3.1.1同角三角函数的基本关系式


§3.1 同角三角函数 的基 本关系式

1、角的扩充

终边相同的角

k ? 360 ? ?
?

k ?Z

2、诱导公式 sin(k ? 360 ? ? ) ? sin ? cos(k ? 360 ? ? ) ? cos ? tan(k ? 360 ? ? ) ? tan ? cot(k ? 360 ? ? ) ? cot ? 3、弧度制

180 ? ? 180 ? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18? ? ? ?

1 ?
?

?

rad ? 0.01745rad

4、任意角的三角函数 r ? x ? y ? 0
2 2 2

正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

y sin ? ? r x cos ? ? r y tan ? ? x x cot ? ? y r sec ? ? x r csc ? ? y

y + + o x -

y + o + x

-

-

sin a ? 1 ? cos a ? 1

sin ?

csc ?

cos ?

sec ?

y + o + x

tan ?

cot ?

二、新课 我们发现规律: tan ??cot ?=1 sin ??csc ?=1 cos??sec ?=1
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sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sec2 ? ? tan2 ? ? 1 csc ? ? cot ? ? 1
2 2



sin ? sec ? tan ? ? ? cos ? csc ? tan ? csc ? sec ? ? ? sin ? cot ? cot ? sec ? csc ? ? ? cos ? tan ? csc ? cos ? cot ? ? ? sec ? sin ? sin ? cot ? cos ? ? ? tan ? csc ? tan ? cos ? sin ? ? ? sec ? cot ?



sin ?

cos ?

tan ?

1

cot ?

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sec ?

csc ?
2 2

1、平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ?
2 2

1 ? cot ? ? csc ?
2 2

sin ?

cos ?

tan ?

1

cot ?

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sec ?

2、商数关系

sin ? tan ? ? cos ? cos ? cot ? ? sin ?

csc ?

sin ?

cos ?

tan ?

1

cot ?

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sec ?

2、商数关系

sin ? tan ? ? cos ? cos ? cot ? ? sin ?

csc ?

sin ?

cos ?

tan ?

1

cot ?

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sec ?

2、商数关系

sin ? tan ? ? cos ? cos ? cot ? ? sin ?

csc ?

sin ?

cos ?

tan ?

1

cot ?

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sec ?

csc ?

3、倒数关系

tan ? ? cot ? ? 1 sin ? ? csc ? ? 1 cos ? ? sec ? ? 1

三、例题与练习:
例1:已知:sin?= ,且?是第二象限角, 求cos ?,tan ? ,cot?的值。
4 5

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注意:在求同角的另一 三角函数值时,一定要 先根据该角的象限确定 各种三角函数值的符号, 再选择公式求值!

8 例2:已知cos ?= ? 17

求sin ?和tan ?的值。

注意:求值的一般步骤: 1、一般先确定角的符号。
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2、根据目标选定要用的公式。 3、当角的象限无法确定时,要分情况讨论。

练习:教材P113练习1、2、3

例3:若tan ?=-2,

1 2 2 求 4 sin ? ? 5 cos 2 ?

的值。

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练习:若已知tan ?=2,求

3 sin ? ? 2 cos ? sin ? ? cos ?

的值

例4 已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,

cos? .
例5 化简下列各式:
? (1) 1 ? sin 2 100 ;( 2)

1 ? 2 sin 20 cos20.
? ?

演练反馈
5 cos ? ? ? ,求? 的其他各三角函数值. (1)已知: 13
15 (2)已知 tan ? ? ? ,求 8
?

, cos? . sin ?
?

(3)化简:

1 ? 2 sin 10 cos10

cos10? ? 1 ? sin 2 80?

本课小结
(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”, sin ? 2 2 因此 sin ? ? cos ? ? 1 , tan? ? ……. cos ? sin ? tan ? ? cot ? ? 1 ,……它们都是 (2)诸如 tan ? ? , cos ? 条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角 所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.


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