二轮复习专项:数列综合题(等差数列或等比数列)


二轮复习专项:数列综合题
一)

等差数列

1.(沪嘉定一中 07 学年高三测试二)数列 {an } 中 a1 ? 8, a4 ? 2, 且 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0, n ? N? 。 ⑴求数列 {an } 的通项;⑵设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |, 求 Sn 。 2.已知等差数列 {an } 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26,{an } 的前 n 项和为 Sn 。 (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N ? ), 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

3.设 {an } 是公差不 为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。⑴求 数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ;⑵试求所有的正整数 m, 使得 项;当 t ? ?1, m ? 1 时

am am ?1 为数列 {an } 中的项。 am ? 2

am am?1 ? ?15 不是数列 {an } 中的项。 ∴ m ? 2 。 am? 2 1 4.⑴数列 {an } 和 {bn } 满足 an ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )(n ? N ? ), 求证 {bn } 为等差数列的充要条件是 n

{an } 为等差数列。⑵数列 {an } 和 {cn } 满足 cn ? an ? 2an?1 (n ? N? ) 。探究 {an } 为等差数列的
充分必要条件,并说明理由。 (提示:设数列 {bn } 为 bn ? an ? an?2 (n ? N? ) )
二) 等比数列

5.已知数列 {an } 的首项 a1 ?

1 3 的等比数列,其前 n 项和 Sn 中 S3 ? 。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 4 16

公式; (Ⅱ)设 bn ? log 1 | an |, Tn ?
2

1 1 1 ? ??? , 求 Tn 。 b1b2 b2b3 bnbn?1

6.(湘 08 届十二校联考第一次)已知点列 M1 ( x1 ,1), M 2 ( x2 ,1),?, M n ( xn ,1), 且 M n M n?1 与 向量 a ? (?c, cn?1 ) 垂直,其中 c 是不等于零的实常数 , n 是正整数。设 x1 ? 1, 求数列 {xn } 的 通项公式,并求其前 n 项和 Sn 。 7.一艘太空飞船飞往地球,第一次观测时,如图 1 发现一个正三角形的岛屿(边长为 3 ) ;第二 次观测时,如图 2 发现它每边中央

???????? ?

?

1 处还有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次观测 3 1 时, 如图 3 发现原先每一小边的中央 处又有一 3
向外突出的正三角形海岬, 把这个过程无限地继 续下去,就得到著名的数学模型——柯克岛。

⑴把第 1, 2,3,? , n 次观测到的岛的海岸线长记 为 a1 , a2 , a3 ,?, an , 试求 a1 , a2 , a3 的值及 an 的表达式;⑵把第 1, 2,3,?, n,? 次观测到的岛的面 积记为 b1 , b2 , b3 ,?, bn ,?, 求 bn 。
三) 等差数列、等比数列

8.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 其中 an ? 0, a1 为常数,且 ?a1 , Sn , an?1 成等差数列。 (Ⅰ) {an } 的通项公式; 求 (Ⅱ) bn ? 1 ? Sn , 问: 设 是否存在 a1 , 使数列 {bn } 为等比数列?若存在, 求出 a1 的值;若不存在,请说明理由。 9.在数列 {an } 中 a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数 , n ? N? ), 且 a1 , a2 , a5 成公比不等于1 的等比数列。 (I)求 c 的值; (II)设 bn ?

1 , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 。 an an ?1

10.已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 ⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵若 bn ? log 2 an?1 , Sn 是数列 {anbn } 的前 n 项和,求 Sn 。 11.在各项均为正数的数列 {an } 中,点 (an?1 , an )(n ? N? ) 在函数 y ? 2 x 的图像上,且 a2 a4 ? (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等比数列,并求出其通项; (Ⅱ)若数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , 且 bn ? nan , 求 Sn 。
n ?1 12.已知数列 an 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? 2 an ?

1 。 64

n (n ? N ? ) 。 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)若 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项 Sn 和。 an

13.已知等比数列 {an } 中 a1 ? 64, 公比 q ? 1, 且 a2 , a3 , a4 分别为某等差数列的第 5 项, 3 项, 2 第 第 项。⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵设 14.等比数列 {an } 为递增数列,且 a4 ?

bn ? log 1 an , 求数列 {| b |} 的前 n 项和 T 。 n n
2

a 2 20 , a3 ? a5 ? , 数列 bn ? log 3 n (n ? N ? ) 。 3 9 2

⑴求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ;⑵ Tn ? b1 ? b2 ? b 2 ? ?? b n?1 , 求使 Tn ? 0 成立的最小值 n 。 2 2 15.已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 0 且公差 d ? 0, bn ? 2 n (n ? N? ), Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和。
a

⑴求 Sn ;⑵设 Tn ?

Sn (n ? N ? ), 当 d ? 0 时,求 lim Tn 。 n??? bn

16.在等比数列 {an } 中 an ? 0(n ? N? ), 公比 q ? (0,1), 且 a1a5 ? 2a3a5 ? a2a8 ? 25, 又 a3 与 a5 的 等比中项为 2 。⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵设 bn ? log 2 an , 数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , 求数列

S S1 S 2 ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n 17.已知 {an } 是单调递增的等差数列, 首项 a1 ? 3 , n 项和 Sn , 前 数列 {bn } 是等比数列, 首项 b1 ? 1,

{Sn } 的通项公式;⑶当

且 a2b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20 。 (Ⅰ)求 {an } 和 {bn } 的通项公式。 (Ⅱ)令 cn ? Sn cos( an ? n ? ),? )( N 求 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 18.(08 年成都名校联盟冲刺预测二)已知 a, b, m, n ? N? ,{an } 是首项为 a, 公差为 b 的等差数列;

{bn } 是首项为 b , 公比为 a 的等比数列,且满足 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 。⑴求 a 的值;
⑵数列 {1 ? am } 与数列 {bn } 的公共项,且公共项按原顺序排列后构成一个新数列 {cn }, 求 {cn } 的 前 n 项之和 Sn 。 19.(宁波市 07—08 学年高三期末)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a3 ? 10, S7 ? 91 。数 列 {bn?1 ? bn } 是公比为

1 的等比数列,且满足 b1 ? 1, b2 ? 2 。⑴求数列 {an },{bn } 的通项公式; 2

⑵记 cn ? an?1bn?1 ? anbn , 求数列 {cn } 中的最大项。 20.(荆州市 08 届毕业班检测Ⅱ)已知数列 {an } 中 a1 ? 2, 前 n 项和为 S n , 对于任意 n ≥ 2 时,

3S n ? 4, an , 2 ?

3 S n?1 总成等差数列。⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵若数列 {bn } 满足 bn ? 3Sn , 2

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 21.在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0, 且 a5 ? 6 。⑴求 a4 ? a6 的值。⑵当 a3 ? 3 时,在数列 {an } 中是否存在一项 am (m 正整数 ), 使得 a3 , a5 , am 成等比数列,若存在,求 m 的值;若不存在,说 明理由。⑶若自然数 n1 ,n2 ,n3 , ???,nt , ???,(t 为正整数 ) 满足 5 ? n1 ? n2 ? ??? ? nt ? ???, 使得

a3 ,a5 ,an1 , ???,ant , ??? 成等比数列。
(文)当 a3 ? 2 时,用 t 表示 nt 。 (理)求 a3 的所有可能值。 22.(粤梅州揭阳两市四校 08 届高三第三次联考理数)已知 f ( x) ? logm x(m 为常数 , m ? 0

且 m ? 1) 。设 f (a1 ), f (a2 ),?, f (an )(n ? N? ) 是首项为 4, 公差为 2 的等差数列。 (Ⅰ) 求证: 数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ) bn ? an f (an) 且数列 {bn } 的前 n 项和 S n , 当 m ? 若 ,

2

时, Sn ; 求 (Ⅲ) cn ?an l an , 问是否存在 m, 使得 {cn } 中每一项恒小于它后面的项?若存在, 若 g 求出 m 的范围;若不存在,说明理由。

23.已知点 A(1, 0), B(0,1) 和互不相同的点 P , P , P ,?, P ,?, 满足 OP ? an OA ? bn OB(n ? N? ), 1 2 3 n n 其中 {an },{bn } 分别为等差数列和等比数列 ,O 为坐标原点,若 P1 是线段 AB 的中点。⑴求 a1 , b1 的值;⑵点 P , P2 , P ,?, Pn ,? 能否共线?证明你的结论;⑶证明:对于给定的公差不零的 {an }, 都 1 3 能找到唯一的一个 {bn }, 使得 P , P2 , P ,?, Pn ,? 都在一个指数函数的图象上。 1 3

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