陆丰市龙山中学10-11学年高二5月月考(理数)


龙山中学2010-2011学年5月月考试题
高二理科数学
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. a ? b 是 a ? b 的(
3 3



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 根据右边给出的数塔猜测123456 ? 9+8=( ) A .1111110 1 ? 9+2=11 B. 1111111 12 ? 9+3=111 C. 1111112 123 ? 9+4=1111 D. 1111113 1234 ? 9+5=11111
? 3.某纺织厂的一个车间有技术工人 m 名( m ? N ),编号分别为1、2、3、??、 m ,有 n

? a 台( n ? N )织布机,编号分别为1、2、3、??、 n ,定义记号 i j :若第 i 名工人操作了

a ?1 a ? 0 a ? a 42 ? a 43 ? ? ? ? a 4 n ? 3 第 j 号织布机,规定 i j ,否则 i j ,则等式 4 1 的实际

意义是( ) A、第4名工人操作了3台织布机; C、第3名工人操作了4台织布机;
y ? cos 2 x 在点 (

B、第4名工人操作了 n 台织布机; D、第3名工人操作了 n 台织布机.

?
4

,0 )

4.函数 A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0
(x ? 1
3

处的切线方程是( B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0



)

12

5.

x

展开式中的常数项为( B.1320
a, b ? ad ? bc

) C.-220
z ,? 2 i 1 ? 0

A.-1320

D.220
_

6. 定义运算

c, d

,则符合条件

1 ? i ,? i 1

的复数 z 对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 * 10 10 10 11 7.设m∈N ,F(m)表示log2m的整数部分,则F(2 +1)+F(2 +2)+F(2 +3)+?+F(2 )的 值为( ) 10 10 10 10 A.10×2 B.10×2 +1 C.10×2 +2 D.10×2 -1
y ? 2x
2

8.已知命题

p

y ? ?

1 2 ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,

:抛物线

的准线方程为

1

则 f ( x ) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是( A. p ? q B. p ? ( ? q ) C. ( ? p ) ? ( ? q )

) D.
p ? q

二、填空题:(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
x
2

9.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 m
2

?

y

2

?1

n

表示焦点在x轴上的椭圆有



10.已知随机变量X服从正态分布 N ( 2 , ? ) ,且 P (1 ? X ? 3) =0.7,则 P ( X ? 1) ? 11.曲线 y ? x ? 2 x 与直线 x ? ? 1 , x ? 1 及 x 轴所围成图形的面积为
2

.

12. 将一颗骰子先后抛掷两次,在朝上一面数字之和不大于6的条件下,两次都为奇数的概 率是 . 13.

?1 ? x ? ?1 ? 2 x ?
3

4

展开式中 x 的系数为___

2

_____.

14.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号、2号、?、19号、20 号,若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较 小的人在一组,两个编号较大的人在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的 选取种数是 三、解答题: (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分12分)
cos B ? 3 5 .

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为 (1) 若 b ? 4 ,求 s in A 的值; (2) 若△ABC的面积
S ?ABC ? 4

a, b, c,

且a ? 2 ,

,求 b , c 的值.

16.(本小题满分14分) 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=4,点D是AB的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求
V B ? B CD
1

的体积;
D ? C B1 ? B

(3)求二面角

的平面角的余弦值.

2

17.(本小题满分12分) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一 次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经 过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0 .5 , 0 .6 , 0 .4 ,经过第二次烧 制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0 .6 , 0 .5 , 0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望.

18.(本小题满分14分)
a1 ? 2 3 ,

已知数列

{a n }

a n ?1 ?

2an an ? 1

的首项
{ 1 an

, n ? 1, 2, 3, ?.

? 1}

(1)证明:数列
{ n an }

是等比数列;

(2)求数列

的前 n 项和

Sn



19.(本小题满分14分) 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线
y ? 1 4 x 焦点 , 离心率为
2

2 5 5

.

(1) 求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若
???? ???? ???? ??? ? M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F ,



?1 ? ? 2

的值.

20.(本小题满分14分)
f (x) ? x
2

, g ( x ) ? 2 a ln x ( e

已知函数

e

为自然对数的底数)

(1)求 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间,若 F ( x ) 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数 a ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有 共同的切线?若存在, 求出 a 的值, 以及公共点坐标和公切线方程; 若不存在, 请说明理由.

3

参考答案
一、选择题答案栏(40分) 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 C 6 A 7 B 8 D

二、填空题(30分) 9 6 10.
2

0.15

11

2

12. 5

13. 3

14.

21

三、解答题(80分) 15.(本小题满分12分)
3

解:(1) ∵cosB= 5 >0,且0<B<π ,
1 ? cos B ?
2

4 5 .

∴sinB=
a ?

??2分

b s in B ,

由正弦定理得 s in A
2? ? 4

??4分

s in A ?

a s in B b

5 ? 2 4 5 .

??6分

1

(2) ∵S△ABC= 2 acsinB=4,
1 ?2?c? 4 5
2 2

??8分

? 4

∴2


2

∴c=5.

??10分

由余弦定理得b =a +c -2accosB,
b ? a + c ? 2accosB ?
2 2

2 + 5 ? 2?2?5?
2 2

3 5

?

17



.??12分

16.(1)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3, BC=4,AB=5,
? AC ? BC
2 2

? AB

2

∴ AC⊥BC, 又 AC⊥C1 C, C 1 C ? BC ? C ∴ AC⊥平面BCC1;

????2分

4

∴ AC⊥BC1
V B ? B CD ? V B
1

????4分
1 1 1 ? 4? ? ? 3? 4 ? 4 ? 3 2 2 ????8分

(2)

1

? BCD

(3)解法一:取 B C 中点 E ,过 D 作

D F ? B1C

于 F ,连接 E F 。

? D 是 A B 中点,

∴ DE / / AC
BB C C ∴ D E ? 平面 1 1 ,又 EF ? 平面 BB 1 C 1 C

∴ DE ? EF ∴ ∴ ∴
B1C ? D E B1C ?

,又 DE ? DF ? D
A1

C1

平面 D E F
C

F

B1 C ? E F

D

∴ ? E F D 是二面角

D ? B1C ? B

的平面角????10分

A

? AC=3,BC=4,AA1=4,
3
DE ? 3 2 , EF ?

ta n ? E F D ?

DE EF

?



2



2 ? 3 2 4 2



cos ? E F D ?

2 34 17

2 34

∴二面角

D ? B1C ? B

的余弦值为 1 7

????14分

解法二: 以 坐标系,

C A、 C B 、 C C 1

分别为 x、 y、 z 轴建立如图所示空间直角

? AC=3,BC=4,AA1=4,
3 D ( ,,) 2 0 B (0,, ) 4 4 0 0 2 ∴ C (0,,) , , 1 , ???? 3 C D ? ( ,, ) 2 0 2 ∴ ,

???? C B1 ? (0,, ) 4 4
C1

z

平面

C B B1C 1

的法向量

?? n1 ? (1,,) 0 0



A1

5
A x

C D

设平面 则
?? n1

D B1C

的法向量

?? ? n 2 ? ( x 0, y 0, 1) ?


D ? C B1 ? B



?? ? n2

的夹角的补角的大小就是二面角
4 3

的大小

?? ???? ? ? n2 ? C D ? 0 ? ?? ? ? ? ?? ???? n2 ? (? ? n ? C B1 ? 0 则由 ? 2 解得 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 ?? ? ? ? c o s ? n1, 2 ? ? ?? n | n1 | ? | n 2 |

, 1 , 1) ?

?12分
? ? 2 34 17
2 34

4 34

,???13分

∴二面角

D ? B1C ? B

的余弦值为 1 7

????14分
A1

17.解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
P ( E ) ? P ( A1 ?A 2 ?A3 ) ? P ( A1 ?A 2 ?A3 ) ? P ( A1 ?A 2 ?A3 )



A2



A3



? 0 .5 ? 0 .4 ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 .6 ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 .4 ? 0 .4 ? 0 .3 8 .????6分

(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0 .3 ,
0 所以 ? ~ B (3,.3) , ???10分

故 E ? ? n p ? 3 ? 0 .3 ? 0 .9 . ?12分

解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A, B, C ,则
P ( A ) ? P ( B ) ? P ( C ) ? 0 .3
3


P ( ? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0 .3) ? 0 .3 ? 0 .4 4 1
2

所以 P (? ? 0 ) ? (1 ? 0 .3) ? 0 .3 4 3 ,
P (? ? 2 ) ? 3 ? 0 .3 ? 0 .7 ? 0 .1 8 9
2





P (? ? 3) ? 0 .3 ? 0 .0 2 7
3



??10分

于是, E (? ) ? 1 ? 0 .4 4 1 ? 2 ? 0 .1 8 9 ? 3 ? 0 .0 2 7 ? 0 .9 .
a n ?1 ? 2an an ? 1 1 1 ? an ? 1 2an
2

????12分
? 1 ? 1

?

1 2

18.解:(Ⅰ)?
1 ?1 ? 1

,?

a n ?1

2 an 1 2



????2分

(

? 1)

?

a n ?1 1

2 an

,又
1

a1 ?

1

?1 ?

3 ,? a 1 1



????5分

{

? 1}

? 数列 a n

是以为 2 首项, 2 为公比的等比数列.????6分

6

1

?1 ?

1

?

1
n ?1

?

1 2
n

1

?

1 2
n

?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
n ? n 2
1 2 1 2
2

a n ?1

2 2

,即

an



? an
Tn ?

n

?n

.??8分
? 2 2
2

?

3 2
3

?

?

n 2 ,①
n



?
?

1

则2

Tn ?

?

2 2
3

?

n ?1 2
n

? 2

n
n ?1

?

,② ?????. 10分
1 (1 ? 1? 1 2 1 2
n ( n ? 1) 2
n

1

由① ? ②得
Tn ? 2 ?

2

Tn ?

1 2

?

1 2
2

?
?

1 2
n

? 2

n
n ?1

) ? 2

? 2

n
n ?1

? 1?

1 2
n

? 2

n
n ?1

?
?n ?

,?12分

1 2
n ?1

?

?

n 2 .又 1 ? 2 ? 3 ? ?
n


? n ?n?4
2

????13分
? n?2 2
n

{

n

}

? 数列 a n 的前 n 项和

Sn ? 2 ?

2?n 2
2 2
n

?

n ( n ? 1) 2

2

.???14分

x

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

19.解: (Ⅰ) 解:设椭圆C的方程 a
2

??1分 ??2分 ??3分

抛物线方程化为x =4y,其焦点为(0,1) 则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1
e ? c a ? a ?b
2 2



a

2

?

2 5 5
x
2

,? a

2

? 5,

? y

2

?1

所以椭圆C的标准方程为 5 (Ⅱ)证明:易求出椭圆C的右焦点F(2,0), 设
A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), M ( 0 , y 0 )

??6分 ??7分

,显然直线l的斜率存在,
x
2

y ? k ( x ? 2 ), 代入方程

? y

2

?1

设直线l的方程为 得
(1 ? 5 k ) x
2 2

5
2 2

并整理, ??9分

? 20 k x ? 20 k
2 2

?5 ? 0
2

? x1 ? x 2 ?

20 k

1 ? 5k

, x1 x 2 ?

20 k

?5
2

1 ? 5k

??10分
7

??? ??? 又 , M A ? ( x 1 , y 1 ? y 0 ), M B ? ( x 2 , y 2 ? y 0 ), ?? ?? A F ? ( 2 ? x1 , ? y 1 ), B F ? ( 2 ? x 2 , ? y 2 ), ??? ?? ??? ?? 而 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F , 即 ( x1 ? 0 , y 1 ? y 0 ) ? ? 1 ( 2 ? x1 , ? y 1 ), ( x 2 ? 0 , y 2 ? y 0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 ) ? ?1 ? x1 2 ? x1 , ?2 ? x1 2 ? x1 x2 2 ? x2 ? , x2 2 ? x2 2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 4 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? ? ? ? 12分

所 以 ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 14分

?

? ?10 ? ? ? ? 14分

F '( x ) ? f '( x ) ? g '( x ) ?

2x e

?

2a x

?

2( x ? ea )
2

( x ? 0)

20.解:(1)
? ①当 a ? 0时 , F ( x ) ? 0 恒成立 F ( x )在 (0 , ? ? )

ex

上是增函数, F ( x ) 只有一个单调递增区间 (0, ? ? ) ,没有最值?3分
F (x) ? 2( x ? ea ( x ? ex
ea )

ea )

②当 a ? 0 时, 若0 ? x ? 若x ?
?当x ?

( x ? 0)

, 上单调递减;

e a ,则 F ? ( x ) ? 0 , F ( x ) 在 (0 ,

e a ,则 F ? ( x ) ? 0 , F ( x ) 在 ( e a , ? ? ) 上单调递增,

e a 时, F ( x ) 有极小值,也是最小值,



F ( x ) m in ? F ( e a ) ? a ? 2 a ln

e a ? ? a ln a

????6分

所以当 a ? 0 时, F ( x ) 的单调递减区间为 (0 , e a ) 单调递增区间为 ( e a , ? ? ) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值????7分 (2)方法一,若 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x ) 有且只有一个零点???8分 由(1)的结论可知
F ( x ) m in ? ? a ln a ? 0 得 a ? 1
x
2

????10分

F (x) ? f (x) ? g (x) ?

? 2 ln x ? 0

此时,

e

F ( x ) m in ? F ( e ) ? 0

? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x ) 与 g ( x )

的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)

8

? f ?( e ) ? g ?( e ) ?

2 e ? f ( x ) 与 g ( x ) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,
y ? 2 e x ?1


y ?1 ? 2 e (x ?

e)

其方程为

,即

????13分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点
y ? 2 e x ? 1.

处的公切线方程为

????14分

(x , y ) 方法二:设 f ( x ) 与 g ( x ) 图象的公共点坐标为 0 0 ,
? x0 ? 2 a ln x 0 ? ? e ? 2 x0 2a ? ? ? e x0 ?
2

根据题意得
a ?

? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? ? ' ' ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ?



x0

2

由②得

e ,代入①得

ln x 0 ?

1 2

,

? x0 ?

e

从而 a ? 1 ????10分
e 时, F ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? g ( x )

此时由(1)可知 因此除
x0 ? e

F ( x ) m in ? F ( e ) ? 0 ? 当 x ? 0 且 x ?
x0

外,再没有其它

,使

f ( x0 ) ? g ( x0 )

????13分

故存在 a ? 1 ,使 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的
y ? 2 e x ?1

切线,易求得公共点坐标为 ( e ,1) ,公切线方程为

????14 分

9


相关文档

更多相关文档

广东省陆丰市龙山中学10-11学年高二下学期5月月考(数学文)
广东省陆丰市龙山中学10-11学年高二下学期5月月考(数学理)
陆丰市龙山中学10-11学年高二5月月考(理综)
陆丰市龙山中学10-11学年高二5月月考(语文)缺答案
陆丰市龙山中学10-11学年高二5月月考(文数)
广东省陆丰东海中学10-11学年高二上学期期末考试(数学理)
广东省深圳高级中学10-11学年高二上学期期中考试(理数)
广东省龙山中学10-11学年高二语文下学期4月月考
汕头市六都中学10-11学年高二下学期期中考试(理数)
陆丰市龙山中学期末考试高二地理卷
稀土基础知识3
光阴似箭
广东省陆丰市龙山中学高二级第一学期周考数学试卷
龙山中学数学(高二理科)期末考试试卷
2011高考数学文科数列真题汇编
电脑版