等比数列第一课时的课件


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情景展示(1)
左图为国际象棋的棋盘,棋 盘有8*8=64格
国际象棋起源于印度, 关于国际象棋有这样一个传说, 国王要奖励国际象棋的发明者, 问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘上的第一个格子上放1 粒麦子,第二个格子上放2粒麦子, 第三个格子上放4粒麦子,第四个 格子上放8粒麦子,依次类推,直 到第64个格子放满为止。” 国王 慷慨地答应了他。你认为国王有

1, , , , , 2 2 2 ? 2
2 3

1844,6744,0737,0955,1615

1 2 3 4 5 6 7 8

上述棋盘中各格子里的 麦粒数按先后次序排成 一列数:
63

能力满足上述要求吗?

猜一猜:
给你一张足够大的纸,假设 其厚度为0.1毫米,那么当你 把这张纸对折了51次的时候, 所达到的厚度有多少?

把一张纸折叠51次, 得到的大约是地球与 太阳之间的距离!

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

回忆

1.什么是等差数列?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等 差数列。这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。

2.等差数列的判定有哪些方法?

比较下列数列
(1)
(2) (3)
(4)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

9,92,93,94,95,96,

9

7

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点?从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数.

等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。

(q≠0)

其数学表达式:

an ? q(n ? 2) an?1



an?1 * ? q(n ? N ) an

练习
1、判别下列数列是否为等比数列?
2 1 …… (1) 2 , 1, , , 是 2 2 不是 (2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……
2 2

q=

是 不是

q= 1

思考:等比数列中
q>0数列递增吗?q<0数列递减吗?

说明:

?a1 ? 0 ? a1 ? 0 或? ? {an }递增; ? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1 ? a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an }递减; ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1

q=1,常数列; q<0,摆动数列; 既是等差又是等比数列为非零常数列;

例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,
a=4或a=-4
a 8 ()根据题意,得 ? 解得 解: 1 2 a ( )根据题意,得 2

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

c ?b ?- 4 ? b ? ?1 ?2 c ? ? ?c b

解得

?b ? 2 ? ?c ? ?1

G ? ? ab

等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1, , 9 ±3 ±6 (3)-12, ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2 起,每一项与前一项 项起,每一项与它前 的差等于同一个常数,一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差,用d 个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 表示

数学式 子表示

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

a n?1 ?q an

通项公式

?

猜一猜?
如果等比数列 { }的首项是 ,公比是 ,那么这个等比数列的第 项 如何表示? a3 a2 an ?q ? q …… ?q ∵ a1 a2 an?1 ∴ a2 ? a1 ? q
a3 ? a2 ? q ? a1 ? q 2 ……

(等比数列通项公式) ? (a1 , q ? 0, n ? N ) * a 当n=1时, 1 ? a1 ? n? N 公式成立

an ? a1 ? q

n ?1

想一想?
a2 ?q 证明:∵ a1

一般形式:
a3 ?q a2
……

an ? am ? q
an ?q an ?1

n?m ?

(n, m ? N )
叠乘法推导

将等式左右两边分别相乘可得:

化简得:

a2 a3 ? a1 a2

an …… an?1
即:

n ? ?1 ? ? ? q ……q ? q n?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1 ? q
∴ an

n?1

此式对n=1也成立

? a1 ? q

n ?1

(n ? N )

?

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩,增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ,并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例2
袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代 120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两位有 效数字)?

解:由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍,
因此,逐代的种子数组成等比数列,记为 ?a n ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?120 ? 2.5 ?10
5?1
10

答:到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

归纳:
数 列 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d 等 比 数 列 定义式

an?1

an

?q

公差(比)
定义变形

q叫公比 an+1=an q

通项公式 一般形式

an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

an=a1qn-1
an=amqn-m

等比数列的定义; 等比数列的通式公式及其简单应用: 等比中项

类比思想的运用;

作业
?金版学案34-36页

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