重庆八中2013-2014学年高一上学期期中考试试题(数学)


重庆八中 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。 2.答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题 目要求的 (1)集合 U ? {1,2,3,4} , M ? {1,2} , N ? {2,3} ,则 CU ? M (A) {2} (B) {4} (C) {1, 2,3}

N? ?
(D) {1,3, 4}

(2)下列函数中,与函数 y ? x 有相同图象的是 (A) y ?

x2

(B) y ?

? x?

2

(C) y ?

3

x3

(D) y ?

x2 x

(3) “ a ? 0 ”是“ a(a ? 2) ? 0 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (4)函数 y ? 3
x2 ?2 x

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

的单调递增区间为 (B) (??,1)

(A) (??,0)

, ? ?) (C) (1

? ?) (D) (2,

(5)函数 y ? log0.5 (2 x ? 3) 的定义域为

? ?) (A) ( ,

3 2

? ?) (C) [2,
(6)已知 3 ? 2 , log 3 (A)1
x

3 2 3 ? ?) (D) ( , 2) (2, 2
(B) ( , 2]

9 ? y , 则 2 x ? y 的值为 4
(B)2 (C)3 (D)9

(7)已知 a ? log 5 0.3, b ? 50.1, c ? 0.51.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (C) c ? a ? b (B) b ? c ? a (D) a ? c ? b

?x (8)设 0 ? a ? 1 ,在同一直角坐标系中,函数 y ? a 与 y ? loga (? x) 的图象是

第页

1

(9)设 f ( x) 是偶函数,且在 (0, ??) 上是减函数,又 f ( ?1) ? 0 ,则 xf ( x) ? 0 的解集是 (A) (?1,1) (C) (?1,0) (B) (1, ??)

(1, ??)
1 的解集为 2

(D) (??, ?1)

(0,1)

(10)不等式 log 1 ( x 2 ? x) ? x 2 ? x ?
2

? 1? 3 ? ? 1? 3 ? ? 2 ,0 ? ? ? ?1, 2 ? ? ? ? ? ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ? ? ?
(A) ?

? 1? 3 ? ? ? 2 ? ? ? ? 1? 3 ? (D) ? 1, ? ? 2 ? ? ?
(B) ? ??,

? 1? 3 ? , ?? ? ? ? 2 ? ? ?

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上

?3( x ? 0) ? (11)已知 f ( x) ? ?4( x ? 0) ,则 f ? f (?1)? ? _______. ?5( x ? 0) ?
(12)二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0,3] 的最大值为
2

.
2

(13)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?1 ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ?

____ .

x ?1 ( x ? 0) 的值域是 . x ?1 ? ?1( x ? 0) (15)设定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 3 个不同 lg x ( x ? 0) ? ? 2 2 2 的实数解 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? .
(14)函数 f ( x) ? 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分) 已知集合 A ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , B ? x 2a ? x ? a ? 1 .若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

第页

2

(17) (本小题满分 13 分) 解关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 9 .

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果, 他俩商定: y 价 y (元/吨)与采购量 x (吨)之间函数关系的图象如图中的折 A 示(不包含端点 A,但包含端点 C). 8 000 (Ⅰ)求 y 与 x 之间的函数关系式; 4 000 (Ⅱ)已知老王种植水果的成本是 2800 元/吨,那么张经理 少时,老王在这次买卖中所获的利润 w 最大?最大利润是多
0

张经理的采购 线段 ABC 所
B C 20 40

的采购量为多 少? x

(19) (本小题满分 12 分, (I)小问 6 分, (II)小问 6 分) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (Ⅰ)求 f (0) ,并证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数; (Ⅱ)若 f (1) ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? f (8 ? x) ? 4 .

(20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 设函数 f ( x) ? x ? a 1 ? x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 2 对 x ?[?8, ?3] 恒成立,求实数 a 的取值范围.
第页 3

(21) (本题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f ( x) ? log m

x?4 ( x ? 4) ,0 ? m ? 1 . x?4

(Ⅰ)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性,并用定义法证明; (Ⅱ)若存在 ? ? ? ? 4 使得 f ( x ) 在 ?? , ? ? 上的值域为 ?logm m(? ?1),logm m(? ?1)? ,求 m 的取值范围.

重庆八中 2013—2014 学年度(上)半期考试考高一年级

数学试题参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D 9 C 10 A

【 10 】 令 u ? x 2 ? x , 不 等 式 log 1 ( x 2 ? x) ? x 2 ? x ?
2

1 1 ? log 1 u ? u ? . 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 画 函 数 2 2 2

y1 ? log 1 x 和 y2 ? x ?
2

1 1 ? 1? 的图象,由图象可知满足 y1 ? y2 的 x 的范围为 ? 0, ? ,即要求 0 ? u ? x2 ? x ? , 2 2 ? 2?

解得 x ? ?

? 1? 3 ? ? 1? 3 ? ? 2 ,0 ? ? ? ?1, 2 ? ? ,故选 A. ? ? ? ?
13. ? x ? 1
2

二、填空题: 11.3 12.6 【15】由函数 f ( x) ? ?

14. ? ?1,1?

15.200

? ?1( x ? 0) 的图象知,满足 f ( x) ? 1 的 x 有 3 个为 x1 ? ?10 , x2 ? 0 , ? ?lg x ( x ? 0)

x3 ? 10 ;而对任意 u ? 1 ,满足 f ( x) ? u 的 x 均有 2 个. 令 u ? f ( x) ,方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0
? u 2 ? bu ? c ? 0 . 由于方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 3 个不同的实数解,所以 u 2 ? bu ? c ? 0 只能有唯
一解 u ? 1 ,即 f ( x) ? 1 ,所以 x12 ? x2 2 ? x32 ? ? ?10 ? ? 02 ? 102 ? 200 .
2

三、解答题: 【16】解: A ? ? x ?2 ? x ? 1? ...........................(3 分)

A B ? B ? B ? A ,..................................(4 分) 当 2a ? a ? 1 即 a ? 1 时, B ? ? ,满足 B ? A .............(7 分)
当 a ? 1 时,若 B ? A 则 ?

?2a ? ?2 ? ?1 ? a ? 0 ............(12 分) ?a ? 1 ? 1

第页

4

综上, a 的取值范围为 ? ?1,0? 【17】解: x ? 2 ? x ?1 ? 9 ?

?1, ??? ......................(13 分)

? x ? ?2 ??2 ? x ? 1 ?x ? 1 或? 或? .... (6 分) ? ??( x ? 2) ? ( x ? 1) ? 9 ?( x ? 2) ? ( x ? 1) ? 9 ?( x ? 2) ? ( x ? 1) ? 9
解得 ?5 ? x ? ?2 或 ?2 ? x ? 1 或 1 ? x ? 4 ................(12 分) 即原不等式的解集为 ? ?5,4? ............................................(13 分) 【18】解: (Ⅰ)当 0 < x ≤ 20 时,y = 8000......... (2 分)
?20k + b = 8 000 当 20 < x≤40 时,设 BC 满足的函数关系式为 y = kx + b,则?40k + b = 4 000, ?

解得 k = ?200,b = 12 000,∴y = ?200x + 12 000......... (5 分) 所以 y ? ?

(0 ? x ? 20) ?8000 ..................... (6 分) ??200 x ? 12000 (20 ? x ? 40)

(Ⅱ)当 0 < x≤20 时,老王获得的利润为 w = (8000 ? 2800)x =5 200x≤104 000, 此时老王获得的最大利润为 104 000 元........................ (8 分) 当 20 < x≤40 时,老王获得的利润为 w = (?200x + 12 000 ? 2800)x = ?200(x2 ? 46x) = ?200(x ? 23)2 + 105 800, 所以,当 x = 23 时,利润 w 取得最大值,最大值为 105 800 元....... (11 分) 因为 105 800 > 104 000,所以当张经理的采购量为 23 吨时,老王在这次买卖中所获得的利润最大,最 大利润为 105 800 元.................................. (13 分) 【19】解: (Ⅰ)令 x ? y 得 f (0) ? 0 .............................. (2 分) 令 x ? 0 得 , 对 任 意 实 数 y 有 f (? y) ? f (0) ? f ( y) ? ? f ( y) , 故 f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数........................................................... (6 分) (Ⅱ)令 x ? 1, y ? ?1得 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? f (1) ? f (1) ? 4 .............. (8 分)

f ( x) ? f (8 ? x) ? 4 ? f ? x ? (8 ? x)? ? f (2) ? f ? 2x ? 8? ? f (2) ,
由 f ( x ) 是 R 上的增函数知 f ? 2x ? 8? ? f (2) ? 2x ? 8 ? 2 ,解得 x ? ? ??,5? ...(12 分)
2 【20】解: (I) a ? 1 时 f ( x) ? x ? 1 ? x ,令则 x ? 1 ? t ,

5? ? ? 1? 5 则 y ? f ( x) ? ?1 ? t ? ? t ? ? ? t ? ? ? (t ? 0) ,故 y ? ? ??, ? ........... (5 分) 4? ? ? 2? 4
2

2

(II)令 t ? 1 ? x , y ? f ( x) ? ?t ? at ? 1 ,
2

则不等式 f ( x) ? 2 对 x ?[?8, ?3] 恒成立 ? ?t ? at ? 1 ? 2 对 t ? [2,3] 恒成立...(7 分)
2

(法一) : ? a ? t ? 对 t ? [2,3] 恒成立, 令 g (t ) ? t ? , t ? [2,3] ,由鞍性函数图象性质知 g (t ) min ? g (2) ?
第页 5

1 t

1 t

5 , 2

所以 a ? g (t ) min ?
2

5 5? ? 即 a 的取值范围为 ? ??, ? .......................... (12 分) 2 2? ? a . 2 ?a ? 4 5 ? g (2) ? 5 ? 2a ,由 ? ?a? , 2 ? g (t )min ? 5 ? 2a ? 0

(法二) : ? t ? at ? 1 ? 0 对 t ? [2,3] 恒成立, 令 g (t ) ? t 2 ? at ? 1, t ? [2,3] , g (t ) 的对称轴为 t ? 若

a ? 2 即 a ? 4 , g (t )min 2

?4 ? a ? 6 a a a2 ? 若 2 ? ? 3 即 4 ? a ? 6 , g (t ) min ? g ( ) ? 1 ? ,由 ? ? a ?? , a2 2 2 4 g ( t ) ? 1 ? ? 0 min ? ? 4 ?a ? 6 a 若 ? 3 即 a ? 6 , g (t )min ? g (3) ? 10 ? 3a ,由 ? ? a ?? , 2 ? g (t )min ? 10 ? 3a ? 0
5? ? ? ? 【21】解: (I) f ( x ) 是 ? 4, ??? 上的单调减函数......................... (1 分)
下用定义法证明:任取 4 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log m 而 综上, a 的取值范围为 ? ??, ? ...................................... (12 分) 2

8 ? x1 ? x2 ? x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? ? x1 ? 4 ?? x2 ? 4 ? , ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? x1 ? 4?? x2 ? 4? x ? 4 x2 ? 4 x ? 4 x2 ? 4 , 4 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 ,? 1 ? ? 0即 1 ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x ?4 x ?4 又 0 ? m ? 1 ,? log m 1 , ? log m 2 x1 ? 4 x2 ? 4
(II)若 f ( x ) 在 ?? , ? ? 上的值域为 ?logm m(? ?1),logm m(? ?1)? ,

x1 ? 4 x ?4 , ? log m 2 x1 ? 4 x2 ? 4

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x ) 是 ? 4, ??? 上的单调减函数.............. (4 分)

? ?4 ? f ( ? ) ? log m ? log m m( ? ? 1) ? ? ?4 ? 由 f ( x ) 在 ? 4, ??? 上是减函数知 ? , ? ? 4 ? f (? ) ? log ? log m m(? ? 1) m ? ? ?4 ? 2 ? ?m? ? (3m ? 1) ? ? 4(m ? 1) ? 0 2 即? , 即方程 mx ? (3m ?1) x ? 4(m ?1) ? 0 有两个大于 4 的不相等实 2 ? ?m? ? (3m ? 1)? ? 4(m ? 1) ? 0
?0 ? m ? 1 ? ? ? 25m2 ? 22m ? 1 ? 0 ? 11 ? 4 6 ? 根,所以 ? 3m ? 1 ,解得 0 ? m ? ........(12 分) 25 ?4 ?? ? 2m ? ? f (4) ? 24m ? 0

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