1 数列1


§1

数列

第 1 课时 【课题名称】 :§1-1 数列的基本概念 【学习目标】 : 1 通过学习使学生理解和掌握数列的有关概念; 2 通过学习使学生不仅能够根据数列的通项公式判定某一个数是否是该数列中的一项;而 且还能够根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式;依据通项公式是给出数列的主要 方法。 3 进一步了解递推公式也是给出数列的一种方法之一,并能够利用给出的递推公式写出数 列的前几项。 4 对于某些特殊的数列,能够根据前几项写出它的通项公式。 【实例分析】 : 认真阅读教材实例,然后回答如下的问题: 1 你发现实例有何特点?(都是由数组成;而且具有一定的次序) 2 通过阅读教材我们了解到我们将要学习一个数学新概念是什么?能够举出实例吗? 【抽象概括】 : 一、数列的定义 按照一定的次序排列的一列数叫做数列;除了课本教材中给出的几个实例外,我们还 能举出许多许多…,如 【示例 1】我们班的学号由小到大排成的一列数:1,2,3,4,…35,…,43. 【示例 2】从 1984---2008 年,我国体育健儿共参加了 7 次奥运会,获得金牌数排成一列: 15,5,16,16,28,32,51 【示例 3】在某次大型活动中,主办方为加大保洁力度,在 1 千米长的路段上从起点开始 每隔 10 米放置一个垃圾桶,由近及远各垃圾桶距起点的距离排成一列数: 0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,…,1000 【示例 4】某种放射性物质不断演变为其他的物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,假设这种物质最初的质量为 1,则这种物质各年开始的剩留量排成一列数 2 3 n-1 1,0.84,0.84 ,0.84 ,…,0.84 数列中的每一个数都叫这个数列的项;各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…;比如,上述示例 1 的首项为 1 ,示例 2 的第 3 项为 16 ,实例 4 的 n-1 第 n 项为 0.84 . [注意]: 1 数列中的数是按照一定的次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列的 次序不同,那么它们就是不同的数列。 例如:数列 4,5,6,7,8,9,10 与数列 10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列。 2 在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中是可 以重复出现。 例如:数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…, 二、数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,,a3,a4,…,an,…,也可以简记作{ an }. 例如:正整数 1,2,3,4,5,…,的倒数排成一列数: 1 ,

1 1 1 , ,…, ,… 2 3 n
1

简记作{

1 }. n

数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号。 [注意]: 这里的{ an }与 an 是不同的概念,前者表示数列 a1 , a2 , a3 , a4 ,…, an ,…, 而后者却只表示这个数列的第 n 项。 三、数列的通项公式 数列的第 n 项 an 也叫数列的通项,如果数列{ an }的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系 可以用一个公式 an = f ( n) 来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 数列的通项 公式就是相应函数的解析式。 [注意]: 1 数列的通项公式实际上就是一个以正整数或它的有限子集为定义域的函数表达式。 2 如果知道了数列的通项公式,那么依次用 1、2、3、…去代替公式中的 n 就可以求出 这个数列中的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中某的一项。 3 每一个数列的项都与它的项数存在着一一对应的关系。 4 与所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式。 5 有的数列的通项公式,在表达形式上不一定是唯一的。如数列:1 , - 1 ,1 , - 1 ,… 它的表达式可以写成 an ? (?1) n?1 ,还可以写成其他的形式。 6 在给出的某数列的前几项写出数列的通项公式是不唯一的。 四、数列的递推公式 如果已知数列{ an }的第一项 a1(或前几项),并且数列的任一项 an 与它的前一项 an-1 (或前几项)之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。 五、数列的前 n 项和与通项 an 间关系 对于数列{ an } , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an 叫作这个数列的前项和,记作 S n ;对于一 个数列来讲其 S n 与 an 间的关系为:

an ? {

S1 (n ? 1) S n ? S n ?1 (n ? 2)

【思考与复习】 : 1、 怎样理解数列是一种特殊的函数?其特殊性又表现在哪儿? 2、 对于一个数列,有几种给出的方法?

2

第 2 课时 【课题名称】 :§1-1 数列的基本概念 【学习目标】 : 1 通过学习使学生理解和掌握数列的有关概念; 2 通过学习使学生不仅能够根据数列的通项公式判定某一个数是否是该数列中的一项;而 且还能够根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式;依据通项公式是给出数列的主要 方法。 3 进一步了解递推公式也是给出数列的一种方法之一,并能够利用给出的递推公式写出数 列的前几项。 4 对于某些特殊的数列,能够根据前几项写出它的通项公式。 【复习与导入】 : 上节课我们学习了数列的基本概念,现在我们来回顾一下有关的概念: 1、 数列;2、数列的项;3、数列的通项公式; 【典例精析】 : 【例1】 根据下列数列的通项公式,求出它的前 5 项; ① an=

n n?2

② an=(-1) n
n

③ an=(-1) cos

n

n? 4

解:① 在数列的通项公式中依次取 n ? 1,2,3,4,5 得到数列的前 5 项为:

1 1 3 2 5 , , , , ; 3 2 5 3 7
② 在数列的通项公式中依次取 n ? 1,2,3,4,5 得到数列的前 5 项为:

-1, 2 , - 3 ,

4 , -5 ,

③ ③在数列的通项公式中依次取 n ? 1,2,3,4,5 得到数列的前 5 项为:

-

2 2 2 ,0 , ,- 1 , , 2 2 2

【例2】 写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别等于下列各数; ① 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,… ② 1 , 2 , 4 , 8 ,…③ 9 , 99 , 999 , 9999 ,… ④ 2 , 4 , 6 , 8 ,… ⑤ 0 , 2 , 0 , 2 ,… 解:①观察数列的前几项变化规律,可得到数列的一个通项公式为: an ? 2n ? 1 ②观察数列的前几项变化规律,可得到数列的一个通项公式为: an ? 2 n?1 ③由于数列的前 4 项可以改写成: 10 - 1 , 10 - 1 , 10 - 1 , 10 - 1 ,所以它的 一个通项公式为: an ? 10n ? 1 ④观察数列的前几项变化规律,可得到数列的一个通项公式为: an ? 2n ⑤观察数列的前几项变化规律,可得到数列的一个通项公式为: an ? 1 ? (?1) n
2 3 4

3

【例 3】已知数列{ an }的首项 a1 ? 1 ,以后各项分别由公式 an ? 1 + 数列的前 5 项 解:∵ a1 ? 1 ∴ a2 ? 1 ?

1 a n ?1

给出;写出该

1 ? 1?1 ? 2 ; a1

a3 ? 1 ?

1 1 3 ? 1? ? ; a2 2 2

a4? 1?

1 2 5 1 3 8 ? 1 ? ? ; a5 ? 1 ? ? 1? ? ; a3 3 3 a4 5 5

【例 4】已知数列{ an }满足 a1 ? 1 , an?1 ? pan ? q 且 a2 ? 3 , a4 ? 15 ,求实数 p、q 的 值。 解:由已知条件得到关于 p、q 的方程组 {

p?q ?3 p(3 p ? q) ? q ? 15

解方程组得 {

p ? ?3 q?2

或 {

p?2 q ?1

【例 5】已知数列{ an }的通项公式是关于项数 n 的一次函数,且 a3 ? ?6, a8 ? 4 ,求 ⑴数列 { an } 的通项公式; ⑵判断 20 是否是此数列的项?⑶求满足 an ? 0 的 n 值。 解:①设数列{ an }的通项公式为 an= pn ? q ( p、q 为常数) 由已知得方程组 {

3 p ? q ? ?6 8p ? q ? 4
,∴ an = 2n ? 12

解之得: {

p?2 q ? ?12

② 令 an = 20 ,即 2n ? 12 = 20 ,∴ n ? 16 ③ an ? 0 即 2n ? 12 ≤ 0 ,∴ n ? 6 又 n ? N ? ,∴ n ? 1,2,3,4,5,6 【变式训练】 : 1、根据给出的数列{ an }的通项公式,写出它的前 5 项。 ① an ? n 2 ? 2n ; ② an ? 3n ? 1; ③ an ? n(n ? 1) ;

4

2、写出下列数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别为下列各数。 ① - 2 , 4 ,- 6 , 8 ,… ② p , q , p , q ,…… ③ 2 , 5 , 8 , 11 ,… ④ 7 , 77 , 777 , 7777 ,… 3、已知数列{ an }中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,且数列的通项 an 公式是关于项数 n 的一 次函数,求此数列{ an }的通项公式。 4、已知数列{ an }的通项公式为 an ? n 2 ? 11 n ? 10 ,若 an ? ?20 ,求数列的项数

n 的值。
5、在数列{ an }中, a1 ? 3 , a10 ? 21,且通项公式 an 是关于项数 n 的一次函数, 求数列的通项公式和 a2009 的值。 【归纳总结】 :掌握常见的数列通项公式,对求其它数列通项是有益的。 ⑴数列 ? 1 , 1 , ? 1 , 1 , ? 1 , 1 ,…的通项公式为 ⑵数列1 , 2 , 3 , 4 ,…, ⑶数列1 , 3 , 5 , 7 ,… ⑷数列 2 , 4 , 6 , 8 ,… ⑸数列 1 , 2 , 4 , 8 , 16 ,… ⑹数列 1 , 的通项公式为 的通项公式为 的通项公式为 的通项公式为

an ? (?1) n ;
an ? n ;
an ? 2n ? 1 ; an ? 2n ;

an ? 2 n?1 ;
an =
1 n

1 1 1 , , , 2 3 4

…的通项公式为 的通项公式为

⑺数列 10 , 20 , 30 , 40 ,…

an ? 10n ; an ? n(n ? 1) an ? n(n ? 1) ;
an ? n(n ? 2) ;

⑻数列 0 , 2 , 6 , 12 , 20 ,…的通项公式为 ⑼数列 2 , 6 , 12 , 20 , 30 ,…的通项公式为 ⑽数列 3 , 8 , 15 , 24 , 35 ,…的通项公式为 ⑾数列 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 ,…的通项公式为 ⑿数列 2 , 5 , 8 , 11 , 14 ,…的通项公式为 ⒀数列 1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,…的通项公式为 ⒁数列 2 p,2q,2 p,2q, ,…的通项公式为

an ? 3n ? 2 ;
an ? 3n ? 1;

an ? n 2 ;
n?1 a ? ( p ? q) ? (?1 ) ( p ? q) ;

5

第 3 课时 【课题名称】 :§1-2 数列的函数特性 【学习目标】 : 1、理解和掌握数列是一种特殊的函数及其特殊性的表现; 2、掌握数列的分类标准及分类的结果; 3、掌握数列表示的方法;能够正确判定数列的单调性; 【提出问题】 认真阅读教材中的“实例分析”部分内容,然后解决如下的问题: 1、怎样认识数列是一种特殊的函数?它的定义域是什么?值域又是怎样的?能够说出数列 与函数的区别与联系吗? 2、 数列为什么可以用图像表示?其图像又具有怎样的特点? 3、 结合上一节的学习内容,归纳总结数列的分类依据及其结果。 【解决问题】 1、通过上一节内容学习我们已经了解到对于任意的数列,其每一项的序号与该项都有如下 的对应关系: 序号: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,…, n , … 项:

a1 , a2 , a3 ,

a4 , a5 ,…, an ,…

因此,从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集的函数 当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值;而且,数列的通项公式就是相应的函 数的解析式。 2、基于上述的原理,数列也可以用图像来表示;我们把平面直角坐标系横轴的正方向表示 为数列的项数的轴,把纵轴作为表示数列各项的值的轴;在做图时,有时为了简便可在直 角坐标系两坐标轴上取不同的长度单位。 如;数列 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 的图像如图①所示;

1 1 1 , , ,… 的图像如图②所示; 3 5 7 数列 1100 , 1100 , 1100 , 1100 ,…的图像如图③所示;
数列 1 ,

图① 图② 图③ 图中可以看出,数列的图像是一群孤立的点,原因在于数列自变量的取值是一些离散的点。 【归纳总结】 结合上节学习的内容我们可以将数列做如下的分类: 1、按照数列的项数来分:

6

项数有限的数列叫有穷数列,在写有穷数列时,要把数列的末项写出来; 如数列: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,…, 2n ? 1 ,表示的是有穷数列。 项数无限的数列叫作无穷数列,无穷数列没有末项,在写无穷数列时要注意用“…”号。 如数列1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,…,或 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,…, 2n ? 1 ,…表示无穷数列。 2、按照数列项与项之间的大小关系,数列的增减性进行分类: 一个数列, 如果从第二项起每一项都大于它的前一项 (即 an+1≥an) , 这样的数列称递增数列; 如 :数列 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 和 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…都是递增数列。 一个数列,如果从第二项起每一项都小于它前面一项(即 an+1≤an)这样的数列叫作递减数 列;如;数列 1 ,

1 1 1 , . ,…就是递减数列。 2 3 4

一个数列,如果从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于前一项(即 an 与 a n ?1 的 大小不定,交替变化) ,这样的数列叫摆动数列; 如数列: 1 , ? 1 , 1 , ? 1 , 1 ,…,…就是摆动数列。 一个数列,如果每一项都相等(即 an+1= an )这样的数列叫常数列; 如数列: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…就是常数列。 【典例解析】 【例 1】已知下列数列的通项公式,判断数列的增减性 ① an ? 3 ? n ; 解:①? an ? 3 ? n , ② bn=

n ; n ?1

③ cn=

1 ; n(n ? 1)

∴ an?1 ? 2 ? n

又 an?1 ? an ? ?1 < 0 ,即 a n ?1 < an 因此,数列{ 3 - n }为递减数列; ②∵bn=

n n ?1 , ∴ bn ?1 ? n ?1 n?2

又 bn ?1 ? bn ?

1 > 0 ,即 bn ?1 > bn (n?!)(n ? 2)

故数列{

n }为递增数列; n ?1

③∵cn=

1 1 , ∴ c n ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)
?2 <0 (n ? 1)(n ? 2)

又 c n ?1 ? c n ?

所以,数列{

1 }为递减数列; n(n ? 1)

7

【例 2】写出数列:-

1 1 1 1 n , ,- ,…,(- ) ,…的通项公式,作出它的图像并分析其增减性。 2 4 8 2 1 n 解:由数列的前几项表现出来的规律可知: a n ? (? ) 2
以数列的项 n 为横轴,数列的各项 an 为纵轴建立直角坐标系,数列的图像如 右所示: 由此可见,数列各项的值正负相间, 表示数列的各点相对于横轴上下摆 动,它既不是递增数列,也不是递 减数列,称为摆动数列;

【例 3】已知数列{ an }的通项公式为 an ? ?2n 2 ? 9n ? 3 ,求此数列中的最大的项。 解法一:设 an 是数列中的最大项,则有{

a n ? a n ?1 a n ? a n ?1





? 2n 2 ? 9n ? 3 ? ?2(n ? 1) 2 ? 9(n ? 1) ? 3 ? 2n 2 ? 9n ? 3 ? ?2(n ? 1) ? 9(n ? 1) ? 3
解得

7 11 ?n? 4 4

又因为 n 是正整数,所以 n ? 2 即数列的最大项为 a2 ? 13 ; 解法二:由题意可知: a n ? ?2(n ? ) ?
2

9 4

105 8

又 n ? N ? , ∴由二次函数的性质及图像可得当 n ? 2 时, an 取得最大值13 ; 【例 4】一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A、B)共有 8 站,从 A 地出时, 装上发往后面 7 站的邮件各一个,到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件, 同时装上该站发往下面各站的邮件各一个。试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件 所成的数列,画出数列的图像,并判断该数列的增减性。 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 编号,通过计算,上面的各站剩余的 解;将 A、B 之间的所有站按次序 1 邮件数依次排成数列: 7 , 12 , 15 ,16 , 15 , 12 , 7 , 0 。 将上面站序号与剩余邮件数的对应关系填入下表: 站序号 邮件数 1 7 2 12 3 15 4 16 5 15 6 12 7 7 8 0

2, 3, 4 }上是递增的;在{ 4, 5, 6, 7, 8 }上递减的。 该数列的图像如下图示,它在{ 1,

8

【变式训练】

1 3 2 5 2 7 5 13 1 ? 2x ( x ? 1) ,构造数列 an ? f (n)(n ? N ? ) , 2、已知函数 f ( x) ? x ?1

1、写出数列 1, , , , , …,的通项公式,并判断此数列的增减性;

⑴求证: an ? ?2 ;⑵数列{ an }是递增数列还是递减数列?为什么? 3、求证数列{ ? 2n ? 29 ? 3 }中的最大项;
2

4、已知数列{ an }的通项公式为,

an = 30 ? n ? n 2 ;

⑴- 60 是否是这个数列中的项?⑵当为何值时 an < 0 ?

数列习题精粹
1、写出下列数列的一个通项公式

2 , 3 , 4 , ⑴、 1 , …
⑷、 2, … 2 2, 2,6 ,

1 2

2 3

3 4

4 5

⑵、 1 … ,5, 3,13 ,17, ⑸、 3, … 3,15,21 ,

3, 6, 10, ⑶、 1, …
⑹、 1, , , , , …

5 5 17 13 4 3 8 5

⑺、 15 , 24 , 35 , 48 , 63 ,… 2、已知数列{ an } , an ? a n ? m(a ? 0, n ? N ? ) ,并且满足 a1 ? 2, a2 ? 4, 求 a3 的值; 3、已知数列{ an }的通项公式为 an = {

3n ? 1(n为奇数) 2n ? 2(n为偶数)

,求 a2 a3 的值;

4、在数列{ an }中,已知 a1 ? 2, a17 ? 66, 通项公式 an 是关于的一次函数; ⑴、求{ an }得通项公式; ⑵、 88 是否是数列中的项?

5、 已知数列 { an } 满足条件:a1 ?a2 ? ? ? an ? 2n 2 ? 3n ? 1, 由此求出 a4 ? a5 ? ? ? a10 的值; 6、在数列{ an }中,已知 a1 ? 数列{ an }的通项公式; 7、已知数列{ an }是递增数列,且对于任意的 n (n ? N ? ) , an ? n 2 ? kn 恒成立,求实数

1 1 ,an?1 ? an ? , 写出数列的前 4 项,并归纳出 2 (2n) 2 ? 1

k 的取值范围;
8、已知数列{ an }的通项公式为 an ? n 2 ? 5n ? 4 ;请问⑴数列中有多少项是负值? ⑵当 n 为何值时, an 有最小值?并求出最小值;
9

§2 等差数列
【课题名称】 :§2-1 【学习目标】 : 1、通过实例分析能够理解等差数列的概念;能够在实际生活中抽象出等差数列的模型;确 定等差数列的公差; 2、 从等差数列的概念出发; 通过归纳或叠加或迭代等不同的方式探索等差数列的通项公式; 3、能够运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题; 4、体会等差数列与一次函数的关系,并能够运用一次函数的性质解决等差数列的问题; 【提出问题】 : 阅读教材中的⑴、⑵、⑶背景实例,写出由此 3 个实例所得到的数列如下: 数列⑴ 第 4、5 课时 等差数列的概念

38,40,42,44,46, …,

数列⑵

25,24

1 1 1 1 ,24,23 ,23,22 ,22,21 ,21, 2, 2, 2 2

数列⑶

6,10,14,

探索和研究上述数列,你能发现它们各自具有怎样的特点?又具有怎样的共性? 【解决问题】 【抽象概括】 一、等差数列 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫作等差数列;这个常数叫作等差数列的公差,一般用 d 来表示。还可以表述 为:在数列{ an }中,若 an?1 ? an ? d ,( d 为常数)则{ an }为等差数列。 ?注意? :1、这里的公差 d 一定是由后项减去前项而得,不能颠倒,否则为- d ; 2、如果一个数列不是从第二项起,而是从第 3 项、第 4 项起,每一项与它的前一项 的差为常数,那么此数列不是等差数列; 3、如果一个数列是从第 2 项起,每一项与他的前一项的差尽管都是常数,这个数列 也不一定是等差数列,这是因为这些数列可以不同,当常数不同时,当然不是等差数列了。 4、理解等差数列的关键字是“从第 2 项起” 、 “差为同一个常数” 5、求等差数列的公差,既可以用 d ? an ? an?1 (n ? 2) ,也可以 d ? an?1 ? an ;同时 也是证明或判断一个数列是等差数列的依据; 二、等差数列通项公式的推导 (一)不完全归纳法: 如果等差数列{ an }的首项为 a1 ,公差为 d ,则根据等差数列的定义可得:

a2 ? a1 ? d ;


a3 ? a2 ? d ;

a4 ? a3 ? d ; …,

an ? an ?1 ? d ;

a2 ? a1 ? d ;

10

a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d ; a4 ? a3 ? d ? a2 ? 2d ? a1 ? 3d ;
… ∴

an = an?1 ? d = an?2 ? 2d = an?3 ? 3d =…= a1 + (n ? 1) d ;

而且,当 n = 1 时, a1 ? a1 ? (1 ? 1)d ? a1 ,说明此公式对于 n ? 1 时也成立; 这就是说,若首项 a1 ,公差为 d ,则等差数列的通项公式为

an = a1 + (n ? 1) d ;
(二)叠加法 由等差数列的定义可得 ∴ a2 ? a1 ? d ;

an ? an?1 ? d (n ? N ? ) ; a3 ? a2 ? d ; a4 ? a3 ? d ; …, an ? an ?1 ? d ;

上述各式的两边分别相加可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ; 即 an = a1 + (n ? 1) d ; 同样可以证明 n ? 1 时公式仍然成立,所以等差数列的通项公式为:

an = a1 + (n ? 1) d ;
(三)迭代法 由已知数列{ an }为等差数列得:

an = an?1 ? d = an?2 ? 2d = an?3 ? 3d =…= a1 + (n ? 1) d ;
∴ an = a1 + (n ? 1) d ; 这就是说,若等差数列的首项为 a1 ,公差为 d 则此数列的通项公式为

an = a1 + (n ? 1) d ;
【典例解析】 : 【例 1】判断下列数列是否是等差数列? ① an ? 2n ? 1 ; ② an ? (?1) n ③ an ? np ? q ( p、q 为常数)

解① an ? 2n ? 1(n ? N ? ) 知 an?1 ? 2n ? 1 , 于是 , an?1 ? an ? (2n ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 ? 0

11

由 n 的任意性可知,此数列为等差数列; 解②由数列的通项公式得数列为: ? 1,1,?1,1,? 又 a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? ?2 ,由于 a2 ? a1 ? a3 ? a2 , 所以,此数列不是等差数列; 解③由数列的通项公式 an ? np ? q ( p、q 为常数)可知 an?1 ? (n ? 1) p ? q 于是, an?1 ? an ? (n ? 1) p ? q ? np ? q ? p , 又由 n 的任意性可知,此数列满足从第 2 项起,每一项与前一项之差为 p , 故此数列为等产数列; 【例 2】①求数列 9 , 5 , 1 ,…,的第 10 项; ②已知数列{ an }的通项公式为 an ? 4n ? 3 ,求此数列的首项 a1 和公差 d; 解①由已知条件可知等差数列{ an }中, a1 ? 9, d ? 5 ? 9 ? ?4 , ∴ 数列的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 13 ? 4n , ∴ a10 ? 13 ? 4 ?10 ? ?27 解②∵数列的通项 an ? 4n ? 3 , ∴ a1 ? 4 ?1 ? 3 ? 1, d ? an?1 ? an ? 4 ; 【例 3】已知在等差数列{ an }中, a5 ? ?20, a20 ? ?35,求 a1 , d , an ; 解法一:由已知条件得 {

a5 ? a1 ? 4d a20 ? a1 ? 19d
,∴

? {

? 20 ? a1 ? 4d ? 35 ? a1 ? 19d

解方程组得 {

a1 ? ?16 d ? ?1

an ? ?n ? 15;

解法二:∵ a20 ? a5 ? 15d ,∴ d ?

a 20 ? a5 ? 35 ? 20 ? ? ?1 , 15 15

∴ ? 20 ? a1 ? 4d ,即 a1 ? ?16; 因此, an ? ?n ? 15; 【例 4】已知等差数列{ an }: 8 , 5 , 2 , …,求 ①数列的第 10 项 a10 ; ③此数列从第几项开始出现负数? ②- 112 是此数列的第几项? ④在- 10 和- 25 之间有多少项?

12

解①由已知得:

a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? ?3,

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 11? 3n ;

因此, a20 ? 11? 3 ? 20 ? ?49; 解②由①知 an ? 11? 3n ,令 an ? ?112,即 ? 112 ? 11 ? 3n , 解得 n ? 41, 即 ? 112 是该数列的第 41 项; 解③由 a n ? 0, 即 11 ? 3n ? 0 ,解得 n ?

11 ; 3

又∵ n ? N ? ,∴该数列从第 4 项开始出现负数; 解④分别令 11 ? 3n ? ?10 ,得 n ? 7 ; 11 ? 3n ? ?25 ,得 n ? 12 ; 由此可得数列在 - 10 和 - 25 之间还有 12 - 7 - 1 ? 4 项; 【例 5】方程 2 x ? mx ? n ? 0 有实数根,且 2、m、n 为等差数列{ an }的前 3 项,求此
2

数列的公差 d 的取值范围。 解:设 m ? 2 ? d , n ? 2 ? 2d ; ∵方程 2 x ? mx ? n ? 0 有实数根,
2

∴△= m ? 4 ? 2 ? n ? 0 ,即 (2 ? d ) 2 ? 8(2 ? 2d ) ? 0 ; 整理得: d ? 12d ? 12 ? 0 ,解之得 d ? 6 ? 4 3 或 d ? 6 ? 4 3 ;
2

【变式训练】 1、已知等差数列{ an }中, a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,求此数列的通项公式; 2、- 401 是不是等差数列- 5 ,- 9 ,- 13 ,…,中的项?如果是的话,又是第多少项? 3、求等差数列 10 , 8 , 6 , 4 ,…,的第 4 项,第 10 项和第 20 项。 4、在等差数列{ an }中:①已知 a4 ? 10 , a7 ? 19 ,求 a1 和 d ;②已知 a3 ? 9 , a9 ? 3 , 求 a12 的值;③已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d 和 an ; 5、已知等差数列{ an }的公差 d ? 0 ,且 a2 . a4 ? 12 , a2 ? a4 ? 8 , 求此数列的通项公 式 an . 6、一个等差数列的首项为 范围。 7、在数列{ an }中,已知 a1 ? 1 ,

1 ,公差 d ? 0 ,从第 10 项起每一项都比 1 大,求公差 d 的取值 25

1 a n ?1



1 1 + ( n ? N ? ),求 a50 . 3 an
13

【课题名称】 :§2-2 【学习目标】 : 1、了解等差数列的函数特征,进一步掌握等差数列的图像特性; 2、掌握等差数列的判定或证明的方法; 3、理解和掌握等差数列的性质特征及其简单的应用; 【提出问题】 : 1、判定一个数列是等差数列的关键点是什么?怎样用数学的语言来描述等差数列的定义? 2、已知一个数列{ an }的通项公式为 an ? np ? q ( p、q 为常数,且 p ? 0 ),又如何来判 断此数列为等差数列? 3、若在 a 和 b 之间插入数 A ,使 a、A、b 成等差数列,则应满足怎样的条件? 【解决问题】 1、判断数列是等差数列的关键点: “从第二项起” 、 “差为同一常数” ;一般地,数列{ an } 若 an?1 ? an ? d ,( d 为常数)则{ an }为等差数列。 2、∵数列{ an }的通项公式为 an ? np ? q ( p、q 为常数,且 p ? 0 ) ∴取此数列中的任意两相邻两项 an 与 a n -1 ( n ? 2 )可得:

第 6、7 课时 等差数列的函数特性

an?1 ? an ? ( pn ? q) ? ? p(n ? 1) ? q ? ? p ;
又 p 是与 n 无关的常数,因此,数列{ an }为等差数列,且 a1 ? p ? q, d ? p ; 也就是说,等差数列的通项公式 an 是关于项数 n 的一次函数。 3、 由 a、A、b 成等差数列可得: A ? a ? b ? A ,

a?b ; 2 一般地,数 a、A、b 成等差数列, A 叫 a 与 b 等差中项;可以发现:对于一个给定的
∴A= 等差数列{ an },从第二项起,每一项都是前一项和后一项的等差中项(有穷数列的末项除 外) 【抽象概括】 一、等差数列的判定方法 1、定义法:

an?1 ? an ? d (常数) ? { an }是等差数列;

2、等差中项法: 2an?1 ? an ? an?2 3、通项公式法: an ? a1 ? (n ? 1)d 二、等差数列的函数特性及几何意义

? { an }是等差数列; ? { an }是等差数列;

由 an ? a1 ? (n ? 1)d ? nd ? (a1 ? d ) 可知:
14

等差数列{ an }是关于项数 n 的一次函数,其图像是 y ? dx ? (a1 ? d ) 上的一些间隔 的点( n , an ); 三、等差数列的性质 若数列{ an }是首项为 a1 公差为 d 的等差数列,则: 1、 d ? 0 时,{ an }是递增数列; d ? 0 时, { an }是递减数列; d ? 0 时,{ an } 是常数列; 2、 d ?

a n ? a1 a m ? a k ? n ?1 m?k

( n、m、k ? N ? );

3、 an ? am ? (n ? m)d ( n、m ? N ? ); 4、若 m ? n ? p ? q (+ n、m、p、q ? N ? ),则 am ? an ? a p ? aq ; 5、若 m ? n ? 2k ,则 am ? an ? 2ak ( n、m、k ? N ? ); 6、若数列{ an }是有穷数列,则与首末两项等距离的两项和都相等且等于首末两项的 和。即 a1 ? a n = a2 ? an?1 = a3 ? an?2 =……= ai ? an?i ?1 =…; 7、下标成等差数列且公差为 m 的项: ak , ak ?m , ak ?2m , ak ?3m ,……( k、m ? N ? )组成 公差为 md 的等差数列; 8、若数列{ bn }也是等差数列,则{ a n ? bn } 、 { kan ? bn }也是等差数列; 9、两个等差数列的相同项若按照原来的前后次序排列,就会得到一个公差为原来两个 公差的最小公倍数的等差数列; 现在对上述的性质 4 进行证明,其余的性质可以利用有关的概念、定义进行证明; 因为

an ? am ? a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (m ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ;

a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ;
又 所以

m ? n ? p ? q (+ n、m、p、q ? N ? ),

am ? an ? a p ? aq

【典例解析】 : 【例 1】已知( 1 , 1 )和( 3 , 5 )是等差数列{ an }图像上的点; (1)求此数列的通项公式; (2)画出此数列的图像

15

(3)判断此数列的增减性; 解:⑴设数列的公差为 d ,则由已知得: a1 ? 1, a3 ? 5 ∴

d?

a3 ? a1 5 ? 1 ? ? 2, 2 2

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1, 即数列的通项公式为 an ? 2n ? 1 , ⑵此数列的图像就是函数 f ( x) ? 2 x ? 1 上的一些间隔的点; ⑶因为函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是增函数,所以数列{ an }是递增数列; 【例 2】已知等差数列{ an }中,若 a1 ? a6 ? 9 , a 4 ? 7 ,求 a3 和 a9 ; 解:∵等差数列{ an }中, a1 ? a6 ? a3 ? a4 ; ∴ a3 ? 9 ? 7 ? 2 , d ? a4 ? a3 ? 5 , a9 ? a4 ? (9 ? 4)d ? 7 ? 5 ? 5 ? 32; 【例 3】在- 1 和 7 之间插入三个不同的数 a、b、c ,使此三数成等差数列,求此等差数列。 解法一:由已知可得:成等差数列中, a1 ? ?1, a5 ? 7, ∴

d?

a5 ? a1 ? 2, a ? ?1 ? 2 ? 1, b ? 1 ? 2 ? 3, c ? 3 ? 2 ? 5 ; 5 ?1

解法二:∵在等差数列中, b 是 - 1 和 7 的等差中项,

?1? 7 ? 3; 2 同理, a 是 ? 1 和 b 的等差中项, c 是 b 和 7 的等差中项 ?1? 3 3?7 a? ? 1, c ? ? 5; ∴ 2 2 【例 4】已知三个数成等差数列,其和为 15 ,首末两项的积为 9 ,求此数列。 解:设此三个数分别为 a ? d、a、a ? d ,则
∴b ? {

a?5 (a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 15 ?{ (5 ? d )(5 ? d ) ? 9 (a ? d )(a ? d ) ? 9

?{

a?5 a ? 5 5, 9 或 9, 5, 1; 或{ 因此,此数列为: 1, d ?4 d ? ?4

【例 5】一个木制的梯架的上下两底的宽分别为 33cm 和 75cm,把梯形的两腰各自 6 等分, 用平行的木条链接相应的对应点,构成梯形架的各级,计算梯形架中间各级的宽 度。 解:记梯形架自上而下的各级宽度构成的数列为{ an }
16

则由梯形的中位线性质可知数列成等差数列,且 a1 ? 33, a7 ? 75 ∴

d?

a7 ? a 2 75 ? 33 ? ? 7(cm) , 7 ?1 6

∴ 【变式训练】

a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 47 ? 7 ? 54, a5 ? 54 ? 7 ? 61, a6 ? 61? 7 ? 68

1、已知在等差数列{ an }中, a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? 4 ,求 a2 ? a4 ? a6 的值; 2、已知在等差数列{ an }中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,求 a 2 ? a8 的值; 3、已知在等差数列{ an }中, a2 ? a3 ? a 10 ? a11 ? 36,求 a5 ? a8 的值; 4、已知在等差数列{ an }中, a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13,求 a4 ? a5 ? a6 的值; 5、已知成等差数列的四个数,其和为 26 ,第二个数与第三个数之积为 40 ,求此四数; 6、已知两个等差数列: 5 , 8 , 11 ,…,和 3 , 7 , 11 ,…,都有 100 项,问他们有多少 共同项可以组成一个新的数列? 7、某市出租车的计价标准为 1.2 元/ km ,最初的 4km (或 4km 以内)起步价收费 10 元,如 果某人乘坐该市的出租车前往 14 km 的目的地,需要支付多少元的车费?

等差数列概念习题集粹
1、已知数列{ an }的通项公式为 an ? pn2 ? qn ( p、q 为常数) (1)当 p 、 q 满足什么条件时,数列{ an }是等差数列? (2)设 bn ? an?1 ? an ,证明{ bn }是等差数列,并求其公差 d ; 2、设{ an }是等差数列,且 a15 ? 8 , a60 ? 20 ,求 a 75 ; 3、已知等差数列{ an }的第 5 项为 5 ,第 10 项为- 5 , (1)这个数列中,第一个负数是第几项? (2)这个数列是递增数列还是递减数列? 4、在等差数列{ an }中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,求 a12 的值; 5、在等差数列{ an }中, a2 ? a5 ? a8 ? 9 , a3 a5 a7 ? ?21,求此数列的通项公式;

17

6、设数列{ an } 、 { bn }都是等差数列, 且 a1 ? 35 , b1 ? 75 , a2 ? b2 ? 100,求数列{ an + bn }的第 37 项值; 7 、在等差数列{ an }中,已知 3an?1 ? 3an ? 2 , ( n ? N ? )且 a2 ? a4 ? a7 ? a9 ? 20 , 求 a10 的值; 8、在等差数列{ an }中,已知 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,求 3a9 ? a11 的值;

1 1 1 b?c c?a a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列; a b c b c a 1 1 1 2 2 2 10、设 , , 成等差数列,求证: a 、 b 、 c 也成等差数列; a?b a?c b?c 2 2 2 11、已知 a 、 b 、 c 成等差数列,且 a 、 b 、 c 的三数之和为 15,若 a 、b +9、c 也成等 差数列,求 a 、 b 、 c 的值; 1 2 2 12、已知方程( x ? 2 x ? m )×( x ? 2 x ? n )= 0 的四根组成一个首项为 的等差数列, 4
9、已知 求︱ m ? n ︱的值; 13、已知在等差数列{ an }中, a3 和 a5 是二次方程 x ? x ? 12 ? 0 的两个根,求此等差
2

数列的通项公式; 14、已知在等差数列{ an }中, l 是 m 、 n 的等差中项,求证: al 是 a m 和 an 的等差中项; 15、在等差数列: 2 , 5 , 8 ,……, 3n ? 1 中,每相邻的两项间插入 3 个数构成一个新的 等差数列。 (1)求新数列的通项公式; (2)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (3)新数列的第 29 项是原数列的第多少项?

18

第 8 课时 【课题名称】 :§2-3 等差数列的 n 项和公式的推导 【学习目标】 : 1、探索和掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程; 2、灵活应用等差数列前 n 项和公式解决一些与前 n 项和有关的计算问题; 3、能够用前 n 项和公式解决一些简单的实际应用问题; 【提出问题】 : 看下面的三个问题: 1、 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 =? 2、 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 16 ? ? ? 40 =? 3、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? ? 100 =? 【解决问题】 , 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 ; 上面的问题,可以看作是分别求等差数列:① 1 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 , ?, 40 ;③ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ?, 100 ;的前 10 项、前 20 项和 ② 2, 前 100 项的和。 解:1、原式=( 1 ? 19 )+( 3 ? 17 )+( 5 ? 15 )+( 7 ? 13 )+( 9 ? 11 ) = 20 ? 5 2、原式=( 2 ? 40 )+( 4 ? 38 )+( 6 ? 36 )+…+( 20 ? 22 ) = 42 ? 10 3、原式=( 1 ? 100 )+( 2 ? 99 )+( 3 ? 98 )+…+( 50 ? 51) = 101 ? 50 很显然,上述的计算结果都与等差数列的首项、末项及项数有关;而且,任意的 k 项 与倒数 k 项的和都等于首末两项的和,这就启发了我们如何去求一般的等差数列的前 n 项 的和。 【抽象概括】 一、数列的前 n 项和 1、一般地,我们把 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an 叫作数列{ an }的前 n 项和,记 作 S n ,即 S n = a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an 。 例如: S15 = a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a14 ? a15 ; 2、对于任意的数列{ an } , S n 与 an 的关系可以表示为:

an ? {
二、等差数列的前 n 项和公式的推导

S1 (n ? 1) S n ? S n ?1 (n ? 2)

设等差数列{ an }的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项的和为 S n ,则

S n = a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an
= a1 +( a1 ? d )+( a1 ? 2d )+…+? a1 +( n ? 2 ) d ?+? a1 ? ( n ? 1 ) d ?

19

再把项的次序反过来, S n 又可以写成:

S n = an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an?4 ? ? ? a2 ? a1
= an +( an ? d )+( an ? 2d )+? an -( n ? 2 ) d ?+? an -( n ? 1 ) d ? 上述两式左右相加得:

2S n ? n(a1 ? an )
由此得到等差数列的前 n 项和的公式为

Sn =

n( a1 ? a n ) 2

……………①

这就是说,等差数列的前 n 项的和等于首末两项的和与项数的积的一半。 又因为 an ? a1 ? (n ? 1)d ,所以,上面的公式又可以变形为;

S n ? na ?

1 n(n ? 1)d 2

……………②

?注意? :正确选择和使用等差数列的前 n 项和的公式 (1)上述的公式①反映了数列的首项 a1 末项 an 、 项数 n 与前项 n 和 S n 之间的关系; (2)上述的公式②反映了数列的首项 a1 、项数 n 、公差 d 与前 n 项和 S n 之间的关 系,同时也表明了基本量首项 a1 、公差 d 在求和中的重要意义; 【典例解析】: [例 1]计算: ⑴ 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ?? ? n ⑵ 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? ?? ? (2n ? 2) ? 2n ⑶ 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ?? ? (2n ? 1) ⑷ 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n 解: ⑴原式=

n( n ? 1) ; 2
2

⑵原式= n ; ⑶原式= n(n ? 1) ;

) ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) =- n ; ⑷原式= (1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n - 1

20

【例 2】北京天坛的圜丘的地面是由扇环形的石板铺成的,最高的一层中心是一块天心石, 围绕它的第一圈有 9 块石板,从第二圈开始,每一圈都比前一圈多 9 块,共 9 圈, 计算:⑴第 9 圈一共有多少块石板?⑵前 9 圈一共有多少块石板? 解:⑴设从第 1 圈到第 9 圈石板数组成数列{ an } , 由题意可知{ an }是等差数列,其中 a1 ? 9, d ? 9, n ? 9; 由等差数列的通项公式,得第 9 圈有石板 a9 ? a ? (n ? 1)d ? 9 ? (9 ? 1) ? 9 ? 81 ⑵由等差数列的前 n 项和公式,得前 9 圈一共有石板

9(9 ? 1 ) 9?8 d ? 9?9 ? ? 9 ? 405 ; 2 2 【例 3】已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ,前 20 项的和是 1220 ,由此可以确定求 S 9 ? 9a1 ?
其前 n 项和的公式吗?由此可以得出数列的通项公式吗? 解:由题意得: S10 ? 310 ,S 20 ? 1220 ; 将它们分别代入求数列的前 n 项和公式得 {

10a1 ? 45d ? 310

20a1 ? 190d ? 120

,解之得{

a1 ? 4 d ?6

∴ S n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

就是说,由已知的条件是可以确定数列的前 n 项和公式的。 【变式训练】 : 1、在等差数列{ an }中,已知 a1 ? 5 , an ? 95 , n ? 10 ,求 S n ; 2、在等差数列{ an }中,已知 a1 ? 100 , d ? ?2 , n ? 50 , 求 S n ; 3、一个屋顶的斜面成等腰梯形,在最上面的一层铺了 21 片瓦,往下每一层多铺一片,斜 面上共铺了 19 层,问共铺瓦多少片? 4、设 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和, S 4 ? 14 , S10 ? S 7 ? 30 ,求 S 9 ; 5、已知等差数列{ an }中, a2 ? a5 ? 19 , S 5 ? 40 ,求 a1 ; 6、在等差数列{ an }中, S n 是前 n 项和,若 S12 ? 84 , S 20 ? 460,求 S 28 ;

21

第 9 课时 【课题名称】 :§2-4 等差数列的前 n 项和公式的应用① 【学习目标】 : 1、理解和掌握等差数列前 n 项和公式的推导方法---倒序法; 2、理解和掌握任意的数列的前 n 项和 S n 与数列的通项 an 间的关系; 3、能够利用等差数列的求和公式解决一些简单的问题; 【复习导入】 1、对于等差数列{ an } ,已知首项 a1 和公差 d ,则 an = a1 ? (n ? 1)d ; 2、若{ an }是等差数列,则 S n 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 S n =

n(a1 ? a n ) 2

;

也可以用首项 a1 和公差 d 表示为 S n = na1 ?

1 n(n ? 1)d ; 2

本节课我们将利用具体的实例来进一步探讨等差数列的前 n 项和公式的简单应用。 【典例解析】 【例 1】在等差数列{ an }中,已知 an = 2n ? 3 ,求此等差数列自 100 项到 200 项之和值; 解:∵数列的通项公式为 an ? 2n ? 3 , ∴ d ? an?1 ? an ? 2, 即数列是公差为 2 的等差数列, 又∵此数列的第 100 项到 200 项构成的仍是公差不变的等差数列, 并且 n ? 200 ? 100 ? 1 ? 101 ∴ Sn ?

a100 ? a 200 2 ? 100 ? 3 ? 2 ? 200 ? 3 ? 101 ? ? 101 ? 30623 2 2

【例 2】求集合 M ={ m ︱ m ? 7n , n ? N ? 且 m ? 100 }中元素的个数,并求出这些元 素的和; 解:由题意得, m ? 7 n ? 100 ,解得 n ? 14

2 ; 7

又 n ? N ? ,∴满足条件的集合 M 中的元素共有 14 个; 它们分别是 7 ? 1 , 7 ? 2 , 7 ? 3 , 7 ? 4 ,…, 7 ? 14 , 由此可见此数列为等差数列,记作{ an } ,其中 a1 ? 7, a14 ? 98 , ∴ S14 ?

n(a1 ? a14 ) 14(7 ? 98) ? ? 735 ; 2 2

22

【例 3】已知数列的前 n 项的和为 S n = n ?
2

1 n ,求此数列的通项公式 an ,这个数列是等差 2

数列吗?如果是求其首项和公差。 解:依题意知

1 3 a1 ? 1 + = , 2 2

当 n ? 1 时, S n = a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an

S n?1 = a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an ? an?1
1 1 3 ,而且当 n ? 1 时, a1 ? 2 - = ,也成立; 2 2 2 1 故数列的通项公式为 an = 2 n - ; 2 1 又 ∵ an = 2 n - 是关于项数 n 的一次函数, 2 3 ∴ 此数列是等差数列,且= , d ? 2 ; 2


an ? S n?1 ? S n ? 2n ?

(结论):由例 3 我们得到如下的结论; 1、若一个数列的前 n 项和是常数项为 0 的关于项数 n 的二次函数 S n = pn ? qn ,则
2

此数列一定是等差数列; 2、已知数列的前 n 项的和 S n ,求其通项公式 an 的方法如下:

an ? {

S1 (n ? 1) S n ? S n ?1 (n ? 2)

这种已知数列的前 n 项和 S n 来确定数列的通项公式的方法对于任何数列都是适用的, 但需要强调的是 a1 不一定满足 an = S n ? S n?1 求出的通项表达式,因此,最后要验证 a1 是 否满足已求出的 an ,若满足则可以用 an = S n ? S n?1 求出的通项表达式表示,否则,就要 用分段式来表达。 【变式训练】 1、 已知数列{ 2n ? 1 } ,⑴求 S n 的值;⑵求从第 p 项到 q 项的和; 解:∵ an ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? an ? 2 ; 故数列是公差 d ? 2 的等差数列; 又∵ a1 ? 1 , an ? 2n ? 1

n(1 ? 2n - 1 ) 2 =n 2 又∵此数列的第 p 项到第 q 项构成的仍是公差不变的等差数列
∴SN=
23

, 且 n = q - p +1 ,

∴ △S =

a p ? aq 2

× (q ? p ? 1) = ( p ? q ? 1)(q ? p ? 1)

2、 在小于 100 的正整数中有多少个数能被 3 除余 2 的?并求出这些数的和。 解:由 3n ? 2 ? 100 ,得 n < 32

2 , 3 即 n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,…, 31 , 32 ; 应此,在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2 把这些数从小到大排列出来就是: 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,…, 98 ;
由此可得此数列为公差 d ? 2 的等差数列,且 a1 ? 2 , an ? 98 , n = 33 ;

33( 2 ? 98) = 1650 . 2 3 2 205 3、 已知数列的前 n 项和 S n =- n + n ,求此数列的通项公式。 2 2 3 2 205 ? 1 = 101 , 解:当 n ? 1 时, a1 = S1 =- ? 1 ? 2 2
∴ S 33 = 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ?3n ? 104, 把 n ? 1 代入上式得 a1 ? ?3 ? 1 ? 104 ? 101,也成立。 应此,数列的通项公式为 an ? ?3n ? 104(n ? N ? ) ; 4、 已知数列的前 n 项和为 S n = n + n + c ①证明当 c ? 0 时,这个数列是等差数列;并求出此等差数列的通项公式; ④ 证明当 c ? 0 时,这个数列不是等差数列,但从第 2 项起是等差数列; ① 证明:当 n = 1 时,a1 ? S1 ? 2 ? c,
2

当n ? 2时,an ? (n 2 ? n ? c) ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? c ? 2n
; 应此,当c ? 0时,a1 ? 2 ?1 ? 2也成立; 并且an ? an?1 ? 2(常数)

所以,当c ? 0时,数列{ an } 是等差数列,且 an ? 2n
⑤ 证明:当 c ? 0时,则a1 ? 2 ? c或an ? 2n(n ? 2)

又n ? 2时,an ?a n?1 ? 2
因此,数列 不是等差数列,但从第 2项起是以公差 d ? 3的等差数列; {an}

24

§2 等比数列
【课题名称】 :§3.1 【学习目标】 : 1、理解等比数列的概念,探索等比数列的通项公式,并能够在具体问题中发现等比关系; 2、通过观察现实生活中存在的大量等比数列的模型,让学生充分感受到数列是反映现实 生活的模型; 3、通过等比数列的概念归纳,使学生经历解决数列问题的过程; 【实例分析】 实例⑴是与我们生活有关的拉面问题:拉面馆的师傅将一根很粗的面条,不断的拉伸、捏 和,再拉伸、再捏合,这样如此反复捏合 8 次的面条数构成一个数列: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 ; ① 实例⑵是星火化工厂今年的产值为 a 万元,计划在以后 5 年中,每一年比上一年增长 10 ﹪, 这样 6 年的产值构成一个数列:
2 3 4 5 , a(1 ? 10%) , a(1 ? 10%) , a(1 ? 10%) ;② a , a(1 ? 10%) , a(1 ? 10%)

第 10 课时 等比数列的基本概念

再如⑶我们常见的某种细胞的分裂模型,每一次细胞分裂后的细胞个数构成一个数列: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 ,…, ③ 1 “一尺之槌,日取其半,万世不竭” ,如果把“一尺之槌”看成单位 ,得到数列⑷:

1,

1 1 1 1 , , , ,…, 2 4 8 16



上述的数列具有各自怎样的特点?又具有怎样的共同的特点? 【抽象概括】 : 一、等比数列的定义 一般地,弱国一个数列从第二项起,每一项与它的前一项之比为同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列;这个常数就叫做等比数列的公比,常用 q 来表示; 即:对于一个数列{ an } ,

a n ?1 ? q (常数) ? { an }是等比数列; an

?注意? :1、在求等比数列的公比时,不能把前后两项的比颠倒; 2、要证明一个数列是等比数列,只要证明对任意的正自然数 n

a n ?1 ,亦即 q 与 n 无关; ? q (常数) an
3、从等比数列的定义中可以看出:等比数列的任意一项 an 都不为,公比 q 可以取 任意的非零实数,就是不能为零; 二、等比数列通项公式的推导 1、不完全归纳法: 设等比数列{ an }中的首项 a1 为,公比 q 为,则

25

a 2 ? a1 q a 3 ? a1 q 2 a 4 ? a1 q 3 ?
由此可以归纳出: an ? a1q n?1 ; 而且在此式中,当 n ? 1 时, a1 ? a1q1?1 ? a1 ,亦即 a1 也可以用此式来表达; 因此,首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列的通项公式是:

an ? a1q n?1 ;
2、累积法: ∵数列{ an }是等比数列, ∴

an a a a ? q , n ?1 ? q , n ? 2 ? q ,…, 2 ? q ; a n ?1 a n?2 a n ?3 a1 an a n?1 an?2 a ? ? ? ?? 2 = q n?1 ; an?1 an?2 an?3 a1

把上述 n ? 1 个式子相乘可得:

于是得到:

an ? a1q n?1 ;

?注意? :对于等比数列的通项公式,我们不要 an 把错误地写成 an ? a1q n1 ; 【典例分析】 【例 1】判断下列数列是否是等比数列 ① ③

1 , 1 , 1 , 1 ,…, 1 ;

② ④

a , a 2 , a 3 , a 4 ,…, a n ;
an ? n ? 2 n ;

an ? (?2) n?3 ;
∵数列的通项公式为 an ? 1 ; 又

解:①

∴ an?1 ? 1 ;

a n?1 ? 1 ,∴数列为公比是 1 的等比数列; an
∴ an?1 ? a n?1 ;



∵数列的通项公式为 an ? a n ,

∴当 a ? 0 时,数列公比为 a 的等比数列; 当 a ? 0 时,数列就不能是等比数列; ③ ∵数列的通项公式为 an ? (?2) n?3 ,∴ an?1 ? (?2) 又
n ?2



an?1 (?2) n?2 ? ? ?2 ,∴数列为公比是 ? 2 的等比数列; n ?3 an (?2)
26



∵数列的通项公式为 an ? n ? 2 n ,∴ an?1 ? (n ? 1 ) ? 2n?1 ; 又

an?1 (n ? 1) ? 2 n?1 2 , ? ? 2 ? (不是同一常数) n an n n?2

∴数列不是等比数列; 【例 2】一个等比数列{ an }的首项是 2 ,第 2 项和第 3 项的和为 12 ,求它的第 8 项的值; 解:设数列的首项为 a1 ,公比为 q ,则由已知得: {

a1 ? 2 a 2 ? a3 ? 12



? {

a1 ? 2 a1 (q ? q 2 ) ? 12



∴ q 2 ? q ? 6 ? 0 ,解之得 q1 ? ?3, q2 ? 2 当 q ? ?3 时, a8 ? a1q 7 ? 2 ? (?3) 7 ? ?4374; 当 q ? 2 时, a8 ? a1q 7 ? 2 ? 27 ? 256; 【例 3】已知数列{ an }满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1; ⑴求证数列{ an ? 1 }是等比数列;⑵求数列{ an }的通项公式; 解: ∵

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1;
a n ?1 ? 1 ? 2, a n ?1 ? 1

∴ an?1 ? 1 ? 2an ? 2 ? 2(an ? 1) ,即 又

a1 ? 1 ? 2 ;

于是,于是数列{ an ? 1 }是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列;

an ? 1 ? (a1 ? 1)q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ;即 an ? 2n ? 1 ;
【例 4】已知数列{ an }的前 n 项的和 S n ? a 2n ? 1(a ? 0, a ? ?1)(n ? N ? ) 试判断数列{ an }是等比数列; 解:∵ S n ? a
2n

? 1(a ? 0, a ? ?1)(n ? N ? )

2 ∴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a ? 1;

2 2 n ?2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? (a ? 1)a ;

27

而且, n ? 1 时, a1 ? (a 2 ? 1)a 2?2 ? a 2 ? 1 也成立; ∴ 数列{ an }的通项公式为 an ? (a 2 ? 1)a 2n?2 (n ? N ? ) ;



an?1 (a 2 ? 1)a 2( n?1)?2 q? ? ? a2 ; 2 2 n?2 an (a ? 1)a
数列{ an }是首项为 a ? 1 ,公比是 a 的等比数列;
2 2



【变式训练】 1、判断下列的数列是否是等比数列

1 1 1 1 1 1 , ,- , ,, ; 2 4 32 64 8 16 ② 1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,…,


1, -



an ? (?1) n?1 ( 3) n ;
1 2
n ?1

解:①∵ a n ? (? )

( n ? N ? , n ? 7) , ∴

a n ?1 1 ?? , an 2
1 的等比数列; 2

因此,数列{ an }是首项为 1 ,公比为 ? ②∵

4 8 12 ? ? ,∴数列不是等比数列; 2 4 8
n ?1

③由题意可得 a n ? (?1) 则有

( 3) , a n ?1 ? (?1) n ( 3 ) n ?1 ,

n

a n ?1 ? ? 3 ;∴数列是等比数列; an

2、在等比数列{ an }中,已知 a2 ? 18, a4 ? 8 ,求 a1、q 的值; 解:由已知得: ∴当 q ? ? {

a1 q ? 18 a1 q ? 8
3

? q 2 ? ,? q ? ? , q ?

4 9

2 3

2 ; 3

2 3 2 3 时, a1 ? 18 ? ( ? ) ? ?27 ;当 q ? 时, a1 ? 18 ? ? 27 3 2 3 2 3、一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别为 12 和 18 ,求此数列的第 1 项和第 2 项;
4、已知数列{ an }满足 a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ;求此数列的通项公式; 5、已知数列{ an }的前 n 项的和 S n ? ⑴ 求 a1 , a2 ;

1 (a n ? 1)( n ? N ? ) , 3

⑵ 求证数列{ an }是等比数列;

28

等比数列的概念习题集粹
1、 设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比 q ? 2 , 则

2a1 ? a 2 的值是 2a 3 ? a 4
A、

;

1 1 , C、 , D 、 1; 2 8 9 1 2 2、在等比数列{ an }中,已知首项为 ,末项为 ,公比为 ,则此数列的项 8 3 3
B、
数是 ; A、 3 ,

1 , 4

B、

4,

C、

5 ,

D、 6;

3、已知数列: a , a(1 ? a) , a(1 ? a) 2 , a(1 ? a) 3 ,…是等比数列,则实数 a 的 取值范围是 ; A、 a ? 1, B 、 a ? 1且 a ? 0 ,C 、 a ? 0 , D 、 a ? 1或 a ? 0 ; 4、在等比数列{ an }中,如果 a6 ? 6, a9 ? 9 ,则 a3 的值为 ;

A、 4 ,

B、

3 , 2

C、

16 , 9

D、 2;

5、已知数列{ lg an }是等差数列,求证数列{ an }为等比数列: 6、在等比数列{ an }中, a 2 ? 4, a 5 ?

1 ,求此数列的通项公式; 2

7、在等比数列{ an }中, a3 ? 4, a5 ? 16 ,求数列{ an }的通项公式; 8、在等比数列{ an }中, a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 ; 9、已知数列{ bn }是等差数列, a ? 0 ,求证数列{ a n }是等比数列; 10、在数列{ an }中,已知 a1 ? 1 且当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; 11、已知三个数成等比数列,且它们的和为 13 ,积是 27 ,求此三数; 12、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第 1 个数与第 4 个数的和为 16,第 2 个数与第 3 个数的和为 12,求此四数;
b

29

第 11 课时 【课题名称】 :§3.2 等比数列的基本性质 【学习目标】 : 1、进一步理解和掌握等比数列的概念,理解等比中项的概念; 2、理解和掌握等比数列的函数单调性及其性质,并能在具体的问题情景中灵活运用 性质; 【复习导入】 在上一节课里,我们共同探讨了等比数列的概念和通项公式。对于一个等比数列来 讲:首项为 a1 ,公比为 q ,则其通项公式为 an ? a1q n?1 (其中 a1 ? 0, q ? 0 ) ;我们由此 联想到指数函数,可以发现等比数列是定义域为正整数的指数型函数,因此,我们可以根 据指数函数的单调性来探究等比数列的单调性,同时,我们还可以类比等差数列的性质进 一步探究等比数列的性质特征。 【新知探究】 一、根据指数函数的单调性,分析等比数列的单调性并完成下表:

a1 的取值范围
q 的取值范围
{ an }单调性

a1 > 0
0 ? q ?1
递减 数列

a1 < 0
q ?1
递增 数列

q ?1
常数列

0 ? q ?1
递增 数列

q ?1
常数列

q ?1
递减 数列

?注意? :当 q ? 0 时,数列中的项有正有负,因此数列属于摆动数列,因而不具有单调性; 二、类比等差数列,分析论证等比数列的性质特征 1、公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数,所得的数列仍然是等比数列, 且公比仍是 q ; 2、公比为 q 的等比数列,从中取出等距离的项组成一个新数列,则新数列仍为等比数 列,其公比为 q m (其中为等距离的项数之差) ; 即 ak , ak ? m , a k ? 2 m , a k ?3m ,…, a k ? nm ,成等比数列; 3、若{ an } 、 { bn }均为等比数列,公比分别为 q1 、 q2 ,则数列{ an . bn }仍为等比 数列,并且公比为 q1 . q2 ;数列{

an q }仍未等比数列,且公比为 1 ; bn q2
n?m

4、在等比数列{ an }中,任何两项可以表示为 an ? am q



5、在等比数列{ an }中,当 m ? n ? r ? s ? 2k (m、n、r、s、k ? N ? ) 时,则有;
2 ; am .an ? ar .as ? ak

6、在等比数列{ an }中,与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积;

30

即 a1 .an ? a2 .an?1 ? a3 .an?2 ? a4 .an?3 ? ? ? ak .an?k ?1 ; 三、等比中项 在等差数列{ an }中,若 a, A, b 成等差数列,则 A ?

a?b 为的等差中项;在 2

a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a 、G 、b 构成等比数列,则称为何值?又如何定义这个
概念呢? 与等差数列相类似,如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使成等比数列,那么,根 据等比数列的定义有:

G b ? , G 2 ? ab, G ? ? ab ; 我们称 G 为 a , b 的等比中项; a G
四、等比数列的判断方法 1、 an ? an?1 .q(n ? 2, q 是不等于 0 的常数,且 an?1 ? 0 ) ? { an }是等比数列;
2 2、 an ? an?1.an?1 ( n ? 2, an?1、an?1 ? 0 ) ? { an }是等比数列;

3、 an ? c.q n ( c、 q 均为非零的常数) ? { an }是等比数列; ?注意?:1、只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反数; 2、 G 2 ? ab, 是 a 、 G 、 b 构成等比数列的必要条件,也就是说如果 a 、 G 、 b 成等比数列,则 G 2 ? ab, 反之,则必须保证 a 、 G 、 b 不为零且 a 、 b 同号; 3、一个等比数列,从第二项起,每一项(有穷数列除外末项除外)是前一项和 后一项的等比中项; 【典例解析】 【例 1】已知等比数列的前三项和为 168 , a2 ? a5 ? 42 ,求 a5、a7 的等比中项; 解:设等比数列的公比为 q ,首项为 a1 ,由已知得:



a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? 168 a1 q ? a1 q 4 ? 42

?{

a1 (1 ? q ? q 2) ? 168 a1 q (1 ? q 3 ) ? 42

1 解之得{ 2 a1 ? 96 q?

若 G 是 a5、a7 的等比中项,则有

1 G 2 ? a5 a 7 ? a1 q 4 a1 q 6 ? a1 q 10 ? 96 2 ( )10 ? 9 ; 2


a5、a7 的等比中项为 ? 3 ;

[例 2]已知数列{ an }的各项均为正值,且 a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,求 a3 ? a5 的值; 解:∵
2 2 ; a2 a4 ? a3 , a4 a6 ? a5

31

∴ 即 又

已知原式变为

2 2 a3 ? 2a3 a5 ? a5 ? 25;

2 (a3 ? a5) ? 25 ;

{ an }的各项均为正值,∴ a3 ? a5 ? 5 ;

【例 3】已知在等比数列{ an }中, a7 a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,求 解:∵ ∴ ∴

a 20 的值; a10

a7 a11 ? a4 a14 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ;
a4、a14 为方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根;
a4 ? 2, a14 ? 3; 或 a4 ? 3, a14 ? 2 ;
10

当 a4 ? 2, a14 ? 3 时, a14 ? a4 q10 ,∴ q

?

a14 3 a20 ; ? ? a4 2 a10 a14 2 a20 ; ? ? a4 3 a10

当 a4 ? 3, a14 ? 2 时, a14 ? a4 q10 ,∴ q

10

?

【变式训练】 1、 已知三个数成等比数列,其积为 27 ,其和为 13 ,求此三数; 2、 已知三个数成等比数列,其积为 27 ,其和为 91 ,求此三个数; 3、 已知等比数列{ an }中,① a3 ? 12, a4 ? 18 ,求 a2 ;② a 2 ? 1, a 5 ? 4、 在等比数列{ an }中, a3 a4 a5 ? 8 ,求 a2 a3 a4 a5 a6 的值; 5、 已知等比数列{ an }中, an ? 0 , a1、a99 是方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,
2

1 ,求 a10 ; 8

求 a 40 a50 a60 的值; 6、 在正项等比数列{ an }中,如果 a4 a7 ? a5 a6 ? 20 ,求 lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg a10 的值;

32


相关文档

更多相关文档

F.数列 a.数列的概念 1.数列的单调性
等差数列的前n项和1
高一数学等差数列1
F.数列 c.等比数列 1.等比数列的基本量
人教版数列求和方法(1)编号21
数列求和及综合应用 (1)
高三数学数列模型及其应用1
第6章 数列与数学归纳法(6.1-6.3)
15-16版:2.1 等差数列(一)(创新设计)
高一数学等比数列1
导学案数列1
9-数列-1
数列1
培优数列1
2.1.1数列
电脑版