排列组合—分类加法计数原理与分步乘法计数原理——复习归纳(教师)


1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共 有 ( ) A.24 个 B.28 个 C.36 个 D.48 个 解析:法一:按十位数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有 8 个,7 个, 6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个,由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 8+7 +6+5+4+3+2+1=36 个. 法二:按个位数字分别是 2,3,4,5,6,7,8,9 的情况分成 8 类,在每一类中满足题目条件的 两位数分别有 1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个,7 个,8 个,由分类加法计数原理知, 符合 条件的两位数共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36 个.

2.从-2、-1、0、1、2、3 这六个数字中任选 3 个不重复的数字作为二次函数 y=ax2+ bx+c 的系数 a、 c, b、 则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线的条数为 ( ) A.6 B.20 C.100 D.120 解析:分三步:第一步确定 c,由抛物线过原点知 c=0,只有 1 种方法;第二步确定 a,由 抛物线顶点在第一象限知,抛物线开口向下,a 从-2、-1 中任选一个,有 2 种不同的方 法;第三步确定 b, 从 1,2,3 中任选一个,有 3 种不同的方法.根据分步计数原理,所求的 抛物线条数共有 1×2×3=6. 答案: A 3.(2010·全国卷Ⅰ)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 ( ) A.30 种 B.35 种 C.42 种 D.48 种 解析:分两类,A 类选修课 1 门,B 类选修课 2 门,或者 A 类选修课 2 门,B 类选修课 1
1 门,因此,共有 C2· 1+C3· 2=30 种选法. C4 3 C4

答案:A 4.4 名学生报名参加数学、生物、英语三项比赛,每人 限报一项,报名方法有________种;若每个项目均有人参赛,则报名方法有________种(用 数字作答). 解析:第 1 名学生有 3 种报法,第 2 名学生有 3 种报法,第 3 名学生有 3 种报法,第 4 名 学生有 3 种报法,由分步乘法计数原理可得共有报名方法 3×3×3×3=81 种.若每个项目

3 均有人参赛,则报名方法共有 C2A3=36 种. 4

答案:81

36

5.如图用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色, 则不同的涂法共有__________种.

解析:从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D、A 同色 1 种,D、A 不同色 3 种, ∴不同涂法有 6×5×4×(1+3)=480 种. 答案:480

1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.m+n 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那 么完成这件事共有 N= 种不同的方法.m×n

考点一

分类加法计数原理的应用

x2 y2 方程m+ n =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,其中 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么这 样的椭圆有多少个? [自主解答] 以 m 的值为标准分类,分为五类.第一类:m=1 时,使 n>m,n 有 6 种选择; 第二类:m=2 时,使 n>m,n 有 5 种选择;第三类:m=3 时,使 n>m,n 有 4 种选择;第四 类:m=4 时,使 n>m,n 有 3 种选择;第五类:m=5 时,使 n>m,n 有 2 种选择. ∴共有 6+5+4+3+2=20(种)方法,即有 20 个符合题意的椭圆. 解:当 m=2 时,n=1,有 1 种选择; 当 m=3 时,n=1,2,有 2 种选择;

当 m=4 时,n=1,2,3,有 3 种选择; 当 m=5 时,n=1,2,3,4,有 4 种选择; ∴共有 1+2+3+4=10 种方法,即有 10 个符合题意的椭圆. 思考:若将“焦点在 y 轴”改为“焦点在 x 轴”呢?

高三一班有学生 50 人,男 30 人,女 20 人;高三二班有学生 60 人,男 30 人,女 30 人; 高三三班有学生 55 人,男 35 人,女 20 人. (1)从高三一班、二班或三班学生中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班的男生中,或从高三三班的女生中选一名学生任校学生会体育部部长, 有多少种不同的选法?

解:(1)50+60+55=165(种),即所求选法有 165 种. (2)30+30+20=80(种),即所求选法有 80 种. 考点二 分步乘法计数原理的应用

从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数, 其中奇数的个数是多少? [自主解答] 第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共 C2C2=18 种,第二步 4 3 再把 4 个数排列,其中是奇数的共 A1A3=12 种,故所求奇数的个数共有 18×12=216 种. 2 3

某乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,要派 5 名参加比赛,3 名主力队员要安排在第 一、三、五的位置,其余 7 名队员中有 2 名被安排在第二、四位置,求不同的出场安排有 多少种.

解:按出场顺序逐一安排.第一位置队员的安排有 3 种方法,第二位置队员的安排有 7 种 方法,第三位置队员的安排有 2 种方法,第四位置队员的安排有 6 种方法.第五位置队员 的安排只有一种方法. 由分步乘法计数原理, 得不同的出场安排种数为 3×7×2×6×1=252. 即共有 252 种出场方式.

考点三

两个计数原理的综合应用

某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、2 个不同的世博会宣传广告、1 个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播 放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式? [自主解答] 用 1、2、3、4、5、6 表示广告的播放顺序, 则完成这件事有 3 类方法. 第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2、4、6.分 6 步完成这件事共有 3×3×2×2× 1×1=36 种不同的播放方式. 第二类: 宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、4、6,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2 ×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1、3、6,同样分 6 步完成这件事,共有 3×3 ×2×2×1×1=36 种不同的播放方式.由分类加法计数原理得:6 个广告不同的播放方式 有 36+36+36=108 种.

用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的 4 位偶数?

解:完成这件事可分为 3 类方法: 第一类是用 0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,它可以分三步去完成: 第一步,选取千位上的数字,只有 2,3,4,5 可以选择,有 4 种选法; 第二步,选取百位上的数字,除 0 和千位上已选定的数字以外,还有 4 个数字可供选择, 有 4 种选法;

第三步,选取十位上的数字,还有 3 种选法. 依据分步计数原理,这类数的个数有 4×4×3=48 个; 第二类是用 2 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,它可以分三步去完成: 第一步,选取千位上的数字,除去 2,1,0 只有 3 个数字可以选择,有 3 种选法; 第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾两数字之后,还有 4 个数字可供选择, 有 4 种选法;

第三步,选取十位上的数字,还有 3 种选法. 依据分步计数原理,这类数的个数有 3×4×3=36 个; 第三类是用 4 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,其步骤同第 二类. 对以上三类结论用分类计数原理,可得所求无重复数字 的比 2 000 大的 4 位偶数有 4×4×3+3×4×3+3×4×3= 120 个.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用是高考对本节内容的重要考查点, 其中分类加法计数原理体现了分类讨论的思想,是高考的一个重要考向,其考查方式多以 选择题或解答题为主. [考题印证] (2010·天津高考)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点 涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方 法共有 ( ) A.288 种 B.264 种 C.240 种 D.168 种

[规范解答] 按所用颜色分两类. 第一类:三色涂完.必然两两同色,即 AC,BE,DF 或 AF,BD,CE,有 2A3=48 种. 4 第二类:四色涂完.A、D、E 肯定不同色,有 A3种涂法,再从 B、F、C 中选一位置涂第 4 四色有三种.若所选是 B,则 F、C 共三种涂法, 所以 A3· 1· 4 C3 3=216 种.故共有 48+216=264 种. [答案] B

1.两个原理的区别与联系 两个原理是处理排列、组合问题的理论依据,它们都是把一个事件分解成若干个事件来完 成,其区别在于分类计数原理中各类办法是相互独立的,而分步计数原理中各个步骤是相 互依存的. 2.两个计数原理的应用 (1)分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性; 分步时要注意“步”与“步”之间的连续性.分类加法计数原理中的各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理中的各个步骤相互依存,只有 各个步骤都完成了,这件事才算完成. (2)运用两个原理解决相关问题时,究竟先分类后分步, 还是先分步后分类这应视具体问题而定.

1.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面 构成一个“平行线面组” ,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面 构成的“平行线面组”的个数是 ( ) A.60 B.48 C.36 D.24

解析:长方体的每一个面对应 6 个“平行线面组” ,共有 6×6=36 个; 长方体的第一个对角面对应 2 个“平行线面组” ,共有 6×2=12 个. ∴共有 36+12=48 个。 答案:B 2.(2011· 惠州模拟)2010 年广州亚运会上,8 名运动员争夺 3 项乒乓球冠军,获得冠军的可 能有 A.83 种 C.A3种 8 B.38 种 D.C3种 8 ( )

解析: 8 名运动员看作 8 家 把 “店” 3 项冠军看作 3 位 , “客” 它们都可住进任意一家 , “店” , 每位“客”有 8 种可能.根据乘法原理,共有 8×8×8=83(种)不同的结果. 答案:A 3.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙两人所选的课程中含有 1 门相同的选法 有 ( ) A.6 种 B.12 种 C.16 种 D.24 种 解析:第一步,选出 1 门作为甲、乙两人相同的选修课程,不同的选择方法有 C1种;第二 4 步,再从剩下的 3 门中任选 2 门分给甲、乙两人,不同的选择方法有 A2种,由分步乘法计 3
2 数原理可得,不同的选法共有 C1A3=24 种. 4

答案:D 4.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分站的位置,则不同的站法种数是________(用数字作答). 解析:根据题意,每级台阶最多站 2 人,所以,分两类: 第一类,有 2 人站在同一级台阶,共有 C2A2种不同的站法; 3 7 第二类,一级台阶站 1 人,共有 A3种不同的站法. 7 根据分类加法计数原理,得 C2A2+A3=336. 3 7 7 答案:336 5.某人有 3 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)要在如图所示的 6 个点 A、 C、 B、 A1、 B1、 C1 上各安装一个灯泡, 要求同一条线段两端的灯泡不同色, 则不同的安装方法共有________ 种.(用数字作答)

解析:用 a,b,c 代表 3 种颜色的灯泡,先安装 A,B,C 三点,有 A3种方法,不妨设再安 3
1 装 A1 点,则有 A2种方法,一旦 A,B,C,A1 四个点安装后,B1,C1 安装灯泡的颜色一定, 3 ∴由分步计数原理知共有 A3A1=12 种安装方法. 2

答案:12 6.现有高一四个班学生共 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、9 人、10 人,他们 自愿组成数学课外学习小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级, 有多少种不同的选法? 解:(1)分四类,第一类,从一班学生中选 1 人,有 7 种选法; 第二类,从二班学生中选 1 人,有 8 种选法; 第三类,从三班学生中选 1 人,有 9 种选法; 第四类,从四班学生中选 1 人,有 10 种选法, 所以,共有不同的选法 N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长,所以共有不同的选法 N=7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类,每类又分两步: 从一班、二班学生中各选 1 人,有 7×8 种不同的选法; 从一、三班学生中各选 1 人,有 7×9 种不同的选法, 从一、四班学生中各选 1 人,有 7×10 种不同的选法; 从二、三班学生中各选 1 人,有 8×9 种不同的选法; 从二、四班学生中各选 1 人,有 8×10 种不同的选法; 从三、四班学生中各选 1 人,有 9×10 种不同的选法, 所以共有不同的选法 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).


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