所以这两个零件 3 4 中恰有一个加工为一等品的概率为:P(A B )+P( A B)=P(A)〃P( B ) 2 3 2 3 5 +P( A )〃P(B)= ×(1- )+(1- )× = . 3 4 3 4 12 5 答案: 12 【方法技巧】已知两个事件 A、B 相互独立,它们的概率分别为 P(A)、

P(B),则有 事件 A、B 同时发生 A、B 都不发生 A、B 恰有一个发生 A、B 中至少 有一个发生 A、B 中至多 有一个发生 表示 AB A B (A B )∪( A B) (A B )∪( A B) ∪(AB) (A B )∪( A B) ∪( A B) 概率 P(A)P(B) P( A )P( B ) P(A)P( B )+P( A )P(B) P(A)P( B )+P( A )〃 P(B)+P(A)P(B) P(A)P( B )+P( A )〃 P(B)+P( A )P( B )

9.【解题指南】根据事件互斥、事件相互独立的概念,条件概率及把 事件 B 的概率转化为 P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)可辨析此 题. 【解析】显然 A1,A2,A3 是两两互斥的事件, 有 P(B|A1)= 5 4 4 ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= , 11 11 11

而 P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)= 5 5 2 4 3 P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= × + × + × 10 11 10 11 10 4 9 5 = ,且 P(A1∩B)= , 11 22 22 P(A1)P(B)= 5 9 9 × = , 10 22 44

由 P(A1∩B)≠P(A1)P(B), 可以判定②④正确,而①③⑤错误.

答案:②④ 10.【解题指南】(1)直接利用互斥事件的概率求解; (2)相互独立事件同时发生的概率问题,直接利用公式求解. 【解析】(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件 1 1 1 1 1 1 A、B,则 P(A)=1- - = ,P(B)=1- - = . 4 2 4 2 4 4 1 1 即甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为 , . 4 4 (2)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元为事件 C,则 P(C)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( × )+( × + × )+( × + × + × )= . 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4 11.【解析】(1)从 2 种服装商品,3 种家电商品,5 种日用商品中, 选出 3 种商品,一共有 C3 种不同的选法.选出的 3 种商品中,没有日 10 用商品的选法有 C3种, 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的 5 C3 1 11 5 概率为 P=1- 3 =1- = . C10 12 12 (2)要使所中奖金数不低于商场提价数, 则该顾客应中奖两次或三次, 分别得奖金 120 元和 180 元. 1 顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的,其概率都是 . 2 1 1 3 所以中奖两次的概率是:P1=C32( )2( )= , 2 2 8 1 1 中奖三次的概率是 P2=( )3= . 2 8 3 1 1 故中奖两次或三次的概率:P=P1+P2= + = , 8 8 2

1 即所中奖金数不低于商场提价数的概率为 . 2 【变式备选】一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试, 测试题中有 4 道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一 3 道题被该考生正确做出的概率都是 . 4 (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少正确做出 3 道题,才能通过书面测试这一关,求这 名考生通过书面测试的概率. 【解析】(1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4), 3 则 P(Ai)= ,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名 4 考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率为 P(A1A2 A3 )= 3 3 1 9 P(A1)〃P(A2)〃P( A3 )= × × = . 4 4 4 64 (2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B,则这名考生至少正确做 出 3 道题,即正确做出 3 道题或 4 道题, 3 1 3 189 故 P(B)=C3×( )3× +C4×( )4= . 4 4 4 4 4 256 【探究创新】 【解析】(1)记“甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1. 由题意,射击 4 次,相当于做 4 次独立重复试验. 2 65 故 P(A1)=1-P( A1 )=1-( )4= , 所以甲连续射击 4 次至少有一次 3 81 未击中目标的概率为 65 . 81

(2)记“甲射击 4 次,恰有 2 次击中目标”为事件 A2, “乙射击 4 次, 恰有 3 次击中目标”为事件 B2,则 2 2 8 P(A2)=C2×( )2×(1- )4-2= , 4 3 3 27 3 3 27 P(B2)=C3×( )3×(1- )4-3= . 4 4 4 64 由于甲、乙射击相互独立,故 P(A2B2)=P(A2)〃P(B2)= 8 27 1 × = . 27 64 8

所以两人各射击 4 次, 甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的 1 概率为 . 8 (3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3, “乙第 i 次射击未 击中”为事件 Di(i=1,2,3,4,5),则 1 A3=D5D4〃 D3 〃( D2D1 ),且 P(Di)= . 4 由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)〃P(D4)〃P( D3 )〃P( D2D1 ) 1 1 3 1 1 45 = × × ×(1- × )= . 4 4 4 4 4 1 024 所以乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率为 45 . 1 024


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