空间直角坐标系


第 34 讲 § 4.3.1 空间直角坐标系
¤学习目标:通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐 标系刻画点的位置. ¤知识要点: 1. 空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz,这样 的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的 平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若 中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标: 对于空间任一点 M, 作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、 轴、 轴上的射影, Oy Oz 若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标, 记作 M(x, y, z),其中 x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标. 4. 在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上的点的纵坐标 都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点 的横坐标、纵坐标都是零 ¤例题精讲: 【例 1】在空间直角坐标系中,作出点 M(6,-2, 4).

z

O y

x
【例 2】在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=12,AD=8, AA1 =5,试建立适当的空间直角坐标系,写出各 顶点的坐标. 解:

【例 3】已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶 点的坐标.

点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定 的点的坐标.

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【例 4】在空间直角坐标系中,求出经过 A(2,3,1)且平行于坐标平面 yOz 的平面 ? 的方程.

点评:对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法,再用类比方法 求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中,求过某一定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的 方程.

第 34 练 § 4.3.1 空间直角坐标系
※基础达标 1.点 A(2,0,3) 在空间直角坐标系的位置是( A. y 轴上 B. xOy 平面上 C. xOz 平面上 ). D. yOz 平面上

2.在空间直角坐标系中,下列说法中:①在 x 轴上的点的坐标一定是 (0, b, c) ;②在 yOz 平面上的点的坐 标一定可写成 (0, b, c) ;③在 z 轴上的点的坐标可记作 (0,0, c) ;④在 xOz 平面上的点的坐标是 (a,0, c) . 其中正 确说法的序号依次是( ). A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②③④ 3.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点●代表钠原 子,黑点?代表氯原子. 建立空间直角坐标系 O—xyz 后,图中最上层中间的钠原子所 在位置的坐标是( ).

1 1 1 1 1 B. (0,0,1) C. (1, ,1) D. (1, , ) 2 2 2 2 2 4.点 A(?1, 2,1) 在 x 轴上的射影和在 xOy 平面上的射影点分别为( A. (?1,0,1) 、 (?1, 2,0) B. (?1,0,0) 、 (?1, 2,0) C. (?1,0,0) 、 (?1,0,0) D. (?1, 2,0) 、 (?1, 2,0)
A. ( , ,1) 5.点 M (a, b,0), N (0, a, b), P(a,0, b) 分别在面( A. xOy, yOz, xOz 上 B. yOz, xOy, xOz 上 . 6.点 P(1,3,5) 关于原点对称的点的坐标是 ).

).

C. xOz, yOz, xOy 上

D. xOy, xOz, yOz 上

7.连接平面上两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的线段 PP2 的中点 M 的坐标为 ( 1 1 间中两点 P ( x1 , y1 , z1 ) 、 P2 ( x2 , y2 , z2 ) ,线段 PP2 的中点 M 的坐标为 1 1

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,那么,已知空 2 2
.

※能力提高 8.如图,点 A(0,0, a) ,在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、 F 分别是 AC、AD 的中点. 求 D、C、E、F 这四点的坐标.

9.在空间直角坐标系中,给定点 M (1, ?2,3) ,求它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.

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※探究创新 10.在空间直角坐标系中,求出经过 B(2,3,0)且垂直于坐标平面 xOy 的直线方程

第 35 讲 § 4.3.2 空间两点间的距离公式
¤学习目标:通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距 离公式. ¤知识要点: 1. 空间两点 P ( x1 , y1 , z1 ) 、 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式: | P P2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z2 ) 2 . 1 1 2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤:①在立体几何图形中建立空间直角坐标系;②依题意确定各 相应点的坐标 ;③通过坐标运算得到答案. 3. 对称问题,常用对称的定义求解. 一般地,点 P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、yOz、zOx 的对称点的坐标 分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z);关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z); 关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z). ¤例题精讲: 【例 1】已知 A(x,2,3)、B(5,4,7),且|AB|=6,求 x 的值.

【例 2】求点 P(1,2,3)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标.

【例 3】在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,求异面直线 BD1与CC1 间的距离.

点评:通过巧设动点坐标,得到关于两点间距离的目标函数,由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标 函数最值的研究,实质就是非负数最小为 0. 【例 4】在四面体 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,求点 P 到平面 ABC 的距离.

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点评:重心 H 的坐标,可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系,用代数方法来计算点面距离. 本 题也可以用几何中的等体积法来求解.

第 35 练 § 4.3.2 空间两点间的距离公式
※基础达标 1.点 P( x, 2,1) 到 Q(1,1, 2), R(2,1,1) 的距离相等,则 x 的值为( A. ).

2.设点 B 是点 A(2, ?3,5) 关于 xOy 面的对称点,则 | AB | =(

1 2

B.

1

C.

3 2

D. 2 ). ).

A. 10 B. 10 C. 38 D. 38 3.到点 A(?1, ?1, ?1) , B(1,1,1) 的距离相等的点 C ( x, y, z ) 的坐标满足( A. x ? y ? z ? ?1 A. (0, ? 29,) 3 0 C. (0, ? 29,) 3 0 B. x ? y ? z ? 0 C. x ? y ? z ? 1 4.已知 A(?2,3, 4) ,在 y 轴上求一点 B,使 | AB |? 7 ,则点 B 的坐标为( B. (0, ? 29,) (0, ? 29,) 3 0 或 3 0 D. (0, , ? 29) (0, , ? 29) 或 0 3 0 3

D. x ? y ? z ? 4 ).

5.已知三角形 ABC 的顶点 A(2,2,0) ,B(0,2,0) ,C(0,1,4),则三角形 ABC 是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.在空间直角坐标系下,点 P( x, y, z ) 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则动点 P 表示的空间几何体的表面积 是 . 7.点 M (4, ?3,5) 到 x 轴的距离为 .

※能力提高 8.(1)已知 A(2,5,-6),在 y 轴上求一点 B,使得|AB|=7; (2)求点 P(5,-2,3)关于点 A(2,0,-1)的对称点的坐标.

9.已知 A(1, 2 ? 1) 、 B(2,0, 2) ,在 xOz 平面内的点 M 到 A 点与 B 点等距离,求点 M 的轨迹.

※探究创新 10.点 P 在坐标平面 xOy 内,A 点的坐标为(-1,2,4),问满足条件|PA|=5 的点 P 的轨迹是什么?

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第 36 讲 第四章 圆与方程 复习
¤学习目标:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程;能根据给定直线、圆的方程,判断 直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的 问题;了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置;会推导空间两点间的距离公式;初步了解用代 数方法处理几何问题的思想. ¤例题精讲: 【例 1】设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP ? OQ , 求 m 的值.

【例 2】设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1) ,则直线 AB 的方程是

.

【例 3】长为 2a 的线段 AB 的两端点 A 和 B,分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求线段 AB 中点的轨迹方程.

点评:此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路,先设动点的坐标,再写出题目所满足的几何条件,然后由 所写条件式列出方程,最后化简即得所求轨迹方程.

点评:由已知条件分析得出动点的轨迹,再由轨迹写出方程,这种解法类似于数形结合思想,关键找出图 形的重要特征. 【例 4】已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

点评:本题考查了圆的弦长问题,直线系的知识,进一步考查了参数思想. 解题关键是抓住图形的几何性 质,灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化,推演,达到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.

第 36 练 第四章 圆与方程 复习
※基础达标 1. (06 年江苏卷)圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线方程中有一个是(
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).

A. x-y=0 B. x+y=0 C. x=0 D. y=0 2 2 2. (04 年天津卷)若 P(2, ?1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 ). ). 3. (06 年陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± 2 B.±2 B.± 2 2 D.±4. 4.(06 年重庆卷)以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

).

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 3

5. (06 年湖南卷)圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 ( ). A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2 6. (07 年湖南.文理 11)圆心为 (11) 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程 , .

7.(06 年全国卷Ⅱ)过点 (1, 2) 的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时, 直线 l 的斜率 k= . ※能力提高 8.一圆的圆心在直线 x-y-1=0 上, 与直线 4x+3y+14=0 相切, 在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6, 求圆的方程.

9.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、Q 两点且 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,求 该圆的圆心坐标及半径.

※探究创新 10. 某铝制品厂在边长为 40cm 的正方形铝板上割下四个半径为 20 厘米的圆形 (如图所示的阴影部分) 为 . 节约铝材,该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(接缝用料忽略不计).问: (1)包装盒的最大直径是多少?(精确到 0.01 厘米) (2)画出你设计的剪裁图.

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