第5讲指数及对数函数


第 5讲

指数及指数函数
王晓东

江苏省启东市汇龙中学

主要内容
一、聚焦重点 指数的运算、指数函数的性质. 二、廓清疑点 如何作指数型函数的图象. 三、破解难点 指数式在研究函数性质时的应用.

聚焦重点:指数的运算、指数函数的性质.

基础知识
指数运算性质
(1) a s a t ? a s ?t ;(2)(a s )t ? a st ;(3)(ab)t ? a t bt , 其中 s, t ? Q, a ? 0, b ? 0. 一些特殊结论 (1) a ? 0时,a b ? 0; (2) a ? 0时,a 0 ? 1; (3) a ? 2a b ? b ? (a ? b ) (a ? 0, b ? 0), 反之亦然; (4)(a ? b )(a ? b ) ? a ? b(a ? 0, b ? 0) ,反之亦然.
1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 2

基础知识
指数函数的图象和性质 y ? a x (a ? 0, a ? 1)
a ?1
y

0?a ?1
y
(0,1)

图 象

(0,1)

O

x

O

x

定义域 R,值域 (0, ??) .
图象都过点(0,1).
性 质 当 x ? 0时 , y ? 1 ; 0 ? y ? 1. 当 x ? 0时,

定义域 R,值域 (0, ??) .
图象都过点(0,1).
当 x ? 0时 , 0 ? y ? 1; 当 x ? 0时,y ? 1 .
在(-∞,+∞)上是减函数.

在(-∞,+∞)上是增函数.

问题研究
(1)如何进行指数的合理运算? (2)如何讨论指数型函数的性质?

经典例题1
例1 计算:
?(2 ? 3)2 ? ? 27 ? 16 ? 2 ? (8 ? ?
1 2 1 6 3 4 ? 2 3 ?1

) ? 5 2 ? (4

?

2 5 ?1

) .

思路分析
例1 计算:
?(2 ? 3)2 ? ? 27 ? 16 ? 2 ? (8 ? ?
1 2 1 6 3 4 ? 2 3 ?1

) ? 5 2 ? (4

?

2 5 ?1

) .

思路1:化成根式进行运算.

不能化简 到底!

思路2:化成分数指数幂,然后利用运算法则进 行计算. 通性通 法!

规范解题
例1 计算:
?(2 ? 3)2 ? ? 27 ? 16 ? 2 ? (8 ? ?
1 2 2 1 3 6
1 2 1 6 3 4 ? 2 3 ?1

) ? 5 2 ? (4
3 4 4

?

2 5 ?1

) .
1 5 4 5

解 原式 ? [( 2 ? 3 ) ] - (3 ) ? ( 2 ) - 2 ? ( 2 ) ? 2 ? 2
? 2 ? 3 ? 3 ? 23 ? 2 ? 22 ? 2
化根式 为分数 指数幂
1 2 1 4 ? 5 5

2 3 3

? 2 ? 3 ? 3 ? 8 ? 8 ? 2 ? 4.

负指数化 正指数

回顾反思
(1)思想方法:分数指数幂的运算,应充分 利用分数指数幂的运算法则 . (2)基本策略:化负指数为正指数,化根式为 分数指数幂,化小数为分数. (3)思维误区:一是不能熟记公式;二是公式

变形时,没有注意公式成立的条件,不能进
行恒等变形;三是结果中既有根式又有分

数指数幂.

经典例题2
1 x 2 ? 2 x ?1 例 2 求函数 y ? ( ) 的定义域、值域. 3

思路分析
1 x 2 ? 2 x ?1 例 2 求函数 y ? ( ) 的定义域、值域. 3 思路1:函数的定义域、值域都为R.

思路 1,2,3 错误

思路 2: 函数的定义域 R, 由 x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 2 ≥ ?2 根据指数函数的性质可得值域为? y | y ≥ 9?.

思路 3:函数的定义域 R,由 x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 2 ≥ ?2 根据指数函数的性质可得值域为? y | y ≤ 9? .
思路 4:(思路 3 的完善)函数的定义域为 R,结合指 数函数的性质可得值域为? y | 0 ? y ≤ 9? .

规范解题
1 x 2 ? 2 x ?1 例 2 求函数 y ? ( ) 的定义域、值域. 3 注意指数函数的 解 函数的定义域为 R ; 单调性 2 2 由 x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 2 ≥ ?2 ,

1 ?2 根据指数函数的性质得 0 ? y ≤ ( ) ? 9 , 3 函数的值域为? 0, 9 ? . 注意指数 函数的值 域!

回顾反思
(1)基本方法 求指数型函数的值域时,通常要结合指数函数的 单调性和值域来考虑,不能遗漏了指数函数的

值大于0这一结论.
(2)思维误区 一是错误地利用单调性求值域;二是不考虑指 数函数的值大于0这一隐含结论. (3)知能整合 函数 y ? a f ( x ) 与 f ( x )的定义域相同;求函数
先确定函数 f ( x )的值域, y ? a f ( x ) 的值域方法是: 再根据指数函数的单调性确定 y ? a f ( x ) 的值域.

廓清疑点:如何作指数型函数的图象.

问题研究
(1)如何利用指数函数的图象来作函数的

图象?
(2)如何利用指数函数的单调性来研究函 数的性质?

经典例题3
例3
1 | x ?1| 已知函数 y ? ( ) . 3

(1)作出函数的图象; (2)由图象指出其单调区间.

思路分析
例3
1 | x ?1| 已知函数 y ? ( ) . 3

(1)作出函数的图象; (2)由图象指出其单调区间.
思路 1:去绝对值
1 x ?1 当 x ≥ ?1 时, y ? ( ) ; 3

当 x ? ?1时, y ? 3x ?1.
1 x 然后由 y ? ( ) 和 y ? 3x 的图象平移而得. 3 1 | x| 思路 2: 根据 y ? ( ) 是偶函数,先作其图象, 3 再进行平移.

规范解题
例3
1 | x ?1| 已知函数 y ? ( ) . (1)作出函数的图象. 3
y

解法 1 由函数解析式可得
1 x ?1 y?( ) 3 ? 1 x ?1 ( x ≥ ?1), ?( ) ?? 3 ?3 x ?1 ( x ? ?1). ?

(0,1)

-1

O

x

1 其图象由两部分组成:一部分是: y ? ( ) x ( x ≥ 0) 向左平移 1 3 1 个单位可得 y ? ( ) x ?1 ( x ≥ ?1); 3

另一部分是: y ? 3x ( x ? 0)向左平移 1 个单位得

y ? 3x?1( x ? ?1) .

规范解题
例3
1 x 解法 2 由 y ? ( ) 是偶函数,其图象 3 1 x 关于 y 轴对称,故先作出 y ? ( ) 3

1 | x ?1| 已知函数 y ? ( ) . (1)作出函数的图象. 3 y
(0,1)

-1

O

x

的图象并保留 x ≥ 0的部分, 当 x ? 0时,将 x ≥ 0 的部分的图象作关于 y 轴对称,从而得
1 x 1 x 出 y ? ( ) 的图象. 将 y ? ( ) 向左移动 1 个单位,即可 3 3 1 x ?1 得 y ? ( ) 的图象. 3

规范解题
例3
1 | x ?1| 已知函数 y ? ( ) . 3

(2)由图象指出其单调区间.
1 | x ?1| 解 (2) 由图象知函数 y ? ( ) 在 ? ?? , ?1? 上是增 3 函数,在? ?1, ?? ? 上是减函数.

数形结合思想

回顾反思
(1)思想方法:指数型函数的作图一般从最基本的

指数函数入手,通过平移,伸缩,对称变换得到.
(2)知能提升:带有绝对值的函数图象,一般有两 种方法,一是去掉绝对值作图,二是不去绝对值, 如 y ? f ( x ) 可依据函数是偶函数,先作出函数
f ( x )( x ≥ 0)的图象; x ? 0时的图象只需将函数 f ( x )( x ≥ 0)的图象关于 y 轴对称即可;又如函数
y ? f ( x ) 的图象,可先作出函数 y ? f ( x ) 的图

象, 然后保留 x 轴上方图象, 将下方图象关于 x 轴 对称即可得函数 y ? f ( x ) 的图象.

破解难点:指数式在研究函数性质时的应用.

问题研究

如何合理化简指数式来研究函数的性质?

经典例题4
x k ? 2 例 4 若函数 f ( x ) ? (k 为常数) ,在 x 1? k ?2 定义域上为奇函数,则 k= .

思路分析
x k ? 2 例 4 若函数 f ( x ) ? (k 为常数) ,在定义域 x 1? k ?2 思路1错误 上为奇函数,则 k= .

思路 1:由题意,得 f(0)=0,从而 k ? 1 ? 0 ,即 k=1. 1? k 思路 2:根据奇函数定义,得 f(-x)= -f(x),即

f(x)+f(-x)=0.

易思难解

思路 3:根据函数 f ( x )的定义域求解.若 k ≥ 0,则 f ( x ) 的定义域为 R,由思路 1,可得 k ? 1;若 k ? 0,则由奇 函数的定义域关于原点对称,知 k ? ?1,经检验成立.
易解难思

规范解题
解 由题意,得 f(-x)= -f(x), 即 f(x)+f(-x)=0, 对定义域上一切 x 恒成立, x ?x k ? 2 k ? 2 ? ? ? 0. x ?x 1? k ? 2 1? k ? 2 1 k ? 化简要 x x 2 ? 0, ? k?2 x ? 注意合 1? k ? 2 1? k ? 1 理和正 2x 确性 x x k ? 2 k ? 2 ? 1 即 ? x ? 0. x 1? k ? 2 2 ?k 整理,得(k 2 ? 1) ( ? 22 x ? 1) ? 0.故 k=±1.

回顾反思
(1)思想方法:在解有关奇偶性的相关问题时,

要回归定义,并注意定义域的制约.
(2)思维误区:奇函数f(x)的定义域中含有0时, 才有f(0)=0这一特殊性质.

(3)知能提升:已知奇偶性求未知值时,常将等
式整理成方程形式,由方程有无数组解,得

其各项系数为0而求解.

总结提炼
知识与内容

一、聚焦重点:指数的运算、指数函数的性质. 二、廓清疑点:如何作指数型函数的图象.
三、破解难点:指数式在研究函数性质时的应用.

总结提炼
思想与方法 (1)运用定义解题. (2)数形结合的思想.

(3)化归转化思想.
(4)“定义域优先”思想.





同步练习
2 ? 的结果是 1.计算 ? . ( ? 2) ? ? 1 1? x 2 2.已知函数 f ( x ) ? ( ) ,其定义域是 3 ? 1 2



值域是



1 x 2 ? 6 x ?17 3.对于函数 y ? ( ) . 2

(1)求函数的定义域、值域; (2)确定函数的单调区间.

参考答案
2 ? ?2 ? ( ? 2) 1. ? . ? ? 2 2.定义域为[?1,1],由单调性可知
2 ? ? 1 2 1 2

1 1 1 ( ) ≤( ) 3 3

1? x 2

1 0 1 ≤ ( ) ,即 ≤ y ≤ 1. 3 3

1 3. (1)函数的定义域为 R.函数的值域为 (0, ]. 256 1 x 2 ? 6 x ?17 (2)函数 y ? ( ) 在[3, ?? ) 上是减函数. 2 1 x 2 ? 6 x ?17 同理可知 y ? ( ) 在( ?? ,3]上是增函数. 2


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