高考文科函数与导数解答题题型归纳


函数与导数
题型一、导函数与原函数图象之间的关系 例题 1、如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f?(x)的图象可能是 ( )

例题 2、设 f?(x)是函数 f(x)的导函数,y=f?(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是





题型二、利用导数求解函数的单调性问题 例题 3、(08 全国高考)已知函数 f(x)=x +ax +x+1,a∈R.(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; 2 1 7 (Ⅱ)设函数 f(x)在区间(- ,- )内是减函数,求 a 的取值范围. a ≥ 3 3 4 解:(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+1,判别式△=4(a2-3), (ⅰ)若 或 ,则在 上 f′(x)>0,f(x)是增函数;
3 2



内 f′(x)<0,f(x)是减函数; 上 f′(x)>0,f(x)是增函数。 ,则对所有 x∈R 都有 f′(x)>0,故此时 f(x)在 R 上是增函数; ,则 ,且对所有的 都有 f′(x)>0,故当 时,f(x)在 R 上是增函数。

在 (ⅱ)若 (ⅲ)若

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只有当 因此 当



时,f(x)在 ,②

内是减函数,

,①且

时,由①②解得 a≥2,因此 a 的取值范围是[2,+∞)。

1

例题 4、 (08 年四川)设 x ? 1 和 x ? 2 是函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 1 的两个极值点. ⑴求 a 和 b 的值 ⑵求 f ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)f′(x)=5x4+3ax2+b,

由假设知 f′(1)=5+3a+b=0,f′(2)=24×5+22×3a+b=0,解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 当 因此 f(x)的单调增区间是

; ,

时,f′(x)>0,当 x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)<0, ,f(x)的单调减区间是(-2,-1),(1,2)。

例题 5、(2009 安徽卷文)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

2 ? 1 ? a ln x, a ? 0 , x

w.w.w.k.s. 5.u.c.o.m

(Ⅱ)设 a=3,求 f ( x) 在区间 [1, e ] 上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。 ? 2 ? 3l n 2, e ?
2

? ?

2

2 ? ? 5? 2 e ?

②已知某可导函数在某区间上的单调区间,求参数的取值范围
2

例题 6、 (2010 江西卷文)设函数 f ? x ? ? 6 x ? 3 ? a ? 2 ? x ? 2ax .
3 2

(1)若 f ? x ? 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ? x ? 是 ? ??, ?? ? 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由
分析: ( 1) 先 求 原 函 数 的 导 函 数 , 根 据 导 函 数 在 极 值 点 处 的 值 为 零 建 立 等 式 关 系 , 求 出 参 数 a 即 可 ; ( 2) 根 据 二 次 函 数 的 判 别 式 进 行 判 定 能 否 使 导 函 数 恒 大 于 零 , 如 果 能 就 存 在 , 否 则 就 不 存 在 .

例题 7、 (2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围

? 5 ? a ? ?1

例题 8 、 ( 2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2, 5) ,
2

g ( x) ? ( x ? a ) f ( x ) .
(Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

(Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间.

3

题型三、求函数的极值、最值问题 例题 9、 (2009 北京文)设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 解: (Ⅰ)求导函数,可得 f′(x)=3x2﹣3a ∵曲线 y=f(x)在点(2,f(x) )处在直线 y=8 相切

a=4, b=24

x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? a 是 f ( x) 的极小值点.



,∴

∴a=4,b=24.

(Ⅱ)f′(x)=3(x2﹣4)=3(x+2) (x﹣2) 令 f′(x)>0,可得 x<﹣2 或 x>2; 令 f′(x)<0,可得﹣2<x<2 ∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣2) , (2,+∞) ,单调减区间为(﹣2,2) ∴x=﹣2 是函数 f(x)的极大值点,x=2 是函数 f(x)的极小值点. 例题 10、 (2010 年全国)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1
3 2

4

(Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 f ( x) 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. 1) f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-4x+1)=0, x=2+√5, 2-√5

x>=2+√5 or x<=2-√5, f'(x)>=0,f(x)单调增 2-√5=<x<=2+√5,f'(x)<=0, f(x)单调减 2) 即 f'(x)=0 在(2,3)中有根 delta=4a^2-4>=0--> a>=1 or a<=-1 因为两根的积为 1,因此都需为正根,且一个大于 1,另一个小于 1. 两根和=2a>0--> a>0, 因此 a>1 即(2,3)中只有一根, f'(2)f'(3)<0 (5-4a)(10-6a)<0---> 5/4<a<5/3 综合得: 5/4<a<5/3

例题 11、.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方
3 2

程是 y ? 5 x ? 10 。 (I)求函数 f ( x) 的解析式; f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 量 x 的值.

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极值时对应的自变 3

解: (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……① 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……②
2

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 .所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

……………4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 1 mx 令 g ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? m ? 0 3 3 1 2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3x ? 4 x ? 1 ? m ? 0 有实数解, 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . 3 2 2 ①当 m ? 1时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3 1 1 ②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下表: 3 3 x (??, x1 ) ( x1 , x2 ) x1 x2 ( x2 ? ?)
g ?( x)
g ( x)
+ ↗ 0 极大值 ↘ 0 极小值 + ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值;

5

当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3
与不等式有关的恒成立问题
3 2

题型四

例题 12、已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 与 x ? ? (1)求 a,b 的值 (2)若对 x ?[?1, 2] 都有 f ( x) ?

2 时,都取得极值 3

1 恒成立,求 c 的取值范围 c

例题 13、设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3
在 (2,2a) 是减函数
w.w.w

(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 (1,6) 解:(I)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a), 由 a>1 知,当 x<2 时,f′(x)>0,故 f(x)在区间(-∞,2)是增函数; 当 2<x<2a 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间(2,2a)是减函数; 当 x>2a 时,f′(x)>0,故 f(x)在区间(2a,+∞)是增函数, 综上,当 a>1 时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数. (Ⅱ)由(I)知,当 x≥0 时,f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值,

f(2a)=

(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a





由假设知

,即



解得 1<a<6, 故 a 的取值范围是(1,6).

变式:设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2x ? 5 2

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间 (2) 若在区间 [?1, 2] 上存在实数 x ,使得 f ( x) ? m ? 0 成立,求实数 m 的取值范围。
6

题型五、方程的根及函数的零点问题 ① 方程的根 例题 14、 (2009 江西文)设函数 f ( x) ? x3 ?

9 2 x ? 6x ? a . 2 ? 3 4 5 . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

像如 a ? 2 或 a ?

下。解:
(1)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-3/2)^2-3/4 又∵f'(x)≥m 恒成立,那么只需满足 f'(x)的最小值恒大于等于 m 即可 ∴f'(x)min=-3/4 ∴m 的最大值为-3/4 ∴x∈(-∞,1]∪[2,+∞)时,f'(x)≥0...即 f(x)为增 又∵f(x)=0 有且仅有一个实根,说明与 x 轴只有 1 个交点 f(2)>0....=>2-a>0.....=>a<2 ∴a>2.5 ∴a<2 f(2)<0....=>a>2 (2)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2) 令 f'(x)=0....=>x=1 或 2 x∈(1,2)时,f(x)为减函数

那么就需要满足: f(1)>0....=>2.5-a>0....=>a<2.5 f(1)<0....=>a>2.5

例题 15、 (2006 四川)已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 1, g ? x ? ? f
3

'

? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ' ? x ? 是的导函数

(Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围;
2 (Ⅱ)设 a ? ?m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? 3 只有一个公共点

解: (Ⅰ)由题意,

,令

,-1≤a≤1,

对-1≤a≤1,恒有 g(x)<0,即

,∴

,解得



故 (Ⅱ)

时,对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值,都有 g(x)<0; , 的图象与直线 y=3 只有一个公共点;

①当 m=0 时, ②当 m≠0 时,列表:

7



,又∵f(x)的值域是 R,且在

上单调递增,

∴当 x>|m|时函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点; 当 x<|m|时,恒有 解得 ,由题意得 ;综上,m 的取值范围是 ,即 。 ,

例题 16、 (2008 四川卷) (本小题满分 14 分) 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围

解: (Ⅰ)





x=3 是函数 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

的一个极值点,∴ ,x∈(-1,+∞) ,

,∴a=16;

,令 f′(x)=0,得 x=1,x=3,f′(x)和 f(x)随 x 的 变化情况如下:

∴f(x)的增区间是(-1,1) , (3,+∞) ;减区间是(1,3) 。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f(x) 在( -1 , 1 )上单调递增,在( 3 , + ∞)上单调递增,在( 1 , 3 )上单调递减, , 可据此画出函数 y=f(x)的草图(图略) ,
8



, 又

时,f(x)→-∞;x→+∞时,f(x)→+∞;

由图可知,当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图像有 3 个交点时,b 的取值范围为



例题 17、已知 f ? x ? ? ? x ? 8 x, g ? x ? ? 6 ln x ? m ,问是否存在实数 m 使得 y ? f ? x ? 的图像与 y ? g ? x ? 有且只有三
2

个交点?若存在求出 m ,若不存在说明理由? 解析: (1) 当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, 当 ,即 时,h(t)=f(4)=16 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,

综上,h(t)= (2)函数 y=f(x)的图像与 y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点, 即函数 的图像与 x 的正半轴且只有三个不同的交点

∴ 当 x∈(0,1)时, 当 x=1 或 x=3 时, 当 x∈(3,+∞)时, 当 x=1 或 x=3 时, ∵当 x 充分接近 0 时, 要使函数 ∴ ∴ ,当 x 充分大时, 是增函数; 是减函数; 是增函数;

的图像与 x 的正半轴有三个不同的交点.必须且只需 即当 7<m<15-ln3,所以,存在实数 m 满足题意。

②图像的切线方程 例题 18、 (2010 湖北 本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? 处的切线方程为 y ? 1.
9

1 3 a 2 x ? x ? bx ? c 其中 a>0 .曲线 y ? f ( x) 在点 p(0, f (0)) 3 2

(1) 确定 b, c 的值; (2) 设曲线

y ? f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1 ))及( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过点(0,2).证明:当 x1 ? x2 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ;

(3) 若过点(0,2)可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切 线,求 a 的取值范围.

10

变式、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值
3 2

11

(1) 求函数 f ( x) 的解析式 (2) 若过点 A(1, m)(m ? ?2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围 (1)f'(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f'(1)=f'(-1)=0, 即 3a+2b-3=0 3a-2b-3=0 ,解得 a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x. (4 分) (2)f'(x)=3x2-3=3(x+1) (x-1) , ∵曲线方程为 y=x3-3x, ∴点 A(1,m)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0=x03-3x0. ∵f'(x0)=3(x02-1) ,

∴切线的斜率为 整理得 2x03-3x02+m+3=0. (8 分) ∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 方程 2x03-3x02+m+3=0 有三个实根. 设 g(x0)=2x03-3x02+m+3, 则 g'(x0)=6x02-6x0, 由 g'(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. (12 分) ∴函数 g(x0)=2x03-3x02+m+3 的极值点为 x0=0,x0=1. ∴关于 x0 方程 2x03-3x02+m+3=0 有三个实根的充要条件是 g(1)g(0)<0, 即(m+3) (m+2)<0,解得-3<m<-2. 故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2. 题型六、用导数的方法证明不等式 例题 19、已知 x>0,求证:x>ln(1+x) 例题 20、已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (1)求函数 g ( x) ?

ln x x

ln x 的单调递增区间; x

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n
(x>0) ,∴ 的单调递增区间为(0,e) . ,令 g'(x)>0,得 0<x<e,

解: (1)∵ 故函数

(2)由

,则问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大值.
12



,令



当 x 在区间(0,+∞)内变化时,h'(x) 、h(x)变化情况如下表:

由表知当

时,函数 h(x)有最大值,且最大值为

,因此 k≥



(3)由



,∴



(x≥2) ,







又∵



=1﹣ +

+

+…+

=1﹣ <1,







例题 21、 (2010 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 |

13

例题 22、 (2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。
x 2

(1)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性;a=-1 (2)证明:当 ? ? [0,

?
2

]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2

14

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