高一数学 一元二次不等式解法 重难点解析 人教版


数学 一元二次不等式解法 【重点难点解析】 本节的重点是一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法;难点是解含字母参数的不等式及一元二次 不等式的解的灵活应用. 在学习中,要深入理解和掌握“三个二次”(即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式)的内在联 系:方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)的根是使函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0)的值为零时对应的自变量 x 的值,也是 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标;不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0),ax 2 ? bx ? c ? 0 (a≠0)的解 就是使函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0)的函数值大于零或小于零时相应的 x 的取值范围. 此外在学习中,要注意体会数形结合、函数、方程、转化等数学思想,并能有意识地去运用. 【考点】 一元二次不等式是重点内容,高考中经常涉及.本节学习要求: ①掌握三个二次之间的关系; ②能熟练地解一元二次不等式; ③会解简单的分式方程. 【典型热点考题】 例 1 解下列不等式: (1) 3x 2 ? 7x ? 2 ? 0 (2) ? 6x 2 ? x ? 2 ? 0 (3) 4x 2 ? 4x ? 1 ? 0 (4) x 2 ? 3x ? 5 ? 0 思路分析 解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项系数化为正数; (2)解对应的一元二次方程; (3)根据方程的根,结合不等号方向,得出不等式的解集. 解集情况如下: Δ ? b 2 ? 4ac 二次函数 Δ >0 Δ =0 Δ <0 y ? ax 2 ? bx ? c (a>0)的图象 第 1 页 共 4 页 方程 有两个相异实根 有两个相等实根 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a>0)的根 一元二次不等式 x 1,x 2 (x 1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? ? b 2a 没有实根 {x | x ? x 1,或x ? x 2 } 大于零取两边 ax ? bx ? c ? 0 2 {x | x ? ? b } 2a R (a>0)的解集 一元二次不等式 {x | x 1 ? x ? x 2 } 小于零取中间 ax ? bx ? c ? 0 2 ? ? (a>0)的解集 解: (1)∵ 3x 2 ? 7x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) ∴方程 3x 2 ? 7x ? 2 ? 0 的根是 ∴原不等式解集是 {x | 1 ,2 3 1 ? x ? 2} . 3 (2)原不等式化为 6x 2 ? x ? 2 ? 0 2 1 3 2 2 1 ∴原不等式解集是 {x | x ? ? ,或x ? } . 3 2 ∵⊿>0,方程 6x 2 ? x ? 2 ? 0 的根是 ? , (3)∵ 4x 2 ? 4x ? 1 ? (2x ? 1) 2 ? 0 ∴不等式 4x 2 ? 4x ? 1 ? 0 的解集是 ? . (4)∵Δ <0,方程 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 无实数根 ∴不等式 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的解集是 R. 例 2 解关于 x 的不等式: (1) x 2 ? ax ? 4 ? 0 (a∈R); (2) x 2 ? (a ? )x ? 1 ? 0 (a≠0). 思路分析 解含字母参数的不等式,要注意对字母作科学、合理、有层次的讨论. 解: (1)∵Δ ? a 2 ? 16 1 a 第 2 页 共 4 页

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