(教师参考)高中数学 4.1.1 圆的标准方程课件1 新人教A版必修2


复习引入 我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢? y M r A O x 引入新课 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了. 因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用 坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离. y M (x, y) r O A(a,b) x 圆的方程 符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法 来表示这个集合吗? 符合上述条件的圆的集合: p ? ?M || MA |? r? y M (x, y) r O A(a,b) x 圆的方程 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示? 根据两点间距离公式:P 1P 2 ? 则点M、A间的距离为:MA ? 即: ?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? 2 2 . ?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 . p ? ?M | MA |? r? ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上? 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上. 把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle). 特殊位置的圆方程 圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是什么? 因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和半径 r 带入圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 得: 整理得: ( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r 2 2 2 x ?y ?r 2 2 2 典型例题 例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1) 是否在这 个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准 方程是: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点 M 1在这个圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上. 点与圆的位置关系 从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在 这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上. 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 内呢? 还是在圆外呢? y M3 M2 o A M1 x 点与圆的位置关系 2 2 2 怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 )在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢? 还是在圆外呢?

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