2.3.2等差数列前n项和的性质


第二章





等差数列的前n项和公式(二)

1、等差数列的前n项和公式: (倒序相加)

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2 2、常见数列的前n项和; 3、等差数列的前n项和的性质; S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(an ? an ?1 ); S 2n ?1 ? (2n ? 1)an;

an S 2 n ?1 ? ; bn T2 n ?1
4、求和方法:裂项相消

Sn { }是等差数列. n

数列的前n项和公式可以转化为关于n的一元二次方程:
n(n ? 1) d d S n ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

反过来如果一个数列的前n项和公式是关于n的一 元二次方程,这个数列一定是等差数列么?
例1、 如果一个数列?an ?的前n项和为 : S n ? pn 2 ? qn ? r , ( p ? 0).那么这个 数列?an ?一定是的等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

?S1 提示:an ? ? ?S n ? S n ?1

n ?1 , n ? 2.

(n ? 1) ?p ? q ? r 解得:an ? ? ?2 pn ? p ? q (n ? 1)
? 只有r ? 0时,数列?an ?才是等差数列; 首项为:a1 ? p ? q, 公差为:d ? 2 p

数列?an ?的前n项和是关于n的一元二次(常数项为0)

? 那么数列?an ?是等差数列

等差数列前n项和的性质一:
A 公差为 2 。

2 S ? An ? Bn 数列?an ?是等差数列 ? n

既然等差数列的前n项 S n 和是关于n的一元二次,那 么它的最值怎么求呢?

等差数列前n项和的性质二:
不等式法求 S n的最值: ? an ? 0 若a1 >0,d<0且 ? ,则Sn最大。 ?an+1 ? 0
? an ? 0 若a1 <0,d>0且 ? ,则Sn最小。 ?an+1 ? 0

你能理 解么?

也可以用二次函数的图像求 S n 的最值,但要注意 n ? N ? 。

例1、已知等差数列5, 3, 1, ?的前n项和为S n , 求使S n 最大的序号n的值。
解1:由已知条件得:

an ? 5 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 7
?a n ? 0 由? ?a n ?1 ? 0

an ?1 ? ?2n ? 5
5 7 解得: ? n ? 2 2

不等式法

?n ? 3

于是当n ? 3,S n 取最大值。

例1、已知等差数列5, 3, 1, ?的前n项和为S n , 求使得S n 最大的序号n的值。

解2:由已知可得
a1 ? 5,d ? ?2
得S n ? 5n ?
n ( n ?1) ? (?2) 2

? ? n ? 6n

2

即:S n ? ?(n ? 3) ? 9
2

图像法

? 当n ? 3,S n 取最大值。

例3:已知数列?an ?是等差数列,sn 是其前n项的和。 求证:s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列。
解:设等差数列首项为 a1 , 公差为d,则有 :

s6 ? 6a1 ? 15d s12 ? 12a1 ? 66d s18 ? 18a1 ? 153d
? s12 ? s6 ? 6a1 ? 51d

s18 ? s12 ? 6a1 ? 87d

? (s12 ? s6 ) ? s6 ? 36d
(s18 ? s12 ) ? (s12 ? s6 ) ? 36d
? s6 , (s12 ? s6 ), (s18 ? s12 )是等差数列,公差为36d。

能不能把此例结论推广 到一般情况:
结论:可以。

等差数列前n项和的性质三:
等差数列平均分组,各组之和仍为等差数列。
如果?an ?为等差数列 ,则S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 也成等差数列。

新的等差数列首项为 Sk,公差为k 2 d。

1、已知{an}是等差数列:

(1)a1+a2+a3=5,a4+a5+a6=10,则a7+a8+a9=___ 15
a19+a20+a21=_____ 35 (2)Sn=25,S2n=100,则S3n=_____ 225

2、等差数列{an }的前n项和为S n,公差d ? 2, 若S 4 ? 1 ,求a17 ? a18 ? a19 ? a20。
解:由已知可得数列 S 4,S8 ? S 4, ?,S 20 ? S16 是等差数列,公差为 4 2 d ? 32。

所以S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129

因为a17 ? a18 ? ? ? a20 ? S 20 ? S16

? a17 ? a18 ? ? ? a20的值为 129。

等差数列前n项和的性质四:
若等差数列 {an } 共有2n-1项,

你能证 明么?

则:S奇 - S偶 ? a中 ? an
若等差数列 {a n }共有2n项,

S奇 S偶 S奇 S偶

n ? n ?1

则:S偶 - S奇 ? nd

an ? a n ?1

S奇、S偶分别表示所有奇数项或 偶数项的和。

3、等差数列{an }的前n项和为S n,公差d ? 2,求
(1)(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 )
a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 (2) a2 ? a4 ? a6 ? a8

答案: (1) ? 5d ? ?10 5 ( 2) 4

等差数列前n项和的性质五:

若Sm ? S p (m ? p),则S m? p ? 0

你能证 明么?

若Sm ? p,S p ? m, (m ? p),则S m? p ? ?(m ? p)

p m 4、 在等差数列{an }中,S p ? , S m ? (m ? p), 则S m ? p 的值( A) m p
A.大于4 B.等于4 C.小于4 D.大于2且小于4

1 例4、正项数列{an },S n ? (an ? 2) 2, 8

(1)求证{an }是等差数列。 1 (2)若bn ? an ? 30,求数列{bn }的前n项和的最小值。 2

1 1 2 2 解:a n+1 ? Sn?1 ? Sn ? (a n+1 ? 2) ? (a n ? 2) ? 8 8 ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 4) ? 0, an ? N ? an?1 ? an ? 4 ? 数列?an ?是等差数列。

1 例4、正项数列{an },S n ? (an ? 2) 2, 8 (1)求证{an }是等差数列。 1 (2)若bn ? an ? 30,求数列{bn }的前n项和的最小值。 2

1 解:(2)由知a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 ? a1 ? 2 8
? an ? 4n ? 2 ? bn ? 2n ? 31 ?bn ? 0 29 31 ? ?n? , ? 2 2 ?bn?1 ? 0 ? ?225

n? N

?

? n ? 15,??bn ?的前15项为负, ? S15最小 且S15 ?

等差数列前n项和的性质: ①

S 2n ?1 ? (2n ? 1)an; S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(an ? an ?1 );



an S 2 n ?1 ? ; bn T2 n ?1
Sn { }是等差数列. n



2 S ? An ? Bn ? n ④ 数列?an ?是等差数列

⑤ 不等式法求 S n的最值:

? an ? 0 若a1 >0,d<0且 ? ,则Sn最大。 ?an+1 ? 0 ? an ? 0 若a1 <0,d>0且 ? ,则Sn最小。 ?an+1 ? 0

⑥ 如果?an ?为等差数列,sk , s2k ? sk , s3k ? s2k 也成等差数列。

新的等差数列首项为 Sk,公差为k d。
2

⑦ 若等差数列 {an } 共有2n-1项,

则:S奇 - S偶 ? a中 ? an
若等差数列 {a n }共有2n项,

则:S偶 - S奇 ? nd
⑧ 若Sm ? S p (m ? p),则S m? p ? 0

若Sm ? p,S p ? m, (m ? p),则S m? p ? ?(m ? p)

P46 习题2.3 A组:4,6 B组: 3


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