2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考纲要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x, y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的__________. 2.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax+By+C=0 分成三类: (1)满足 Ax+By+C__________0 的点; (2)满足 Ax+By+C__________0 的点; (3)满足 Ax+By+C__________0 的点. 3.坐标平面内的点与方程式 Ax+By+C=0 的关系 (1)点在直线 l 上?点的坐标使 Ax+By+C=0. (2)直线 l 同一侧的点?点的坐标使式子 Ax+By+C 值具有__________的符号. (3)点 M,N 在直线 l 两侧?M,N 两点的坐标使式子 Ax+By+C 值的符号__________, 即一侧都__________,另一侧都__________. (4) 二元一次不等式所表示区域的确定方法.在直线 l 的某一侧取一特殊点,检测其 __________是否满足二元一次不等式,如果满足,则这点__________区域就是所求的区域; 否则 l 的__________就是所求的区域. 4.线性规划中的基本概念 名称 定义 目标函数 欲求__________的函数,叫做目标函数 约束条件 目标 函数中 的__________要满足的不等式组 线性目标函 若目标函数是关于变量的__________函数,则称为线性目标函 数 数 线性约束条 如果约束条件是关于变量的__________不等式(或等式),则称 件 为线性约束条件 可行解 满足线性约束条件的解__________称为可行解 可行域 所有可行解组成的__________叫做可行域 最优解 使目标函数达到__________或__________的点的坐标 线性规划问 在线性约束条件下,求线性目标函数的__________或 题 __________问题
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1.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是(

).

? ?0≤y≤1 A.? ?2x-y+2≤0 ?

? ?y≤1 B.? ?2x-y+2≥0 ?

0≤y≤1 ? ? C.?2x-y+2≥0 ? ?x≤0

y≤1 ? ? D.?x≤0 ? ?2x-y+2≤0

2. 已知点(-3, -1)和(4, -6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围是( ). A .(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) ? ?x+y-1<0, 2 3.下面给出的四个点中,到直线 x-y+1=0 的距离为 ,且位于? 表示 2 ? ?x-y+1>0 的平面区域内的点是( A.(1,1) C.(-1,-1) ). B.(-1,1) D.(1,-1) ).

x≥0, ? ? 4.(2012 安徽高考)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, 则 z=x-y 的最小值是( ? ?2x+y≤3, A.-3 3 C. 2 B.0 D.3

x+3y-3≤0, ? ? 5.若实数 x,y 满足?x≥0, ? ?y≥0, y+2 = 的取值范围是__________. x-1

则该不等式组表示的区域面积为__________,z

一、二元一次不等式(组)表示平面区域 x<3, ? ?2y≥x, 【例 1】(1)画出不等式组? 3x+2y≥6, ? ?3y<x+9

表示的平面区 域;

(2)如图,在△ABC 中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出△ABC 区域所表示的二元一次 不等式组.

方法提炼 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试 点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点. 请做演练巩固提升 3 二、求目标函数的最值

? ?x+2y≤12, 【例 2-1】(2012 四川高考)若变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤12, x≥0, ? ?y≥0,
x-y≥-3,

则 z=3x+4y

的最大值是( ). A.12 B.26 C.28 D.33 【例 2-2】一元二次方程 x2+ax+2b=0(a,b∈R)有两个根,一个根在区间(0,1)内,另 一个根在区间(1,2)内,求: (1)点(a,b)对应的区域的面积; b-2 (2) 的取值范围. a-1 方法提炼 求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行域,令目标函数等于 0,将其对 应的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解. z z 0, ?,z=b·=b×(线性目标函数在 y 提醒:(1)线性目标函数 z=ax+by 与 y 轴交点为? b ? ? b 轴上的截距).故对 b 的符号一定要注意:当 b>0 时,当直线过可行域且在 y 轴上的截距最 大时,z 值最大,在 y 轴上的截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,当直线过可行域且在 y 轴 上的截距 最大时,z 值最小,在 y 轴上的截距最小时,z 值最大. (2)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值,最 优解一般就是多边形的某个顶点. 请做演练巩固提升 2,4 三、线性规划的实际应用 【例 3】某玩具生产公司每天计划 生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一 个卫兵玩具需 5 分钟,生产一个骑兵玩具需 7 分钟,生产一个伞兵玩具需 4 分钟,已知总生 产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵玩具可获利润 5 元,生产一个骑兵玩具可获利润 6 元,生产一个伞兵玩具可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵玩具个数 x 与骑兵玩具个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? 方法提炼 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成 表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题,再按如下 步骤完成: (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点 的那一条直线 l; (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; (3)求值——解方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值. 请做演练巩固提升 6
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数形结合求解非线性目标函数的最值问题 x-4y+3≤0, ? ? 【典例】(12 分)变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.

y-0 分析:(x,y)是可行域内的点.(1)z= 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线的斜率.(2)x2 x-0 +y2 可以理解为点(x,y)与点(0,0)连线距离的平方.(3)x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 可以理解为点(x,y)与(-3,2)的距离的平方.结合图形确定 最值. x-4y+3≤0, ? ? 规范解答:由约束条件?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1 作出(x,y)的可行域如图所示.

? ?x=1, 由? ?3x+5y-25=0, ? 22 1, ? . 解得 A? 5? ? ? ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2).(4 分) ? ?3x+5y-25=0 y y-0 (1)∵z= = , x x-0 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. 2 观察图形可知 zmin=kOB= .(6 分) 5 2 2 (2)z=x +y 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.(9 分) (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2 的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的 距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中, dmin=1-(-3)=4,dmax= ?-3-5?2+?2-2?2=8. ∴16≤z≤64.(12 分) 答题指导:(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏数形结合的应用意识,不 知道从其几何意义入手解题.

1.(2012 课标全国高考)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1, 3),顶点 C 在第一象限, 若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( ). A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3)

x-y≤10, ? ? 2.(2012 辽宁高考)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, 则 2x+3y 的最大值为( ? ?0≤y≤15, A.20 B.35 C.45 D.55 x≥0, ? ? 3.不等式组?y≥0, ? ?x+y≤1

).

所表示的平面区域的面积为__________.

y-2≤0, ? ? 4.已知 x,y 满足?x+3≥0, ? ?x-y-1≤0, y≥1, ? ? 5.已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m,
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则 x2+y2 的最大值为________.

如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m

等于__________. 6.已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件,已知生产每万件甲种 配件要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每万件乙种配件要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销 售每件甲配件可获得利润 5 元,每件乙配件可获得利润 3 元.已知该企业在一年内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原料不超过 18 吨, 那么该企业在一年内可获得的最大利润是________.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.解集 2.(1)= (2)> (3)< 3.(2)相同 (3)相反 大于 0 小于 0 (4)坐标 所在的 另一侧 4.最大值或最小值 变量 x,y 一次 一次 (x,y) 集合 最大值 最小值 最大 值 最小值 基础自测 1.C 解析:由图可看出,阴影部分满足 0≤y≤1,-1≤x≤0. ∵点(0,0)在直线 2x-y+2=0 的下方,且(0,0)点坐标代入方程左端有 2×0-0+2>0, ∴阴影部分符合 2x-y+2≥0. 2.B 解析:∵点(-3,-1)和(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧, 则(-9+2-a)(12+12-a)<0, 即(a+7)(a-24)<0. ∴-7<a<24. ?x+y-1<0, ? 3.C 解析:经验证(1,1),(-1,1)不在? 所表示的平面区域内,而(-1, ?x-y+1>0 ?
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? ?x+y-1<0, -1),(1,-1)满足? ?x-y+1>0, ?

|-1+1+1| 2 又点(-1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= = ,(1,-1)到直线 x-y+ 2 2 |1-(-1)+1| 3 2 1=0 的距离 d= = , 2 2 ∴(-1,-1)满足条件. 4.A 解析:作出可行域如图所示,

令 z=0,得 l0:x-y=0,平移 l0,当 l0 过点 A(0,3)时满足 z 最小,此时 zmin=0-3=- 3. 3 5. 2 (-∞,-2]∪[1,+∞) 解析:在坐标系中画出可行域,如下图阴影部分所示,

1 3 S= ×3×1= , 2 2

y+2 即为可行域中的点与点 P(1,-2)连线的斜率, x-1 0-(-2) 0-(-2) ∴z≥ =1 或 z≤ =-2. 3-1 0-1 考点探究突破 【例 1】 解:(1)不等式 x<3 表示 x=3 左侧点的集合. 不等式 2y≥x 表示 x-2y=0 上及其左上方点的集合. 不等式 3x+2y≥6 表示直线 3x+2y-6=0 上及其右上方点的集合. 不等式 3y<x+9 表示直线 3y-x-9=0 右下方点的集合. 综上可得:不等式组表示的平面区域如图所示. z=

(2)由两点式得直线 AB,BC,CA 的方程并化简为: 直线 AB:x+2y-2=0, 直线 BC:x-y+4=0, 直线 CA:5x-2y+2=0. ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不 x+2y-2≥0, ? ? 等式组为?x-y+4≥0, ? ?5x-2y+2≤0. 【例 2-1】 C 解析:作出可行域如图五边形 OABCD 边界及其内部,作直线 l0:3x +4y=0,平移直线 l0 经可行域内点 B 时,z 取最大值. ?x+2y=12, ? 由? 得 B(4,4),于是 zmax=3×4+4×4=28,故选 C. ? ?2x+y=12,

【例 2-2】 解:方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是: 函数 y=f(x)=x2+ax+2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内, 由此可得不 b>0, f(0)>0, ? ? ? ? 等式组?f(1)<0, ??a+2b+1<0, ? ? ?f(2)>0 ?a+b+2>0.
? ?a+2b+1=0, 由? 解得 A (-3,1). ?a+b+2=0, ?

? ?a+b+2=0, 由? 解得 B(-2,0). ?b=0, ? ? ?a+2b+1=0, 由? 解得 C(-1,0), ? ?b=0, ∴在如图所示的 aOb 坐标平面内, 满足约束条件的点(a, b)对应的平面区域为△ABC( 不 包括边界).

1 1 (1)△ABC 的面积为 S△ABC= ×|BC|×h= (h 为 A 到 a 轴的距离). 2 2 b-2 (2) 的几何意义是点(a,b)和点 D(1,2)连线的斜率. a-1 2-1 1 2-0 ∵kAD= = ,k = =1, 1+3 4 CD 1+1 b-2 由图可知 kAD< <k , a-1 CD b-2 ?1 ? 1 b-2 ∴ < <1,即 ∈ ,1 . 4 a-1 a-1 ?4 ? 【例 3】 解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. (2)约束条件为 5x+7y+4(100-x-y)≤600, ? ? ?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0, x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0. 目标函数为 w=2x+3y+300.如图所示,作出可行域.

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值. ?x+3y=200, ?x=50, ? ? 由? 得? ?x+y=100, ?y=50, ? ? 最优解为 A(50,50), 所以 wmax=550 元. 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元.

演练巩固提升 1.A 解析:由顶点 C 在第一象限且与 A,B 构成正三角形可求得 点 C 坐标为(1+ 3, 2),将目标函数化为斜截式为 y=x+z,结合图形可知当 y=x+z 过点 C 时 z 取到最小值, 此时 zmin=1- 3,当 y=x+z 过点 B 时 z 取到最大值,此时 zmax=2,综合可知 z 的取值范 围为(1- 3,2). 2.D 解析:作出可行域如图所示.

2 1 令 z=2x+3y,则 y=- x+ z,要使 z 取得最大值, 3 3 2 1 2 则需求直线 y=- x+ z 在 y 轴上的截距的最大值,移动直线 l0:y=- x,可知当 l0 3 3 3 过点 C(5,15)时,z 取最大值,且 zmax=2×5+3×15=55,于是 2x+3y 的最 大值为 55.故选 D. 1 3. 2 x≥0, ? ? 解析:满足?y≥0, ? ?x+y≤1 的点(x,y)的可行域如图所示,

1 1 ∴S△AOB= ×1×1= . 2 2 4.25 解析:作出如图所示的可行域.

x2+y2 表示可行域内的 点到原点的距离的平方, 易知在点 A(-3, -4)处取最大值(-3)2 2 +(-4) =25. 5.5 解析:画出可行域(如图中阴影部分所示).

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由于 z=x-y,所以 y=x-z,z 值越小,直线截距越大,因此当 z 取得最小值-1 时, 其方程为 y=x+1. ?y=-x+m, ? m+1 2m-1? 由方程组? 解得 A 点的坐标为? ? 3 , 3 ?,代入直线方程 y=x+1, ?y=2x-1, ? 得 m=5. 6.27 万元 解析:设生产甲种配件 x 万件,生产乙种配件 y 万件,则有关系: A 原料 B 原料 3x 2x 甲种配件 x 万件 y 3y 乙种配件 y 万件 x>0, ? ?y>0, 有? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,

(x,y∈N*)目标函数 z=5x+3y.

13 ? 如图所示,作出可行域,求出可行域边界上各端点的坐标,A? ? 3 ,0?,B(0,6),C(3,4).

由图形可知,目标函数在点 C(3,4)处取得最大值,最大值为 z=5×3+3×4=27.


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