重庆巴蜀中学高2017级高一(上)期末数学试卷及其答案


重庆巴蜀中学高 2017 级高一(上)期末考试 数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? ?0,1?, B ? ?? 1,0, a ? 3?,且 A ? B ,则 a =( A. 1 2、不等式 B. 0 C. ? 2 ) C. ?? ?,?1? ? ?2,??? ) D.第四象限 D. ?? 1,2? D. ? 3 )

x?2 ? 0 的解集是( x ?1

A. ?? 1,2?

B. ?? ?,?1? ? ??1,2?

3、已知点 P(tan? , cos? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )
8 9

?1 ? x 2 , x ≤ 1 1 ) 的值为( 4、函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (3) ? 2 x ? 3, x ? 1

A. ?

7 3

B. 3

C.

15 16

D.

π π 5、将函数 y ? cos(2x ? ) 的图像向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原 4 8 1 来的 (纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为( ) 2

A. f ( x) ? cos 4 x C. f ( x) ? sin 2 x

B. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? cos 2 x )

1 6、已知函数 f ( x) ? x ? ln x ,则 f ( x) 满足( 3

?1 ? A.在区间 ? ,1? , ?1, e? 内均有零点 ?e ?

?1 ? B.在区间 ? ,1? , ?1, e? 内均无零点 ?e ?

?1 ? ?1 ? C.在区间 ? ,1? 内有零点, ?1, e? 内无零点 D.在区间 ? ,1? 内无零点, ?1, e? 内有零点 ?e ? ?e ? ? ? ? ? ? 7、已知 a ? 1 , b ? 6 , a ? (b ? a) ? 2 则向量 a 和向量 b 的夹角是( )
π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2

1

8、已知函数 f ( x) ?

2x ? a ?1 1 在 ?? 1,??? 上是减函数,则函数 y ? log a 的图像大致为( x ?1 x



9、定义在 R 上的函数满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[1,3]时,f(x)=cos 系正确的是( A. f (cos ) B. f (sin 2) ? f (cos 2) D. f (tan1) ? f (

? x,则下列大小关 2

5 π π ) ? f (cos ) 6 3

1 ) tan1 10、 设定义在 ?1, e? 上的函数 f ( x) ? ln x ? 4x ? a ?a ? R ? ,若曲线 y ? 1 ? sin x 上存在 ?x0 , y0 ? 使

C. f (cos1) ? f (sin1)

得 f ? f ? y0 ?? ? y0 ,则 a 的取值范围是( A. ?? ?,4 ? ln 2? B. ?3,4?

) C. ?3,4 ? ln 2? D. ?2 ? ln 2,4?

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上。 11. sin1920? =___________

? 1? 12. 若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ? 3, ? ,则 f (5) =___________ ? 9?
2 ? ? ? ) =_____________ 13. 设 tan? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(

14. 若不等式 2 x ? 3 ≥

a ? 2 ? 2a ? 2 a

对任意的实数 a ? 0 恒成立,则 x 的取值范围是_______

x 1 15. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x), f ( ) ? f ( x) , 5 2 1 ) =____________ 且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( 2010

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P (-3,4),求: (1)cos(π-α)+cos( (2)若 tanβ=3,求

? +α)的值. 2

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? 的值. 2sin 2 ? ? cos 2 ?

17.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=ax2+2ax+1, (1)当 a=1 时,求 f(x) 在区间[-3,2]上的值域; (2)已知函数 f(x)=log3(ax2+2x+3) ,a∈R.若 f(x)的定义域为 R ,求实数 a 的取值范 围.

3

18.(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=

3 sinxcosx+sin2x+a

(1)写出 f(x)最小正周期及单调递减区间; (2)当 x∈[-

? ? , ]时,函数 f(x)的最大值为 2,求 a 的值. 3 3

19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)其中 A>0,ω>0,-π<φ≤π)在 x= 取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)=

? . 2

? 处 6

6cos 4 x ? sin 2 x ? 1 的值域. 2(2cos 2 x ? 1)

4

20.(本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)?f(y)(x,y∈R), 且当 x>0 时,f(x)>1;f(2)=4. (Ⅰ)求 f(1),f(-1)的值; (Ⅱ)证明:f(x)是单调递增函数; (III) 若 f ( x 2 ? ax + a )≥ 2 对任意 x∈(1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的函数 f n ( x) ? cos n x ? cos n ( x ?
π (1)求 f n (0) 和 f n ( ) ; 2 2 π 4 π ) ? cos n ( x ? ) ,其中 n ? N * . 3 3

(2)求证:对任意 x ? R , f 2 ( x) 为定值; (3)对任意 x ? R ,是否存在最大的正整数 n ,使得函数 y ? f n ( x) 为定值?若存在,求出 n 的 最大值;若不存在,请说明理由。

5

6

重庆巴蜀中学高 2017 级高一(上)期末考试 数学试题

1、解:∵集合 A={0,1},B={-1,0,a+3},且 A?B, ∴a+3=1, 解得:a=-2. 2、C 3、解:因为点 P(tanα,cosα)在第三象限,所以,tanα<0,cosα<0,则角 α 的终边在第二 象限, 4、D 5、解:把函数 y=cos(2x+ y=cos[2(x故答案为:二. 选B 故答案为:-2 选C

? ? )+ ]=cos2x, 8 4

? ? )的图象向右平移 个单位,得到的函数的解析式为 4 8

再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 y=cos( 2×2?x )=cos4x, 故答案为 y=cos4x. 选A

1 (纵坐标不变),得到的函数的解析式为 2

6、当 x>0 时,则 f(x)'<0,所以当 x>0 时,函数为减函数。
1 两个区间( ,1),(1,e)共有 3 个点,带入到函数中 e 1 e 1 f( )= +1>0, f(1)= >0, e 3 3 1 f(e)= -1<0 3e 1 所以可以得出,函数 在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,选 D e

7、解:设 a 与 b 的夹角为 θ 则

? ? ? ∵ a ? (b ? a) ? 2
∵ a ?1

即 a ? b ? a2 ? 2

a ? b ?1 = 2

∴ a ?b = 3

? ? a ?b 3 1 ∴cosθ = cos ? ? ? ? ? ? a b 6 2

∵θ∈[0,π] ∴θ =

? 3

故答案为:

? , 选C 3
7

8、C 9、解:∵定义在 R 上的函数满足 f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的周期函数, ∵x∈[1,3]时,f(x)=cos 画出函数 f(x)的图象,

? x, 2

由图象可知,f(x)在[0,1]是单调递增函数,
1 5? ? ? ? ,f(cos )=f(cos ),cos >cos ,sin2>cos2,cos1<sin1, tan1 6 6 6 3 1 5? ? 所以 f(tan1)<f( ),f(cos )>f(cos ),f(sina)>f(cos2), tan1 6 3

因为 tan1<

f(cos1)<f(sin1). 故选项 B 正确. 故选:B.

10、解:曲线 y=1+sinx 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0))=y0,得 1≤y≤2; ∵f(x)= f ( x) ? ln x ? 4x ? a (x∈(1,e)), ∴lnx+4x-a≥0(x∈(1,e))恒成立, ∴a≤lnx+4x(x∈(1,e))恒成立, 令 h(x)=lnx+4x(x∈(1,e))恒成立, ∵h′(x)=
1 +4>0, x

∴h(x)=lnx+4x 在区间(1,e)上单调递增,虽然无最小值,但其值无限接近 h(1)=4, ∴a≤4;① 又 f′(x)=
1 1 1 4x ?1 ? ?( +4)= >0, 2 x ln x ? 4 x ? a 2 x ln x ? 4 x ? a

∴函数 f ( x) ? ln x ? 4x ? a 在(1,2]上单调递增;
8

下面证明 f(y0)=y0; 假设 f(y0)=c>y0,则 f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不满足 f(f(y0))=y0; 同理假设 f(y0)=c<y0,则不满足 f(f(y0))=y0; 综上得:f(y0)=y0; ∵令函数 f ( x) ? ln x ? 4x ? a =x(x∈(1,2]),化为:a=-x2+4x+lnx(x∈(1,2]), 令 g(x)=-x2+4x+lnx(x∈(1,2]);
1 ?2 x 2 ? 4 x ? 1 g′(x)=-2x+4+ = >0 恒成立,∴函数 g(x)在 x∈(1,2]单调递增; x x

∴g(1)<g(x)≤g(2),即 3<a≤4+ln2,② 由①②得,a 的取值范围是(3,4]. 故选:B.
3 . 2

11 、 解:sin(1920° )=sin(5× 360° +120° )=sin120° =
3 2

故答案为:

1 1 12、解:设幂函数 f(x)=xα,把点(3, )代入可得 =9α,解得 α = -2 . 9 9

∴f(x)=x-2. ∴f(5)=
1 25

故答案为:

1 . 25

13、解:∵tanα,tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两个根, ∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2, 则 tan(α+β)=
tan ? ? tan ? 3 ? =-3. 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2

14、解:当 a≥1 时,

a ? 2 ? 2a ? 2 a

?

a ? 1≤3,故|2x-3|≥3,解得 x≥3 或 x<0, 4

当 0<a<1 时,

a ? 2 ? 2a ? 2 a a ? 2 ? 2a ? 2 a ?

=3,故|2x-3|≥3,解得 x≥3 或 x<0,

当-2≤a<0 时,

=-3,故|2x-3|≥-3,故 x∈R,

当 a≤-2 时,

a ? 2 ? 2a ? 2 a

a ? 1 <0,故|2x-3|≥-3,故 x∈R, 4

综上所述,若不等式恒成立,则实数 x 的取值范围是故答案为:(-∞,0)∪[3,+∞)
9

故答案为:(-∞,0)∪[3,+∞) 15 、 解:由 f(x)+f(1-x)=1 可知 f(x)的图象关于( 由 f(0)=0 得 f(1)=1,f (
1 1 )= , 2 2 x 1 1 1 f ( ) ? f ( x) 中令 x=1 可得 f( )= , 5 2 5 2 1 1 , ) 对称, 2 2

又因为 0≤x1<x2≤1 时,f(x1)≤f(x2),
1 1 1 所以 x∈[ , ] 时,f(x)= , 5 2 2 x 1 1 1 1 1 5 1 25 1 125 由 f ( ) = f ( x ) 可得 f ( )= f( )= f( )= f( )= f ( ), 5 2 2010 2 402 4 402 8 402 16 402 125 1 1 因为 ∈ [ , ], 5 2 402 125 1 所以 f ( )= , 2 402 1 1 1 所以 f ( )= 故答案为: 2010 32 32 x 3 y 4 16 、 解:(1)由题意可得 x=-3,y=4,r=|OP|=5,∴cosα= ? ? ,sinα= ? , r 5 r 5 ? 3 4 1 ∴cos(π-α)+cos( +α)=-cosα-sinα= - =- . 5 5 5 2

(2)∵tanβ=3,∴

9?6 15 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? tan 2 ? ? 2 tan ? ? = = . 2 2 2 2 ? 9 ? 1 19 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1

17、(1)解: (1)f(x)=x2+2x+1=(x+1)2 ∴函数 f(x)在[-3,-1]上递减,在[-1,2]上递增, 所以 ymin=f(-1)=0,ymax=f(2)=9, 所以 f(x) 在区间[-3,2]上的值域为[0,9]. (2):(1)由 f(x)的定义域为 R,则 ax2+2x+3>0 恒成立,…(1 分) 若 a=0 时,2x+3>0,x > ? 所以 a≠0;
3 ,不合题意; …(3 分) 2

?a ? 0 1 由? 得:a > 2 3 ?? ? 2 ? 4 ? a ? 3 ? 0
18 、 解:(1)∵f(x)= =
1 ? cos 2 x 3 sin2x+ +a 2 2

3 sinxcosx+sin2x+a

10

=sin(2x-

? ? , ],函数 f(x)的最大值为 2, 3 3 ? 5? ? ? 1 ∴2x- ∈[, ],sin(2x- )max=1,即有:f(x)max=1+ + a =2. 6 2 6 2 6 1 ∴可解得:a= . 2 2? 19、解:(Ⅰ)由题意可知 f(x)的周期为 T=π,即 =π,解得 ω=2. ? ? ? 因此 f(x)在 x= 处取得最大值 2,所以 A=2,从而 sin(2× +φ )=1, 6 6 ? ? ? 所以 +φ= +2 k π , k ∈ z ,又-π<φ≤π,得 φ= , 3 2 6 ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ); 6
(2)∵x∈[(Ⅱ)函数 g(x)=
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

2? =π, 2 ? ? 3? ? 5? ∴由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,可解得单调递减区间为:[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 2 6 2 6 3

? 1 )+ + a , 2 6

∴f(x)最小正周期 T=

?

=

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 2sin(2 x ? ) 2

?

=

6cos 4 x ? sin 2 x ? 1 2cos 2 x

=

6cos 4 x ? sin 2 x ? 1 2(2cos 2 x ? 1) 6cos 4 x ? cos 2 x ? 2 2(2cos 2 x ? 1)

=

(3cos2 x ? 2)(2cos2 x ? 1) = 2(2cos2 x ? 1)
3 1 = cos 2 x +1 (cos 2 x ≠ ) 2 2 1 , 2 7 5 故 g(x)的值域为[1 , ) ∪ ( ] . 4 2

因为 cos2x∈[0,1],且 cos 2 x ≠

11

20、(Ⅰ)解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)?f(y)(x,y∈R), 且当 x>0 时,f(x)>1,f(2)=4, ∴f(2)=f(1+1)=f(1)?f(1)=4, ∴f(1)=2,或 f(1)=-2(舍). 故 f(1)=2.

∵f(1)=f((-1)+2)=f(-1)?f(2), ∴f(-1)=
f (1) 2 1 ? ? . f (2) 4 2

(Ⅱ)证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1] ∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>1 ∴f(x2-x1)-1>0, ∵f(x1)=f(
x1 x1 x ? )=[f( 1 )]2>0, 2 2 2

∴f(x1)f[(x2-x1)-1]>0, ∴f(x2)>f(x1), 故 f(x)在 R 上是增函数. (III)解:∵f ( x 2 ? ax + a )≥ 2 , ∴f(x2-ax+a)?f(x2-ax+a)=f(2x2-2ax+2a)≥2=f(1), ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴2x2-2ax+2a≥1, ∴由 f ( x 2 ? ax + a )≥ 2 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, 得 2x2-2ax+2a≥1 对任意 x∈(1,+∞)恒成立,
a ∵y=2x2-2ax+2a-1 的对称轴是 x= , 2 a ∴在[ ,+∞)上 y=2x2-2ax+2a-1 是单调递增函数. 2

∵2x2-2ax+2a≥1 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ∴
a ≤1,故 a≤2. 2

∴实数 a 的取值范围(-∞,2].

12

21 、 解:(1)f n (0) = 1+2(?

1 n ? 3 n 3 n ) ,f n ( ) = (? ) +( ) . 2 2 2 2 2? 4? )+cos( x + ) 3 3

(2)对任意 x∈Rf 1 ( x ) = cos x +cos( x + =cos x ? 又 cos 2 x =

1 1 2? 3 cos x ? sin x ? cos x + sin x = 0 2 2 3 2

1 1 3 (1+cos2 x ) ,故 f 2 ( x ) = (3+ f 1 (2 x ))= . 2 2 2 1 (3)由于 cos 4 x = (1+2cos2 x + cos 2 2 x ) 4 1 9 故 f 4 ( x ) = (3+2 f 1 (2 x )+ f 2 (2 x )) = ,即 n=4 时,y=fn(x)为定值. 4 8 1 1 当 n 为奇数,且 n≥3 时,由(1)得:f n (0) = 1+2(? ) n = 1? n ?1 > 0 , 2 2

而 fn(

? ? 3 n 3 n ) = (? ) +( ) = 0 ,即 f n ( 0)≠ f n ( ) .故 y=fn(x)不可能为定值. 2 2 2 2
1 n 1 ) = 1+ n ?1 > 1 . 2 2

当 n 为偶数,且 n≥6 时,由(1)得:f n (0) = 1+2(? 而(
3 n ) 关于 n 单调递减, 2

故 fn(

? ? 3 n 3 n 3 n 3 6 27 ) = (? ) +( ) = 2( ) ≤2( ) = < 1 .即 f n (0)≠ f n ( ) , 32 2 2 2 2 2 2

故 y=fn(x)不可能为定值. 综上,存在最大的正整数 n=4,使得对任意的 x∈R,y=fn(x)为定值.

13


相关文档

更多相关文档

重庆巴蜀中学高2017级高一(上)半期数学试题及其答案
重庆巴蜀中学高2017级高一(上)期末物理试卷及其答案
重庆市巴蜀中学初一上期末数学试题2017级
重庆巴蜀中学高2018级高一(上)月考数学试题及其答案
重庆巴蜀中学高2014级高一(上)第一次月考数学试题
重庆巴蜀中学高2017级高一上第一次月考数学试题
2016-2017学年重庆市巴蜀中学高一上学期期末考试数学试卷(带解析)
重庆市巴蜀中学2014-2015学年高一下学期期末考试文科数学试题 Word版含答案
2012-2013重庆巴蜀中学八年级(上)期末数学试卷答案解析
重庆市巴蜀中学2013—2014学年度第一学期期末考试高2016级(一上)数学试题卷
重庆巴蜀中学初2017级2015年--2016年初二数学旋转与平移试题(扫描版,无答案)
重庆巴蜀中学2014-2015学年第二学期期末考试八年级物理试题(word版,含解答)
重庆市巴蜀中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题
重庆巴蜀中学高2017级高一(上)期末物理试卷及其答案
重庆南开中学高2017级高一(上)期末考试数学试题及其答案
电脑版