河北省张家口市涿鹿中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2015-2016 学年度第二学期期中考试 高一数学试卷
班级类型:高一各班;考试时间:120 分钟;总分 150 分

注意事项: 1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将第 I 卷(选择题)答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上;请将第 II 卷(非选择题) 答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I 卷(选择题 60 分) 一、单项选择题(60 分,每小题 5 分) 1.设非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是( A. )

1 1 ? a b

B. ab ? b 2

C. a ? b ? 0 )

D. a ? b ? 0

2.不等式 A. (1, ??)

x ?1 ? 0 的解集是 ( x?2
B. (??, ?2)

C. (-2,1)

D. (??, ?2) ∪ (1, ??) )

3.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30 ? 4. B. 60 ? C. 120? ). D. 150?

? 3 ? a ?? a ? 6 ? (-6≤a≤3)的最大值为(
B.

A.9

9 2

C.3

D.

3 2 2

5.若

{an } 为首项为 1 的等比数列, S n 为其前项和,已知 2a2 , S 3 , a4 ? 2 三个数成等差数

列,则数列

{a n } 的前 5 项和为(
1000 B. 3

2



A.341

C.1023 )

D.1024

6. ?ABC 中, b sin A ? a ? b ,则此三角形有( A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定 7.当 x ? 0, y ? 0, A.10

1 9 ? ? 1 时, x ? y 的最小值为( x y
B.12 C.14

) D.16

1

8.在△ABC 中三条边 a,b,c 成等比数列,且 b=错误!未找到引用源。,B=错误!未找到引用 源。,则△ABC 的面积为( ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。 9. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c.若 cosB= 则 b=( A. 4 ) B. 3 C. 2 D. 1 ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( D.121 )

15 1 sinC , =2, 且 S△ABC= , 4 sinA 4

10.数列{an}的通项公式是 an= A.120 B.99 C.110

11.已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x x ? , 或x ? 3} ,则 f (e x ) ? 0 的解集为( A、 {x x ? ? ln 2, 或x ? ln 3} C、 {x x ? ln 3} } B、 {x ln 2 ? x ? ln 3} D、 {x ? ln 2 ? x ? ln 3}

1 2



12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,数列 ?an ? 错误!未找到引用 源。 的前 n 项和为 Sn 错误! 未找到引用源。 ,且 Sn ? 2an ? 2 错误! 未找到引用源。 ,则 f (an )= ( A. 0 ) B. 0 或 1 C. ?1或 0 D. 1 或 ?1

第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题(20 分,每小题 5 分) 13.在 ?ABC 中, c ? a ? b ? 3ab ,则? C =
2 2 2

. .

14.数列 ?an ? 中, a1 ? 5, an ?1 ? an ? 2, n ? N * ,那么此数列的前 10 项和 S10 = 15.等差数列 ?an ? 中 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? 20 ,则 a3 ? a7 ? _________.

16.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集是 B,不等式 x +ax+ b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b=________. 三、解答题(70 分) 17.(本小题满分 10 分) 2 已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1,或 x>b}.

2

2

2

2

(1)求 a,b; 2 (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0(c∈R). 18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且, a cos C ? 2b cos A ? c cos a . (1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 6 , b ? c ? 8 ,求三角形 ABC 的面积. 19. (本小题满分 12 分) 数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 20. (本小题满分 12 分) 若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,试确定实数 a 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)

设正项数列{ 的图象上.

an }的前 n 项和 Sn ,对于任意 n ? N ? , 点 (an , Sn ) 都在函数

f ( x) ?

1 2 1 x ? x 4 2

(1)求数列{

an }的通项公式;

bn ?
(2)设

1 ,记数列 {bn } T T a n ? a n?1 的前 n 项和为 n ,求 n .

22.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足 : Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ) 若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

1 bn Tn ? . 求证: } 的前 n 项和, 2 an ? 2

第 8 题和第 12 题数学公式编辑器中格式未转换,可能不能正学显示,我截了图

3

4

参考答案 1.D 【解析】

1 2 a ? 0, b ? 1 试题分析:令 ,则 a 无意义,则 A 不正确;当 b ? 0 时, ab ? b ,当 b ? 0 时,

ab ? b 2 , 故 B 不正确; 令 a ? ?5, b ? 0 , 则a ?b ? 0, 故 C 不正确;a ? b 时, 则a ?b ? 0,
故选 D. 考点:不等式的性质. 2.C 【解析】 试题分析:本题一般等价转化为一元二次不等式 ( x ? 1)(x ? 2)? 0,然后直接得出结论

?2 ? x ? 1 .
考点:分式不等式的解法. . 3.B 【解析】
2 2 2 试题分析:由 ? a ? b ? c ?? b ? c ? a ? ? 3bc 可得 (b ? c)2 ? a2 ? 3bc 即 b ? c ? a ? bc ,又 2 2 2 由 余 弦 定 理 可 得 2bc cos A ? b ? c ? a , 所 以 2b c c o s A? b c 即 cos A ?

1 ,因为 2

A ? 60? ,选 B. A? ( 0 ? , ,所以 )
考点:余弦定理. 4.B 【解析】 由于-6≤a≤3, 所以 时等号成立 5.A 【解析】因为若 成等差数列, 6.B 【解析】 试题分析: 本试题相当于, 知道 a , b 及 A 的值, 判断三角形的个数问题, 由 a ? b 可知 A ? B , 所 以 角 A 必 为 锐 角 , 当 满 足 条 件 b sin A ? a ? b 时 , 如 下 图 , 定 角 A 及 b ? AC , CP ? b sin A ,以点 C 为圆心,a 长为半径作圆, 该圆与射线 AP 一定会有两个交点, 从而, 这样的三角形 ?ABC 有两个,故选 B.

? 3 ? a ?? a ? 6 ? =

3 81 9 3 ?(a ? )2 ? ≤ , 当且仅当 a=- 2 2 2 4

{an } 为首项为 1 的等比数列, S n 为其前项和,已知 2a2 , S 3 , a4 ? 2 三个数
2

2a 2 ? a 4 ? 2 ? 2S3 , 则数列 {a n } 的前 5 项和为 341 ,选 A

5

考点:1.正弦定理;2.三角形解的个数. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

1 9 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 所 以 x ? y ? ( x ? y)( ? ) = x y x y

10 ?

y 9x ? ? 10 ? 2 9 ? 16. x y

考点:基本不等式的应用. 8.C 2 【解析】选 C.由已知可得 b =ac,又 b=错误!未找到引用源。,则 ac=3, 又 B=错误!未找到引用源。,∴S△ABC=错误!未找到引用源。acsinB=错误!未找到引用源。 ×3×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 9.C 【解析】 试题分析:根据正弦定理

a c sin C c ? ? ? 2 , ? c ? 2a . 可得 sin A sin C sin A a

在 ?ABC 中, ? cos B ?

1 15 1 2 ? ,?sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? . 4 16 4

1 15 2 15 2 ,? a ? 1 ,? a ? 1, c ? 2 . ? S?ABC ? ac sin B ? a ? 2 4 4
? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?
考点:1 正弦定理;2 余弦定理. 10.A 【解析】由 ,

1 ? 4 ,? b ? 2 .故 C 正确. 4

所以 即 11.D 【解析】 ,解得 .选 A

, 即



6

试 题 分 析 : 由 题 意 一 元 二 次 不 等 式 所 对 应 的 二 次 函 数 开 口 向 下 , 则 f (e x ) ? 0 会 有

1 ? e x ? 3 ,解得 2 ? ln 2 ? x ? ln 3 ,故选 D.
考点:1.一元二次不等式与二次函数的关系;2.不等式的求解. 12.A 【解析】 试题分析:? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1),? f ( x) ? f ( x ? 2) ,所以 f ( x ) 函数周期为 2, ∵数列 ?an ? 满足 Sn ? 2an ? 2 ,?a1 ? ?2,Sn?1 ? 2an?1 ? 2, ?an ? 2an ? 2an?1, 即 an ? 2an?1, ?{an } 以-2 为首项,2 为公比的等比数列,

? an ? ?2n ,? f (an )=f (?2n ) ? f ?0? ? 0 ,故选 A.
考点:数列与函数的综合. 【名师点睛】 本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式, 在函数性质 综合应用中相互结合转化中奇偶性,对称性和周期性之间是一个重点. 二、填空题(20 分,每小题 5 分) 13.

? 6
2 2 2

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , c ? a ? b ? 3 ,b 所 以 , 由 余 弦 定 理 得 , a

c oCs ?

a 2 ? b2 ? 2ab

c 2 3ab 3 ? = ? , C ? (0, ? ) ,故? C = 。 2ab 2 6

考点:本题 主要考查余弦定理的应用。 点评:简单题,从已知出发,结合余弦定理求 cosC. 14. 140 【解析】 试题分析:根据题意,由于 a1 ? 5, an ?1 ? an ? 2, n ? N * ,那么可知数列 an?1 ? an ? 2 ,即数 列 ?an ? 是公差为 2,首项为 5 的等差数列,即可知前 10 项的和为

a10 ? a1 ? 10 ? 140 ,故答 2

案为 140. 考点:等差数列的求和 点评:主要是考查了等差数列的的通项公式,以及求和的求解属于 基础题。 15.10 【解析】略 16.-3 【解析】由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的 关系可知 :a=-1,b=-2,∴a+b=-3.

7

三、解答题(70 分) 17. (1) ?

?a ? 1 ?b ? 2

(2)当 c>2 时,解集为{x|2<x<c};当 c<2 时,解集为{x|c<x<2};当 c=2 时,解集 为? 【解析】 2 试题分析:解:(1)因为不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1,或 x>b}, 2 所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax -3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.

3 ? 1? b ? ? ?a ? 1 ? a 由根与系数的关系,得 ? 解得 ? ?b ? 2 ?1 ? b ? 2 ? a ?
2 2

6分

(2)不等式 ax -(ac+b)x+bc<0,即 x -(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为 ? . 2 ∴当 c>2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x< c}; 2 当 c<2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2}; 当 c=2 时,不等式 ax -(ac+ b)x+bc<0 的解 集为 ? . 考点:二次不等式的解集 点评:主要是考查了二次不等式的求解,属于基础题。
2

12 分

18. (1) cos A ?

1 7 3 ; (2) . 2 3

【解析】 试题分析: ( 1 )先用正弦定理将条件 a cos C ? 2b cos A ? c cos a 中的所有边换成角得到 sin A cos C ? sin C cos A ? 2 sin B cos A ,然后再利用两角和的正弦公式、 三角形的内角和 定理进行化简可得 cos A 的值; (2)利用(1)中求得的结果,结合 a ? 6, b ? c ? 8 及余弦定 理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ,可计算出 bc 的值,然后由(1) 中 cos A 的值,利用同角三角函数的基本关系式求出 sin A ,最后利用三角形的面积计算公 式即可算出三角形的面积. 试题解析: (1)由已知及正弦定理可得 sin A cos C ? sin C cos A ? 2 sin B cos A 2分 由两角和的正弦公 式得 sin( A ? C ) ? 2 sin B cos A 由三角形的内角和可得 sin B ? 2 sin B cos A 4分 5分 6分

1 因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 2
(2)由余弦定理得: 36 ? b ? c ? 2bc ?
2 2

1 2 ? ?b ? c ? ? 3bc ? 64 ? 3bc 2

8

? bc ?

28 3

9分

由(1)知 sin A ?

3 2

10 分

所以 S?ABC ?

1 28 3 7 3 ? ? ? 2 3 2 3

12 分.

考点:1.正弦定理与余弦定理;2.两角和的正弦公式;3.三角形的面积计算公式. 19. (1)d=-4; (2)S6=6×23+

6?5 (-4)=78; (3)n 的最大值为 12。 2

【解析】(1)由已知 a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0, 解得:-

23 23 <d<- ,又 d∈Z,∴d=-4 5 6 6?5 (-4)=78 2

(2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又 a6>0,a7<0 ∴当 n=6 时,Sn 取得最大值,S6=6×23+ (3)Sn=23n+ ∴0<n<

n( n ? 1) (-4)>0,整理得:n(50-4n)>0 2

25 ,又 n∈N*, 2

所求 n 的最大值为 12. 20. ? 2 ? a ? 2 【解析】解: 当 a ? 2 时,原不等式即为 ? 4 ? 0 ,恒成立, 即 a ? 2 满足条件; ……………………3 分
2 当 a ? 2 时,要使不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,

必须

?a ? 2 ? 0 ? 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 4 ? 4(a ? 2) ? 0

…………………9 分

即?

?a ? 2 ,解得, ? 2 ? a ? 2 . …………………11 分 ??2 ? a ? 2

综上所述, a 的取值范围是 ? 2 ? a ? 2 .………………12 分

9



? bn ?
(II)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 2n(2n ? 2) 4 n n ? 1

1 1 n 1 1 1 1 1 1 )? . ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 4 n ? 1 4(n ? 1) 4 2 2 3 n n ?1
22. (Ⅰ) an ? 2n?1 ? 2 ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ,由已知 Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) ,而 an 与 Sn 的关系 为 an ? Sn ? Sn?1 , 代 入 整 理 得 an ? 2an?1 ? 2 , 可 构 造 等 比 数 列 求 通 项 公 式 ; (Ⅱ)由

bn ? log2 (an ? 2) , 可求出 bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1 , 从而得

bn n ?1 ? n ?1 , 显 an ? 2 2

然是一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列 ,可用错位相减法求数列的和,可证

Tn ?

1 . 2
*

试题解析: (Ⅰ)解:当 n ? N 时, Sn ? 2an ? 2n ,则当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) 两 式 相 减 得

an ? 2an ? 2an?1 ? 2





an ? 2an?1 ? 2 ,∴ an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ,∴

an ? 2 ? 2 , 当 n ? 1 时 , S1 ? 2a1 ? 2 , 则 an ?1 ? 2

10

a1 ? 2 ,∴ {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,
∴ an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ? 2 ; ( Ⅱ ) 证 明 : bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,∴

bn n ?1 ? n ?1 , an ? 2 2



1 2 3 n n ?1 Tn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 , 两 式 相 减 得 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 1 1 1 n ?1 1 4 2 ? n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 1 2 2 2 2 2 2 4 2n ? 2 1? 2 1 1 1 n ?1 3 n ? 3 3 n?3 n?2 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? Tn ? ? n ?1 , , 当 4 2 2 2 4 2 2 2 n ? 3 n ? 2 n ?1 1 时, Tn ? Tn ?1 ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 , ∴ {Tn } 为递增数列,∴ Tn ? T1 ? 2 2 2 2 Tn ?
考点:1、由 Sn 求数列的通项公式, 2、错位相减法求数列的和.

2 3 n ?1 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2

11


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