广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学理


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南城中学 2013 届高三第四次月考试卷 数学(理科)
2012.12 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意:考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,只交回答题卡. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 A. 1 A. (3, 4 )
(1 ? i ) 2i
2

?(

) B. ? 1 B. (1, 2 ) ? (3, 4 ) C. i C. (1, 4 ) D. ? i ) D. (1, 3]

2.设集合 A ? { x 1 ? x ? 4} ,集合 B ? { x ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} , 则 A ? ( ?R B ) ? ( 3.下列命题中,假命题为( ) ... A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B.若 x , y ? R,且 x ? y ? 2, 则 x , y 至少有一个大于 1 C.对于任意 n ? N ? , C n ? C n ? … ? C n 都是偶数
0 1 n

D. a ? b ? 0 的充分必要条件是

a b

?1

4.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是(
开始 S=4 i=1


i<8
否 输出S 结束

i=i+1

S =

2 2?S



A. ? 1

B.

2 3

C.

3 2

D.4 )

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( 频数 频数 3 2 1 3 4 5 图甲 6 7 8 环数 3 2 1 3 4 5 图乙 6 7 8 9 环数

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 6.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (
?
2
y

,

3? 2

) 内的图象是(



y 高三数学(理科)试卷 第 1 页 共 4 页 y
?
2
3?

y
?
2
3?

?

2

?

2

2 o

?
?
2

2 -

?
?
2

o

x

o

x

?2 x

?

?2 -

?

?

3? 2

x

o

?

3? 2

A.

B.

C.

D.
2

7.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) .当 ? 3 ? x ? ? 1 时, f ( x ) ? ? ( x ? 2 ) , 当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x ) ? x .则 f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? ? ? ? f ( 2 0 1 2 ) ? ( A.335 B.338 C.1678 D.2012 )

8.5 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行 交换的两位同学互赠一份纪念品, 已知 5 位同学之间共进行了 8 次交换, 则收到 3 份纪念品 的同学人数为( A. 2 或 4 ) B. 1 或 4 C. 2 或 3 D. 1 或 3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题.) (一)必做题:第 9~13 题为必做题。 9.函数 f ( x ) ?
1 ? 2 log
6

A B
??? ???? ?

x 的定义域为

C M

10.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 A B ?A C =________ 11.在 ( x ?
2 x ) 的二项展开式中,常数项等于
6

___

12.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两 两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________ 13.小明家的晚报在下午 5:30~6:30 之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家在下 午 6: 00~7: 之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概 00 率是 (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,圆 C 经过点 P ( 2 , ) ,
4

?

圆心为 (1,

?
2

) ,则圆 C 的极坐标方程为

O

15.(几何证明选讲选做题)如图,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A, B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径等于_______.
高三数学(理科)试卷 第 2 页 共 4 页

P
B A

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 3,其图像相邻两个最高点

之间的距离为 ? , (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,
?
2 ) ,则 f (

?
2

)?

2 ? 1 ,求 co s ? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目 时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女 性。 (1) 根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表, 并据此资料你是否认为 “体育迷” 与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷” 中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. 参考公式和数据: ① 随机变量 K
2

体育迷

合计

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )
2

,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量;

② 独立检验随机变量 K 的临界值参考表:
P(K
2

? k0 )

0.05 3.841

0.010 6.635

k0

18.(本小题满分 14 分) 高三数学(理科)试卷 第 3 页 共 4 页 设 f ( x ) ? a ln x ? 于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的极值.
1 2x ? 3 2 x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直

19.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 是等腰梯形, A B ? C D , ? D A B ? 6 0 ? , F C ?
F

平面 A B C D , A E ? B D , C B ? C D ? C F . (1)求证 B D ? 平面 A E D ; (2)求二面角 F ? B D ? C 的余弦值.
A E
C

D B

20.(本小题满分 14 分) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 S n ? 2 a n ? 2 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)令 c n ? ( ? 1)
n ?1
n ?1

(n∈N*).

lo g

an n ?1

2 ,数列 { c n } 的前 2 n 项和为 T 2 n .

求证:当 n∈N*且 n≥2 时, T 2 n ?

2 2

.

21.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x ) 定义域为 R ,满足对任意 x1 , x 2 ? R ,有 f ( x 1 + x 2 ) ? f ( x 1 )
f (x)
f (x 2 )

,则称

为“ V 形函数”;若函数 g ( x ) 定义域为 R , g ( x ) 恒大于 0,且对任意 x1 , x 2 ? R ,有
lg g (x2 ),则称 g ( x )

lg g ( x1 + x 2 ) ? lg g ( x1 )
2

为“对数 V 形函数”.

(1)当 f ( x ) = x 时,判断 f ( x ) 是否为 V 形函数,并说明理由; (2)当 g ( x ) = x 2 + 2 时,证明: g ( x ) 是对数 V 形函数; (3)若 f ( x ) 是 V 形函数,且满足对任意 x ? R ,有 f ( x) ? 2 ,问 f ( x ) 是否为对数 V 形 函数?证明你的结论.

南城中学 2013 届高三第四次月考理科数学参考答案
一、BADC;CDBA
高三数学(理科)试卷 第 4 页 共 4 页

二、9、 (0 , 6 ] ;10、 ? 1 6 ;11、 ? 1 6 0 ;12、

3 3

;13、

7 8

;14、 ? ? 2 sin ? ;15、 6

16、(1)由题意,得 A ? 1 ? 3 ,∴ A ? 2 ,??????2 分 ∵函数图像的相邻两个最高点之间的距离为 ? , ∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 。??????4 分 故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?
?
6 ) ? 1 。????5 分

(2)∵ f ( ∵0 ? ? ? ∴? ?
?
6 ?

?
2

) ? 2 s in ( 2 ?

?
2

?

?
6

) ?1 ? ?

2 ? 1 ,即 s in (? ?

?
6

)?

2 2

,??????6 分

?
2

,∴ ? ,? ?
?
6 ?

?
6

?? ? ?

?
6

?
3

,????7 分

?
4

?
6

?
4

,??????10 分
?
6 cos

故 cos ? ? cos(

?
4

) ? cos

?
4

? s in
?

?
6

s in

?
4

?

6 ? 4

2

????12 分
2

(或) 0 ? ? ? ∵ 9分

?
2

, ? ∴

?
6

?? ?

?
6

?
3

, c o s (? ? ∴

?
6

)?

1 ? s in (? ?

?
6

) ?

2 2

, ??

故 c o s ? ? c o s [(? ? 12 分 17 解(1) 男 女 合计

?
6

)?

?
6

] ? c o s (? ?

?
6

) cos

?
6

? s in ( ? ?

?
6

) s in

?
6

?

6 ? 4

2

????

非体育迷 30 45 75

体育迷 15 10 25

合计 45 55 10 0 ??3 分
2

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得
K
2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

?

1 0 0 (3 0 ? 1 0 ? 4 5 ? 1 5 ) 75 ? 25 ? 45 ? 45

?

100 33

? 3 .0 3 0

因为 3 .0 3 0 < 3 .8 4 1 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ??6 分 (2)由频率分布直方图知,“超级体育迷”有 5 人, a i 表示男性, i =1,2,3, b j 表示女性,
j =1,2,从而一切可能的结果所组成的基本事件有: ( a 1 , a 2 ) , ( a 1 , a 3 ) , ( a 1 , b1 ) , ( a 1 , b 2 ) ,
( a 2 , a 3 ) , a 2 , b1 ) , a 2 , b 2 ) , a 3 , b1 ) , a 3 , b 2 ) , b1 , b 2 ) 等 10 个基本事件组成, ( ( ( ( ( ??????

10 分 其中 “从“超级体育迷”中任意选取 2 人, 至少有 1 名女性观众” 组成的基本事件有:( a1 , b1 ) ,
( a 1 , b 2 ) , ( a 2 , b1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ( a 3 , b1 ) , ( a 3 , b 2 ) , ( b1 , b 2 ) 等 7 个随即事件,??????

11 分 所以从“超级体育迷”中任意选取 2 人,至少有 1 名女性观众的概率为 P ( A ) ? 12 分 18:解:(1)因 f ( x ) ? a ln x ?
1 2x ? 3 2 x ? 1 ,故 f ? ( x ) ? a x ? 1 2x
2

7 10

.????

?

3 2

????3 分 , ??

∵曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴, ∴该切线斜率为 0, f ? () ? 即 1 0 5分 从而 a ?
1 2 ? 3 2 1 2x ? 3 2 x ? 1 ( x ? 0 ), ? 0 ,解得 a ? ? 1 ??????6 分

(2)由(1)知 f ( x ) ? ? ln x ?
f ?( x ) ? ? 1 x ? 1 2x
2

?

3 2

?

3x ? 2x ?1
2

2x

2

??????7 分

?

(3 x ? 1)( x ? 1) 2x
2

令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ,或 x 2 ? ?

1 3

(舍去),??9 分

当 x ? (0 ,1) 时, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0 ,1) 上为减函数;??????11 分 当 x ? (1, ? ? ) 时, f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上为增函数;?????13 分 故 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? 3 。????????14 分 19、(1)因为四边形 A B C D 为等腰梯形, A B ? C D , ? D A B ? 6 0 ,
0

∴ ? A D C ? ? B C D ? 1 2 0 .又 C B ? C D ,∴ ? C D B ? 3 0
0

0

∴ ? A D B ? 9 0 , A D ? B D ,????3 分
0

又 A E ? B D ,且 A E ? A D ? A , A E , A D ? 平面 A E D ,??????5 分 ∴ B D ? 平面 A E D .??????6 分 (2)由(1)知 A D ? B D ,所以 A C ? B C ,又 F C ? 平面 A B C D , 因此 C A , C B , C F 两两垂直.以 C 为坐标原点,分别以 C A , C B , C F 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,不妨设 C B ? 1 ,则,
C (0, 0, 0 ) , B (0,1, 0 ) , D (

3 2

,?

1 2

, 0 ) , F (0, 0,1)

∴ BD ? (

????

3 2

,?

3 2

??? ? , 0 ) , B F ? (0, ? 1,1) .????????9 分

? ???? ? m ?B D ? 0 ? ? 设平面 B D F 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) ,则 ? ? ???? , ? ? m ?B F ? 0 ? ∴ x ? 3 y ? 3 z ,取 z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) ????????????11 分 ? 又平面 B D C 的法向量可以取为 n ? (0, 0,1) ,??????12 分 ? ? m ?n 1 5 ? ? ? ∴ cos ? m , n ? ? ? ? ? ,????????13 分 m n 5 5

∵二面角 F ? B D ? C 为锐二面角,∴二面角 F ? B D ? C 的余弦值为

5 5

????14 分

(传统方法)取 B D 的中点 G ,连结 C G , F G ,由于 C B ? C D ,所以 C G ? B D . 又 F C ? 平 面 A B C D , B D ? 平 面 A B C D , 所 以 F C ? B D . 由 于 F C ? C G ? C, F C , C G ? 平面 F C G ,所以 B D ? 平面 F C G ,故 B D ? F G . 所以 ? F G C 为二面角 F ? B D ? C 的平面角.????????????11 分 在等腰三角形 B C D 中,由于 ? B C D ? 1 2 0 ? , 因此 C G ? 1 C B ,又 C B ? C F ,所以 C F ? C G 2 ? C F 2 ? 5 C G ,故 co s ? F G C ?
2
5 , 5

因此 二面角 F ? B D ? C 的余弦值为 20、解(1)由 S n ? 2 a n ? 2
an 2
n

5 .????????14 分 5
n

n ?1

,得 S n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 2 ( n ? 2 )
n n

两式相减,得 a n ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ? 2 ,即 a n ? 2 a n ? 1 ? 2 ( n ? 2 ) 于是
? a n ?1 2
n ?1

? 1 ,所以数列 {
2

an 2
n

} 是公差为 1 的等差数列. ????5 分

又 S 1 ? 2 a 1 ? 2 ,所以 a 1 ? 4 .

所以

an 2
n

? 2 ? ( n ? 1) ? n ? 1 ,故 a n ? ( n ? 1) ? 2 .
n
n ?1

?????6 分

(2)因为 c n ? ( ? 1)
T2 n ? 1 ? ? 1 2 1 n ?1 ? 1 3 ? ? 1 4 1 n?2

?

1 n

,则当 n≥2 时,
1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? (1 ? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 2n ) ? 2( 1 2 ? 1 4 ?? ? 1 2n )

?? ? ?? ?

.
? 2 2

?????9 分

下面证

1 n ?1

?

1 n?2

?? ?
x x ?1

1 2n

令 g ( x ) ? ln ( x ? 1) ?

( x ? 0 ) ,则 g ? ( x ) ?

1 x ?1

?

1 ( x ? 1)
2

?

x ( x ? 1)
2

? 0,
x x ?1

∴ g ( x ) 在 (0, ? ? ) 时单调递增, g ( x ) ? g (0 ) ? 0 ,即当 x ? 0 时, ln ( x ? 1) ? 令x ?
1 n

, ln

n ?1 n

? 1

1 n ?1

,可得
1 n?2 1 n?2

ln ( n ? 1) ? ln n ?

n ?1

, ln ( n ? 2 ) ? ln ( n ? 1) ?
1 n ?1 ?

,??, ln ( 2 n ) ? ln ( 2 n ? 1) ?
1 2n

1 2n

以上 n 个式相加,即有 ln ( 2 n ) ? ln n ? ∴
1 n ?1 ? 1 n?2 ?? ? 1 2n

?? ?

? ln ( 2 n ) ? ln n ? ln 2 ?

2 2

?????14 分

21 解:(1)? f ( x1 ? x 2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 2 x1 x 2 ????1 分 ∴不满足对任意 x1 , x 2 ? R ,有 f ( x1 + x 2 ) ? f ( x1 )
2

f ( x2 )

????2 分

∴当 f ( x ) = x 时, f ( x ) 不是“ V 形函数”??????3 分 (2) g ( x ) = x 2 + 2 的定义域为 R ,且 g ( x ) = x 2 + 2 >0????4 分
( ( ? ? [( x1 ? x 2 ) ? 2 ] - x1 + 2) x 2 + 2) ? x1 x 2 ? 1) ? x1 ? x 2 ? 1 ? 0 ??6 分 =(
2 2 2 2 2 2


lg [ g ( x1 ? x 2 ) ? [lg g ( x1 ) ? lg g ( x 2 )] ? lg [( x1 ? x 2 ) ? 2 ] ? lg( x1 + 2) x 2 + 2) ] ? 0 [ ( ?
2 2 2

??8 分 ∴对任意 x1 , x 2 ? R ,有 lg g ( x1 + x 2 ) ? lg g ( x1 ) ∴ g ( x ) 是对数 V 形函数????9 分 (3) f ( x ) 为对数 V 形函数

lg g ( x 2 )

证明: lg [ f ( x1 ? x 2 )] ? [lg f ( x1 ) ? lg f ( x 2 )] ? lg [ f ( x1 ? x 2 )] ? lg [ f ( x1 ) f ( x 2 )]
? lg [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? lg [ f ( x 1 ) f ( x 2 )] ? lg f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 )

????11 分

? ? x ? R , 都 有 f ( x ) ? 2 ,∴ f ( x1 ) + f ( x 2 ) ? 2

f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 0 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? lg 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? lg 1 ? 0

即0 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 )

?

2 f ( x1 ) f ( x 2 )

, 从而 lg

∴ lg [ f ( x1 ? x 2 )] ? [lg f ( x1 ) ? lg f ( x 2 )] ? 0 ,∴ lg [ f ( x1 ? x 2 )] ? [lg f ( x1 ) ? lg f ( x 2 )] ∴ f ( x ) 为对数 V 形函数????????14 分


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