2016高考


第7讲
最新考纲

函数的图象

1.理解点的坐标与函数图象的关系;2.会利用平

移、对称、伸缩变换,由一个函数图象得到另一个函数的图
象;3.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解 的个数与不等式的解的问题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
1.函数图象的作法

(1)描点法作图:通过列表、描点、连线三个步骤,画出函
数图象.用描点法在选点时往往选取特殊点,有时也可利 用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象. (2)图象变换法作图:一个函数的图象经过适当的变换,得 到另一个与之有关的函数图象,在高考中要求学生掌握三

种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换).

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.函数图象间的变换

(1)平移变换

对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: 左加右减,上加下减.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)对称变换

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考点突破

课堂总结

(3)伸缩变换 纵坐标不变 y=f(x)――――――――――――――――――→ y=f(ax). 1 各点横坐标变为原来的a(a>0)倍 横坐标不变 y=f(x)――――――――――――――――――――→y=Af(x). 各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 同. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. 关于直线x=1对称. 关于直线x=1对称. f(-x-1)的图象.
基础诊断 考点突破

精彩PPT展示 ( ×) (×) (√ ) ( ×) (×)
课堂总结

(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相

(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象

(4)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象
(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=

2.(2014· 浙江卷)在同一直角坐标系中,函数f(x)= xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是 ( )

解析

∵a>0,且a≠1,∴f(x)=xa在(0,+∞)上单调递

增,∴排除A;当0<a<1或a>1时,B,C中f(x)与g(x)
的图象矛盾,故选D. 答案 D
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3.(2014· 山东卷)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a >0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是 ( )

A.a>1,c>1 C.0<a<1,c>1 解析 答案

B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1

由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0< D
基础诊断 考点突破 课堂总结

a<1.又当x=0时,y>0,即logac>0,所以0<c<1.

4.已知函数

? ?2,x>m, f(x)=? 2 的图象与直线 ? ?x +4x+2,x≤m

y=x 恰有 ( )

三个公共点,则实数 m 的取值范围是

A.(-∞,-1]
C.[-1,2] 解析 法二 法一 排除A,故选B.

B.[-1,2)
D.[2,+∞)

特值法,令m=2,排除C,D,令m=0,

令x2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2,

所以三个解必须为-1,-2和2,
所以有-1≤m<2.故选B. 答案 B
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5.(人教A必修1P112A2)点P从点O出发,按逆时针方向沿周 长为l的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P走过 的路程x的函数关系如图,那么点P所走的图形是 ( )

答案

C
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点一

简单函数图象的作法

【例1】 作出下列函数的图象:
x+2 (1)y=|lg x|;(2)y= . x-1
解 (1)y=|lg
? ?lg x,x≥1, x|=? 作出图象如图 ? - lg x , 0 < x < 1 , ?

1.

3 3 (2)因 y=1+ ,先作出 y=x的图象,将其图象向右平移 x-1 x+2 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y= 的图象,如 x-1 图 2.
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规律方法

(1) 常见的几种函数图象如二次函数、反比例函 m 数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+ x (m>0)的 函数是图象变换的基础.(2)常握平移变换、伸缩变换、对称 变换规律,可以帮助我们简化作图过程.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练1】 作出下列函数的图象:

(1)y=2x+2;(2)y=x2-2|x|-1.
解 (1)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图 1.(2)y (x≥0), 图象如图 2. (x<0).
2 ? ?x -2x-1 =? 2 ? ?x +2x-1

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课堂总结

考点二

函数图象的辨识

2x|cos 2x| 【例 2】 (1)(2014· 成都三诊)函数 y= 2x 的部分图象大致 2 -1 为 ( )

3x (x≤1), ? ? (2)函数 f(x)=? 1 则 y=f(1-x)的图象是( log x (x>1), ? ? 3

)

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考点突破

课堂总结

解析

(1)依题意,注意到当x>0时,22x-1>0,2x|cos 2x|≥0,此

时y≥0;当x<0时,22x-1<0,2x|cos2x|≥0,此时y≤0,结合各选

项知,故选A.
(2)画出y=f(x)的图象,再作其关于y轴对称的图象,得到y=f(-x) 的图象,再将所得图象向右平移1个单位,得到y=f[-(x-1)]= f(-x+1)的图象. 答案 (1)A (2)C

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考点突破

课堂总结

规律方法

函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数

的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象 的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征

点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

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课堂总结

【训练2】 (1)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大 致为 ( )

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)(2014· 新课标全国Ⅰ卷) 如图,圆O的半径为
1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的 始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直 线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距 离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

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课堂总结

解析 (1)因为 f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)· sin x =-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除 B; 当 x∈(0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以 f(x)>0,排除 A; 又函数 f(x)的导函数 f′(x)=sin2x-cos2x+cos x,所以 f′(0)=0, 排除 D,故选 C. π (2)由题图可知:当 x= 时,OP⊥OA,此时 f(x)=0,排除 A, 2 ? π? ? D;当 x∈?0, ? ?时,OM=cos x,设点 M 到直线 OP 的距离为 2 ? ? d d,则OM=sin x,即 d=OMsin x=sin xcos x, 1 1 ∴f(x)=sin xcos x= sin 2x≤ ,排除 B. 2 2

答案

(1)C

(2)C
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考点三

函数图象的应用

【例3】 (1)(2014· 山东卷)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)= kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取

值范围是
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

(

)

C.(1,2) D.(2,+∞) (2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点, 则 a 的取值 范围是________.

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解析

? ?x-1,x≥2, (1)f(x) = ? 如图,作 ? ?3-x,x<2.

出 y=f(x)的图象,其中 A(2,1),则 kOA 1 = .要使方程 f(x)=g(x)有两个不相等的 2 实根, 则函数 f(x)与 g(x)的图象有两个不 1 同的交点,由图可知, <k<1. 2

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课堂总结

2 ? x ? -x+a,x≥0, (2)y=? 2 作出图象, 如图 ? ?x +x+a,x<0,

所示. 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a 1 - ,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a 4 1 5 - <1<a,∴1<a< . 4 4 ? 5? 答案 (1)B (2)?1,4? ? ?

规律方法
思想方法.

利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问

题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的

基础诊断

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课堂总结

【训练3】 (1)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]

时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图
象的交点共有 A.10个 B.9个 C.8个 ( D.7个 )

(2)(2014· 黄冈调研)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对
于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值 范围是________. 解析 (1)根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可 作图如下

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课堂总结

可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;当x>10时,|lg x|>1. 因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共 有10个. (2)如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1, ∴a≥-1.

答案

(1)A

(2)[-1,+∞)
基础诊断 考点突破 课堂总结

微型专题

函数图象的对称性问题

函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质 的一个重要方面,它包含一个函数图象自身的对称性和两个 函数图象之间的对称性,其中两个函数图象之间对称性的实

质是两个函数图象上的对应点之间的对称性,所以问题的关
键在于找到对应点的坐标之间的对称性,可取同一个y值, 寻找它们横坐标之间的对称性或者取同一个x值,寻找它们 纵坐标之间的对称性.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【例4】 下列说法中,正确命题的个数为

(

)

①函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0对称;
②函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称; ③如果函数y=f(x)对于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),那 么y=f(x)的图象关于直线x=a对称; ④函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.

A.1
C.3 点拨

B.2
D.4 先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数

图象之间的对称,再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条
垂直于x轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断.
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析 对于①,把函数 y=f(x)中的 y 换成-y,x 保持不变,得 到的函数的图象与原函数的图象关于 x 轴对称;对于②,把函 数 y=f(x)中的 x 换成-x,y 换成-y,得到的函数的图象与原 函数的图象关于原点对称;对于 ③,若对于一切 x∈R,都有 f(a + x) = f(a - x) , 则 f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x = (a+x)+(a-x) =a 对称;对于④,因为函数 y=f(x)与 y 2 =f(-x)的图象关于 y 轴对称, 它们的图象分别向右平移 1 个单 位长度得到函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象;即 y=f(x-1) 与 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.

答案

D

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点评

本题的难点在于对函数图象的各种对称的正确理解,

熟练掌握这些基础知识是化解难点的关键.在复习备考中要 对函数图象的各种对称进行总结.

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考点突破

课堂总结

[思想方法] 1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先 要明确函数图象的位置和形状:(1)可通过研究函数的性质 如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等;(2)可通过 函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3) 可通过方程的同解变形,如作函数 y= 1-x2的图象.

2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范 围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式 中参数的关系.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)用图
要用函数的思想指导解题,即方程的问题函数解(方程的 根即相应函数图象与x轴交点的横坐标,或是方程变形

后,等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标),不等
式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个 函数图象的上方或下方时的相应x的范围). [易错防范] 1.用描点法作函数图象时,要注意取点合理,并用“平滑”

的曲线连接,作完后要向两端伸展一下,以表示在整个
定义域上的图象. 2.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象 对称的区别.
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