2013届上海市十二校高三下学期联考数学(理)试题 Word版含答案


一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分.

1. 方程组 ?

? 2x ? y ? 1 对应的增广矩阵为 ?3x ? 2 y ? 0

. ? ?

?2 1 1 ? ? ? ?3? 2 0?

2. 已知行列式

2 i ? 4 ? 2i ,则复数 z ? _________.2+2 i 2 z

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 3. 设函数 f ( x) ? ? ,那么 f ?1 (10) ? ________.3 ? 2 x ( x ? 0)
4. 已知全集 U ? {1 2,4, ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , , 3, 5}
2

B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则集合 ?U ( A ? B) =
4 ? ? 5. 已知 cos ? ? ? 且 ? ? ( , ? ) ,则 tan(? ? ) ? 5 2 4

. {3,5}



1 7

6. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为 ____.-1 7. 阅读右面的程序框图,则输出的 S =

.30

8. 命题 A : | x ? 1 |? 3 ,命题 B : ( x ? 2)(x ? a) ? 0 ;若 A 是 B 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是______.

(??, ?4)

9. 在直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ? ?

( ? 为参数) ,其左焦点为 F ,以原点 O 极点,以 x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线 ? : ? cos? ? 6 ,曲线 ? 与 C 相交于两点 A 、 B ,则 ?ABF 周 . 8 2

长为

10.

已 知 (2 x ?

2 9 ) 展 开 式 的 第 2
1

7

项 为

21 , 则 4

lim( x ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ) ? ________.-4
n ??

11. 如图:已知各顶点都在半球面上的正三棱锥 S—ABC,若 AB= a ,则该三 为__.
a3 12

棱锥的体积

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间[0,2]上是增函数,若函数 F ( x) ? f ( x) ? m (m ? 0) 在区间

?? 8,8? 上有四个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. -8
13. 幂函数 y ? x ? ,当 ? 取不同的正数时,在区间 ?0,1? 上它们的图像是 曲线(如图) .设点 A(1,0), B(0,1) ,连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个 B M .1 y 一族美丽的 幂 N x A ? 3 ? 3(4 ? 1) ? ?6 ,对于自然数 n, m ,当 函 数

y ? x? , y ? x ? 的图像三等分,
即有 BM ? MN ? NA. 那么,??=
?

? ,如 a3,4 14. 对于自然数 i ? N ,设 ai,k ? i ? 3(k ? 1) (k ? 1, 2, 3, ? ? )

n ? 2, m ? 2 时,设 b(i, n) ?a i,1 ?ai,2 ? ai,3 ? ? ? ? ? ai,n , S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ?

O

b(3, n) ? ? ? ? ? b(m, n) ,则 S (10,6) ?

. ? 120

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号 上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.下列各对函数中表示相同函数的是 A.①③④ B.④⑤ C.③⑤ D.①④ ( B )

① f ( x ) = x 2 ,g(x)= x ;② f ( x ) = x ,g(x)=

x2 ;③ f ( x ) = x2 ? 4 ,g(x)= x ? 2 ? x ? 2 x

④ f ( x ) = x , g(x)= 3 x 3 ; ⑤ f ( x ) = | x ? 1| , g ( x) ? ?

? x ? 1 , x ? ?1 ?? x ? 1 , x ? ?1
( D )

xa x (0 ? a ? 1) 的图像的大致形状是 16. 函数 y ? x

17. 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a ? (m, n) 与向量 b ? (1, ?1) 的夹角为 ? , 则 ? ? (0,

?

?

?
2

] 的概率是

(

C

)

A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

18. 已知数列 ?an ? 满足 3an?1 ? an ? 4 (n∈N*)且 a1 =9,其前 n 项和为 Sn, 则满足不等式|Sn―n―6|<
1 的最小整数 n 是 125

(C



A.5

B.6

C.7

D.8

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤.

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 ABCD ? A B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA ? 2 , 1 1 求(1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). (2)求 点C到平面BDC1 的距离及直线 B1D与平面CDD1C1 所成的角. , B D/ / B D, A1B ? A1D 1 1 ∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ?AB1D1 ,记 ?AB1D1 ? ? ,----1 分 19 解:⑴ 连 BD, AB1 , B1D1 , AD1 ,∵
A1 B1 B A

D

C

D1 C1

cos ? ?


AB12 ? B1D12 ? AD12 10 ? 2 AB1 ? B1D1 10

------------3 分

异面直线 BD 与 AB1 所成角为 arccos

10 .------------4 分 10
------------5 分 ------------6 分

⑵ 解法 1:利用等体积 VB?CDC1 ? VC ? BDC1

1 1 S?CDC1 ? BC ? S?BDC1 ? h 3 3 2 求解得 h ? ------------8 分 3

(解法 2:利用向量求解) ?B1DC 1 是直线 B1D与平面CDD1C1 所成的角,------------9 分 在 ?B1DC1 中求解得 tan ?B1DC 1 ?

5 5

------------11 分

所以直线 B1D与平面CDD1C1 所成的角 arc tan

5 ------------12 分 5

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 已知 m ? 2 3,1 , n ? ? cos 2 (1)当 A ?

??

?

?

?

?
2

时,求 n 的值

?

? ?

A ? ,sin ? B ? C ? ? ,其中 A, B, C 是 ?ABC 的内角. 2 ?

(2)若 BC ? 1, AB ? 3 ,当 m ? n 取最大值时,求 A 大小及 AC 边长.

??? ?

?? ?

21. (本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知关于 t 的方程 t ? 2t ? a ? 0?a ? R? 有两个根 t1 、 t 2 ,且满足 t1 ? t 2 ? 2 3 .
2

(1)求方程的两个根以及实数 a 的值; (2)当 a ? 0 时,若对于任意 x ? R ,不等式 loga x 2 ? a ? ?k 2 ? 2mk ? 2k 对于任意的 k ? ? ?2, ? 恒成立, 2

?

?

? ?

1? ?

求实数 m 的取值范围. 21.解: (1)当方程有虚根时,则 ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? 1 设 t1 ? x ? yi ( x, y ? R, y ? 0) 则 t2 ? x ? yi ------------1 分

t1 ? t 2 ? 2 x ? 2 ? x ? 1 ; t1 ? t 2 ? 2 y ? 2 3 ;所以两根分别为 1 ? 3i,1 ? 3i

a ? 1 ? 3i 1 ? 3i ? 4
当方程有实根时,则 ? ? 0 ,

?

??

?

------------3 分

a ?1

------------4 分

t1 ? t 2 ? 2 3
解得 a ? ?2

得 (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 12 ,------------5 分 ------------6 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点分别是椭圆 E 的焦点和顶点 6 2

(1)求椭圆 E 的方程. (2)已知椭圆 E 上的定点 C( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点为 D,设点 P 是椭圆 E 上的任意一点,若直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为零,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是定值吗?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. (3)对于椭圆 E 长轴上的某一点 S ( s, 0) (不含端点) ,过 S ( s, 0) 作动直线 L (不与 x 轴重合)交椭圆 E 于 M、N 两点,若点 T (t , 0) 满足 OS ? OT ? 8 ,求证: ?MTS ? ?NTS .

??? ??? ? ?

( 解: 1)设椭圆E方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, a ? b ? 0, 则a 2 ? 6 ? 2 ? 8,c2 ? 6. ------------3 分 2 a b

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1. ------------4 分 8 2

(2)由题意得 D 点的坐标为 (? x0 , ? y0 ) ,显然 D 点在椭圆 E 上 ------------5 分

由题意知直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在且不等于 0,设 P(x,y),





kM ? ? k

T

?

y1 ? 0 ? y 0? k( 1 ? ? N ? 2 T ? x1 ? t x ? t x ?t1 2 x ?t

x

)

s 2
2

(

k

) x

s

?

k ( x1 ? t )( x2 ? s) ? k ( x2 ? t )( x1 ? s) k[2 x1x2 ? (s ? t )( x1 ? x2 ) ? 2st ] ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ( x1 ? t )( x2 ? t )
化简得 KMT ? KNT ? 0 所以 ?MTS ? ?NTS , ------16 分 ------15 分

由于 st ? 8

综合以上得 ?MTS ? ?NTS

证明完毕。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 ?an ? 满足: x 是数列 ?an ? 中的一项, a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项, 若 则 称数列 ?an ? 是关于常数 a 的“兑换数列” 。 (1) 若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是关于 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2) 已知项数为 n0 ( n0 ? 3 )有限等差数列 ?bn ? ,其所有项的和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是关于常数 ..

2B 的“兑 n0

换数列”. (3) 对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增等比数列 ?cn ? ,是否是“兑换数列”?若是,请求出常数 a 的值;否则请说明理由.


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