广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文试题


绝密★启用前

2013 学年高三调研测试(一)

数学(文科)

2013.8

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 用 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡一并交回。 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ,则 1.复数 z 满足 ? z ? 2 ??1 ? i ? ? 2 ( i 为虚数单位) z 的共轭复数 z 为

A. 1 ? i
A ? CU B ?

B. 1+ i

C. 3 ? i

D. 3 + i

,, , 2 已知集合 A, B 均为全集 U ? ?1 2 3,4? 的子集,且 CU ? A ? B ? ? ?4? , B ? ?1 2? ,则 .

A . ?3?

B. ?4?

C.

4 ?3,?

D. ?

3.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ?

A. 85

B. 135
0.2

C. 95
2

D. 23

4.设 a ? log 0.2 2, b ? log 0.2 3, c ? 2 , d ? 0.2 ,则这四个数的大小关系是

A. a ? b ? c ? d B. d ? c ? a ? b C. b ? a ? c ? d D. b ? a ? d ? c 5.对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是 A. 若 a ? m, a ? n, m ? ? , n ? ? , ,则 a ? ? B. 若 ? / / ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则 a // b
C. 若 a // b, b ? ? ,则 a // ?

D. 若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ?
6.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?0, 1? , c ? ?k , ? 2 ? ,若( a ? 2 b ) ? c ,则 k ?
? ? ?

?

?

?

A. 2
7.给出下列四个结论:

B. ?2

C. 8

D. ?8

①若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

2

② “ ? x ? 3?? x ? 4 ? ? 0 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的充分而不必要条件; ③ 命 题 “ 若 m ? 0 , 则 方 程 x ? x ? m ?0 有 实 数 根 ” 的 逆 否 命 题 为 : 若 方 程 “
2

; x 2 ? x ? m ?0 没有实数根,则 m ? 0” ④若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 4 ,则

1 1 ? 的最小 a b

值为 1 .其中正确结论的个数为

A. 1

B. 2

8.将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

C. 3 ?
6

D. 4

) 的图像向右平移

? 个单位,那么所得的图像所对应的函数解 6
析式是

A. y ? sin 2 x C. y ? sin(2 x ?
9 ,则 5
2? ) 3

B. y ? cos 2 x D. y ? s i n (x2?

?
6

)

9.某程序框图如图 1 所示,若该程序运行后输 出的值是

B. a ? 5 D. a ? 7 10 .已知 函数 f (x) 是 定义在 (??, ??) 上 的奇函 数,若 对于任意 的实数 x ? 0 , 都 有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ) ? f (2012 ) 的
值为

A. a ? 4 C. a ? 6

A. ?1

B. ?2

C. 2

D. 1

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

3 11.在区间 ? -3,? 上随机取一个数 x ,使得函数 f ? x ? ? 1 ? x ?
为 .

x ? 3 ? 1 有意义的概率

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? 2 x ? y 的 最 大 值 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
为 13.已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的准线 a 2 b2
.

分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则

p?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单 位相同. C 的参数方程为 ? 圆

? x ? 1 ? 3cos ? ? (? 为参数) 点 Q 的极坐标为 2 , ) , ( . 4 ? y ? ?1 ? 3sin ?

若点 P 是圆 C 上的任意一点, P, Q 两点间距离的最小 值为 . 15. (几何证明选讲选做题) 如图 2, AB 是⊙ O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点,过点 P 作⊙ O 的切线,切点为

C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? __________ .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.错 误!未找到引用源。 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c , 向量 m ? ?cos? A ? B ?, s in? A ? B ?? ,
? ?

? ? 3 n ? ?cos B,? sin B ? ,且 m? n ? ? . 5 (1)求 sin A 的值;

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.

?? ?

?? ?

17. (本小题满分 12 分) 某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取 100 名学生,进行一次海洋知识测试,按 测试成绩分组如下:第一组[65,70) ,第二组 [70,75) ,第三组[75,80) ,第四组 [80, 85) ,第五组 [85,90) (假设考试成绩均在[65,90)内) ,得到频率分布直方图如图 3: (1)求测试成绩在[80, 85)内的频率; (2)从第三、四、五组同 学中用分层抽样的方法抽取 6 名同学组成海洋知识宣讲小 组,定期在校内进行义务宣讲, 并在这 6 名同学中随机选取 2 名参加市组织的蓝色海洋教育 义务宣讲队,求第四组至少有 一名同学被抽中的的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,其中 PA ? PD ? AD ? 2 ,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.
(1) 求证: AD ? 平面PQB ; (2) 若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 M 为 PC 的中点,求四棱锥 M ? ABCD的体积.

19. (本小题满分 14分) 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .
2

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若 cn ?1 ? cn ? bn , c1 ? 0, 求证:对任意 n ? 2, n ? N 都有
*

1 1 1 3 ? ??? ? . c2 c3 cn 4

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 R :

x2 y 2 1? ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长为 4,且过点 ? 3, ? . 2 2? a b ?

(1)求椭圆 R 的方程;
?? ? ? ? 3 ?? 4 ?? (2)设 A 、 B 、 M 是椭圆上的三点,若 OM ? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点, 5 5

? 6 ? ? 6 ? C 、 D 两点的坐标分别为 ? ? ? 2 , 0 ? 、 ? 2 , 0 ? ,求证: NC ? ND ? 2 2 . ? ? ? ? ? ? ?
21. (本小题满分 14分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?

1? a ?1. x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; 3
2

(3)在(2)的条件下,设函数 g ? x ? ? x ? 2bx ? 使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 b 的取值范围.

5 ,若对于 ?x1 ? [1,2], ?x2 ? [0,1], 12

2013学年高三调研测试(一)

文科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 C 8 D 9 10 A A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 11.

2 3

12. 12

13. 2

14. 1

15. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查向量数量积、投影,三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形等 知识,考查化归、转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力)

3 3 ,得 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? ,??????1 分 5 5 3 ????2 分 ? cos ? A ? B ? B ? ? ? , 5 3 ? cos A ? ? . 5 ?0 ? A ? ?
解:(1)由 m ? n ? ?

?? ?

,

? sin A ? 1 ? cos 2 A .
4 ? 3? ? 1? ? ? ? ? . 5 ? 5?
(2)由正弦定理,有
2

??????3分 ??????4分

a b , ? sin A sin B

??????5分

4 b sin A 5= 2. ? sin B ? ? a 2 4 2 5?

??????6分 ????7分 ??????8 分

? a ? b ,? A ? B , ? ?B ? . 4
由余弦定理,有 4 2

?

?

2

? 3? =52 +c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

??????9 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????12 分

. ?c ? 1或 c ? ?7 (舍去) ??? ? ? ??? ??? ? 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? c cos B

? 1?
17.( 本小题满分 12 分)

2 2 ? . 2 2

(本小题主要考查考查分层抽样、互斥事件、古典概型等知识,考查或然与必然,样本估计 总体的统计思想方法,以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识) 解: (1)测试成绩在[80,85)内的频率为: 1 ? ? 0.01 ? 0.07 ? 0.06 ? 0.02 ? ? 5 ??2 分 ???3 分 ? 0.2 (2)第三组的人数等于 0.06 ? 5 ?100=30 ,第四组的人数等于 0.2 ?100=20 , 第五组的人数等于 0.02 ? 5 ?100=10 , ????5 分 分组抽样各组的人数为第三组3人,第四组2人,第五组1人. ????6 分 设第三组抽到的3人为 A1 , A2 , A3 ,第四组抽到的2人为 B1,B2 ,第五组抽到的1人为

C.
这 6 名同学中随机选取 2 名的可能情况有15种,如下:

????7 分

? A1,A2 ?,A1,A3 ?,A1,B1 ?,A1,B2 ?,A1,C ? , ? A2,A3 ?,A2,B1 ?,A2,B2 ?, ? ? ? ? ? ? ? A2,C ? , ? A3,B 1 ?,A3,B2 ?,A3,C ? , ? B1,B2 ?,B1,C ? , ? B2,C ? . ????10 分 ? ? ?
设 “第四组2名同学至少有一名同学被抽中” 为事件 M ,事件 M 包含的事件个数有9种, 即:

? A1,B1 ?, A1,B2 ?, A2,B1 ? , ? A2,B2 ? , ? A3,B1 ? , ? A3,B2 ?,B1,B2 ?, B1,C ? , ? ? ? ? ? B2,C ? .
P?M ? ? 9 3 = . 15 5
????11 分 所 以 , 事 件 M 的 概 率 即 第 四 组 至 少 有 一 名 同 学 被 抽 中 的 概 率 为 ????12 分

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) .解: (1)? PA ? PD , Q 为中点,

? AD ? PQ
连 DB ,在 ?ADB 中, AD ? AB , ?BAD ? 60 ,
?

????1分

??ABD 为等边三角形, Q 为 AD 的中点,
? AD ? BQ ,
PQ ? BQ ? Q , PQ ? 平面 PQB , BQ ? 平面 PQB ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) ????3 分 ????4 分 ????5 分 ????2 分

? AD ? 平面 PQB .
(2)连接 QC ,作 MH ? QC 于 H .

? PQ ? AD , PQ ? 平面 PAD ,
平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 平面 PAD ? 平面 ABCD, ????6 分

P M C H B
????11 分

? PQ ? 平面ABCD ,

????7 分

QC ? 平面ABCD ,
? PQ ? QC ? PQ / / MH .
????8 分 ????9 分 ????10 分

D Q A

? MH ? 平面ABCD ,
又 PM ? 1 PC ,? MH ? 2

1 1 3 3 PQ ? ? ?2 ? . 2 2 2 2 在菱形 ABCD 中, BD ? 2 ,
方法一: S?ABD ?

1 3 1 = 3, ? AB ? AD ? sin 600 = ? 2 ? 2 ? 2 2 2

????12 分 ????13 分 ????14 分

? S菱形ABCD ? 2S?ABD ? 2 3 .
1 3 1 VM ? ABCD ? ? S?ABCD ? MH ? ? 2 3 ? ?1. 3 2 3
方法二: AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos1200
????12 分

? 1? = 4+4 ? 8 ? ? ? ? ? 2 3 , ? 2?

1 1 ? S菱形ABCD ? ? AC ? BD ? ? 2 3 ? 2 ? 2 3 , 2 2 VM ? ABCD
1 ? ? S菱形ABCD ? MH 3
1 3 ? ?2 3? ?1 3 2

????13 分

????14 分

19.(本小题 14 分) (本小题主要考查数列通项、递推列项、裂项求和与不等式等知识,考查化归、转化、方 程的数学思想方法,以及运算求解能力) 解:(1)由 6S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?

1 . 8 1 6S2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ? . 32
??①,

????1 分 ????3 分

(2)由 6Sn ? 1 ? 2an

当 n ? 2 时,有 6Sn ?1 ? 1 ? 2an ?1 ??②, ①-②得:

????4 分 ????5分

an 1 ? , an ?1 4

1 1 ?数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 4 8
? an ? a1q
n ?1

????6分

1 ?1? ? ?? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

2 n ?1



????7分

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

? 2n ? 1 .

????8分

(3)? cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1 ,

? cn ? cn ?1 ? bn ?1 =2 ? n ? 1? ? 1 , ????(1)
cn ?1 ? cn ?2 ? bn ?2 =2 ? n ? 2 ? ? 1 ,????(2)
????,

c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 , c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1 ,
????( n ? 1 ) ????9分
2

(1)+(2)+ ??+( n ? 1 )得 cn ? c1 ? bn ?1 =2 ?1+2+3+ ? +n ? 1? ? n ? 1=n ? 1 ,????10 分

? cn = ? n ? 1?? n ? 1? ,
?
1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, cn ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?

????11 分 ????12 分

?

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c3 cn 2 ? 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 ?
????13 分

1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ?, 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ?
1?1 1 ? ? ? ? ? ? 0, 2 ? n n ?1?

?

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立. c2 c3 cn 4

????14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆的定义、方程,向量的运算等知识,考查化归转化、方程、待定系 数法等的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力)

? 2a ? 4 ? ? 1 解:(1)由已知 ? , 3 4 ? ? ?1 ? a 2 b2 ? 解得 a ? 2, b ? 1 .

?????2分

?????4分 ?????5分

?椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?,M ? xM , yM ? ,则
?? ? ? ? 3 ?? 4 ?? 由 OM ? OA ? OB , 5 5

x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 .???6 分 4 4

4 3 4 ? 3 4 3 4 ?3 x1 ? x2 , yM ? y1 ? y2 ,即 M ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .?????7分 5 5 5 ? 5 5 5 5 ?5 ? M 是椭圆 R 上一点,所以 2 4 ? ?3 2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 5 ? ?3 ?5 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 , ?????8分 ? 4 5 ? ?5
得 xM ? 即(
2 ?? 4 ? x12 ? ?3? ? x ? 3 ?? 4 ?? x x ? y12 ) ? ? ? ? 2 ? y2 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 2 ? y1 y2 ? ? 1 4 ?5? ? 4 ? 5 ?? 5 ?? 4 ? ?? 5 ? 2 2

xx ? ?3? ? 4? ? 3 ?? 4 ?? x x 得 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 2 ? y1 y2 ? ? 1 ,故 1 2 ? y1 y2 ? 0 .?????9分 4 ?5? ?5? ? 5 ?? 5 ?? 4 ? ? x ? x2 y1 ? y2 ? , 又线段 AB 的中点 N 的坐标为 ? 1 ?????10 分 ?, 2 ? ? 2
? x1 ? x2 ? 2 ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 1 ? x1 ? y 2 ? ? 1 ? x2 ? y 2 ? ? x1 x2 ? y y ? 1 ,?11 分 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 2 ? ? 2 2? 4 4 ? 2 ? ? 2? 4 ? x2 ?x ?x y ?y ? ?线段 AB 的中点 N ? 1 2 , 1 2 ? 在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. ?????12 分 2 ? 2 ? 2
2

2

2

?椭圆

x2 ? 2 y 2 ? 1 的两焦点恰为 C 2

? ? 6 ? 6 ? ?? ? 2 ,0? , D ? 2 ,0? ? ? ? ? ? ? ?

?????13 分 ?????14 分

? NC ? ND ? 2 2
21.(本小题满分 14 分)

(本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识,考查化归与转化、分类与

讨论的数学思想方法,以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力)

+? 解:函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ,

?????1 分

1 1? a ?????2 分 ?a? 2 x x (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? 1 ,? f ?1? ? ?2 , ?????3 分 f ' ? x? ? 1 ?1 , x ? f ' ?1? ? 0 , f ' ? x? ?
? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 .

?????4 分 ?????5 分

? x ? 1?? x ? 2 ? . x 2 ? 3x ? 2 ?? 2 3x 3x 2 ?当 0 ? x ? 1,或 x ? 2 时, f ' ? x ? ? 0 ;
(2) f
'

? x? ? ?

?????6 分 ?????7 分

当 1 ? x ? 2 时, f

'

? x? ? 0 .

1 ?当 a ? 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 ?1, 2 ? ;单调减区间为 ? 0,1?,2, ? .???8 分 ? +? 3
+ (如果把单调减区间写为 ? 0,1? ? ? 2,? ? ,该步骤不得分)
1 时,由(2)可知函数 f ( x ) 在 1,) 上为增函数, ( 2 3 2 ∴函数 f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) ? ? ?????9 分 3 若对于 ?x1 ? [1,2], ?x 2 ? [0,1] 使 f ( x1 ) ≥ g( x2 ) 成立 ? g ( x ) 在 [0,1] 上的最小值不大 于 f ( x ) 在[1,2]上的最小值(*) ?????10 分 5 5 又 g( x ) ? x 2 ? 2bx ? ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? , x ? [0,1] 12 12 ① 当 b ? 0 时, g ( x ) 在 [0,1] 上为增函数, 5 2 ?????11 分 [ g( x )]min ? g(0) ? ? ? ? 与(*)矛盾 12 3 5 5 2 2 ,由 ? b 2 ? ? ? 及0? b ?1 ② 当 0 ? b ? 1 时, [ g( x )]min ? g(b) ? ?b ? 12 12 3 1 得, ? b ? 1 ?????12 分 2
(3)当 a ? ③当 b ? 1 时, g ( x ) 在 [0,1] 上为减函数, ? g ? x ? ? ? ? 及 b ? 1得 b ? 1.
min

? g ?1? ?

7 2 ? 2b ? ? 12 3
?????13 分 ?????14 分

1 综上, b 的取值范围是 [ , ?) ? 2


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