高二数学椭圆专题(修改过的)


高二数学椭圆专题
一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率为 0.6,长、短轴之和为 36,则椭圆 方程为 A.

x2 y2 ? ?1 100 64

B.

x2 y2 ? ?1 64 100

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 C. 100 64 64 100

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 D. 10 8 8 10

2.若方程 x2+ky2=2,表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.已知圆 x2+y2=4,又 Q( 3 ,0),P 为圆上任一点,则 PQ 的中垂线与 OP 之交点 M 轨迹为(O 为原点) A.直线 二、填空题 4.设椭圆 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点,且 PF1⊥PF2,则||PF1| 45 20

-|PF2||=_________. 5.(2002 年全国高考题)椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2),那么 k=_________. 三、解答题 6.椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),B(0,b)、B′(0,-b),A(a,0),F 为椭圆的右焦点,若直线 AB⊥ a2 b2

B′F,求椭圆的离心率. 7.在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 且过点 P 的椭圆方程. 8.如图,从椭圆

1 ,tanN=-2,建立适当的坐标系,求以 M、N 为焦点 2

x2 y2 ? =1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线, a2 b2

恰好通过椭圆的左焦点 F1, 且它的长轴端点 A 及短轴的端点 B 的连 线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F2 是右焦点,求∠F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的面积 为 20 3 ,求此时椭圆的方程.

参考答案

一、1.C 2.D 二、4.2 5

3.C

提示 :| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6 5 ? ? ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 40, 2 2 2 | PF1 | ? | PF2 | ? (2c) ? 100 ? ?
∴(|PF1|-|PF2|)2=100-2×40=20. ||PF1|-|PF2||=2 5 . 5.1 三、6.

5 ?1 2

7.以 MN 所在直线为 x 轴,线段 MN 的中垂线为 y 轴建立坐标系,可得椭圆方程为

4 2 y2 x ? ? 1. 15 3
8.(1)

2 2

(2)[0,

x2 y2 ? ? ?1 ] (3) 2 50 25

提示:(1)∵MF1⊥x 轴, ∴xM=-c,代入椭圆方程求得 yM=

b2 , a

∴kOM=-

b2 b , k AB ? ? , ac a

∵OM∥AB,

b2 b ?? ?b?c ∴- ac a
从而 e=

2 . 2

(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ ,则 r1+r2=2a,|F1F2|=2c.

r ? r2 ? 4c 2 由余弦定理,得 cosθ = 1 2r1 r2 ? (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a2 ? ?1 2r1 r2 r1r2
a2 ? 1 ? 0, r1 ? r2 2 ( ) 2

2

2



当且仅当 r1=r2 时,上式取等号. ∴0≤cosθ ≤1,θ ∈[0,

? ]. 2

(3)椭圆方程可化为

x2 y2 ? ? 1 ,又 PQ⊥AB, 2c 2 c 2

∴kPQ=-

1 k AB

?

a ? 2. b

PQ:y= 2 (x-c)代入椭圆方程,得 5x2-8cx+2c2=0. 求得|PQ|=

6 2 c, 5 2 6 c, 3

F1 到 PQ 的距离为 d= ∴ S ?F1PQ ? ∴椭圆方程为

1 | PQ | ?d ? 20 3 ? c 2 ? 25. 2

x2 y2 ? ? 1. 50 25

椭圆训练题:
1. 椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m=__________ 2 m?8 9

2. 椭圆 4x2+2y2=1 的准线方程是_______________ 3. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,A、B 为过 F1 的直线与椭圆的两个交点, 25 9

则△ABF2 的周长是____________ 4. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0?上有一点 P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距 a2 b2

离的等差中项,则 P 点的坐标是_______________ 5. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 焦点为 F1、F2,P 是椭圆上的任一点,M 为 P F1 的中点,若 P F1 的长 a2 b2

为 s,那么 OM 的长等于____________

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点 F 作与椭圆轴不垂直的弦 AB,AB 的垂直平分线交 AB 6. 过椭圆 36 27
于 M,交 x 轴于 N,则 FN : AB =___________ 7. 已知椭圆的对称轴是坐标轴, 离心率 e ?

2 , 长轴长是 6, 则椭圆的方程是____________ 3

8. 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的值是______________ 25 ? m 16 ? m

9. 椭圆的两焦点把准线间的距离三等分,则这椭圆的离心率是______________

x2 y2 10. 椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 b,则 P 点到左准线的距离是_______ 4b b
11. 椭圆 x sec t ? y csc t ? 1, t ? ?
2 2 2 2

?? ? ? , ? ,这个椭圆的焦点坐标是__________ ?4 2?

12. 曲线 x ? ?m ? 1?y ? 3my ? 2m ? 0 表示椭圆,那么 m 的取值是______________
2 2

13. 椭圆

5 x2 y2 ? ? 1 上的一点 A?x1 , y1 ? ,A 点到左焦点的距离为 ,则 x1=___________ 2 4 3

14.

2 2 ? ? x ? 1? y ? 2? ? 椭圆

16

9

? 1 的两个焦点坐标是______________

15. 椭圆中心在原点, 焦点在 x 轴上, 两准线的距离是

18 5 , 焦距为 2 5 , 其方程为______ 5

16. 椭圆上一点 P 与两个焦点 F1、F2 所成的?PF1F2 中, ?PF 1 F2 ? ? , ?PF 2F 1 ? 的离心率 e=__________ 17. 方程

? ,则它

x2 ? 3

y2

?? ? sin? 2? ? ? 4? ?

? 1 表示椭圆,则?的取值是______________

18. 若

??

2

? 6 x 2 ? 5?y 2 ? 5? ?2 ? 6 ? 0 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则?的值是________

?

?

?

19. 椭圆

x2 y2 ? 9? ? ? 1 上不同的三点 A?x1 , y1 ?, B? 4, ?, C ?x2 , y 2 ? 与焦点 F ?4,0? 的距离成 25 9 ? 5?

等差数列,则 x1 ? x2 ? ____________ 20. P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点,它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的 4 倍,则 P 点 25 9

的坐标是_______________ 21. 中心在原点,对称轴在坐标轴上,长轴为短轴的 2 倍,且过 ?2,?6? 的椭圆方程是______ 22. 在面积为 1 的△PMN 中, tan M ? 方程是_____________ 23. 已知△ABC, A?3,0?, B?? 3,0? 且三边 AC、AB、BC 的长成等差数列,则顶点 C 的轨迹 方程是_________

1 , tan N ? ?2 ,那么以 M、N 为焦点且过 P 的椭圆 2

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值是__________ 24. 椭圆 m 4
25. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点到准线的距离是____________ 9 4

x2 y2 26. 椭圆 2 ? ? 1的准线平行于 x 轴,则 m 的值是__________ m ?m ? 1?2
27. 中心在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率为

1 的椭圆方程是_______ 2

28. 椭圆的焦距等于长轴长与短轴长的比例中顶,则离心率等于___________ 29. 中心在原点,一焦点为 F1 0, 50 的椭圆被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦的中点横坐标为

?

?

1 ,则此椭圆方程是_________ 2
30. 椭圆的中心为 ?0,0? ,对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点构成面积为 12 的三 角形,两准线间的距离是

25 ,则此椭圆方程是_____________ 2

31. 过点 ?3,?2? 且与椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 有相同焦点的椭圆方程是____________

x2 y2 ? ? 1 绕其左焦点逆时针方向旋转 90?,所得椭圆方程是_______ 32. 将椭圆 25 9
33. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到右准线的距离是 7.5,那么 M 点右焦半径是______ 25 9 x2 y2 ? ? 1 的长轴, F1 是一个焦点, 过 AB 的每一个十等分点作 AB 的垂线, 3 4

34. AB 是椭圆

交椭圆同一侧于点 P1,P2,P3,??????,P9,则 AF 1 ? P 1F 1 ? P 2F 1 ? ??? ? P 9F 1 ? BF 1 的 值是________ 35. 中心在原点,一焦点为 F(0,1) ,长短轴长度比为 t,则此椭圆方程是__________ 36. 若方程 x2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴的椭圆,则 k 的取值是__________

37. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上一点,若线段 PF1 的中点在 y 轴上, 12 3

那么 PF 1 : PF2 =___________ 38. 经过 M1

?

3, ?2 , M 2 ?2 3,1 两点的椭圆方程是_____________

?

?

?

39. 以椭圆的右焦点 F2(F1 为左焦点)为圆心作一圆,使此圆过椭圆中心并交椭圆于 M、N, 若直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率是___________ 40. 椭圆的两个焦点 F1、F2 及中心 O 将两准线间的距离四等分,则一焦点与短轴两个端点 连线的夹角是__________ 41. 点 A ? a, 0 ? 到椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的点之间的最短距离是___________ 2

42. 椭圆

x2 2 ? y 2 ? 1与圆 ? x ? 1? ? y 2 ? r 2 有公共点,则 r 的取值是________ 4 x2 y 2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的值是___________ 5 m
0 0

43. 若 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 与椭圆

44. 设 P 是椭圆上一点,两个焦点 F1、F2,如果 ?PF2 F 1 ? 75 , ?PF 1F 2 ? 15 ,则离心率等

于__________ 45. P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上任一点,两个焦点 F1、F2,那么 ?F1PF2 的最大值是_______ 4 3

46. 椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 长轴上一个顶点为 A, 以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角 三角形,则此直角三角形的面积是__________ 47. 椭圆长轴长为 6, 焦距 4 2 , 过焦点 F1 作一倾角为?的直线交椭圆于 M、 N 两点, 当 MN 等于短轴长时,?的值是_______ 48. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴两端点 A、B,点 P 在椭圆上,那么直线 PA 与 PB 的斜率之 4 3

积是__________ 49. 倾斜角为

? x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,则线段 AB 的中点 M 的轨迹方 的直线与椭圆 4 4

程是______________ 50. 已知点 A(0,1)是椭圆上的一点,P 是椭圆上任一点,当弦长 AP 取最大值时,点 P 的坐标是_____________

椭圆训练题答案
1. 4或 ? 5. a ?

5 4

2. y ? ?1

3. 20

4.

? 0, b? 或?0, ?b?

s 2

6. 1 : 4

7.

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 9 5 5 9
11.

8.

9 ? m ? 25 2

9.

3 3

10. 2 3b

? 0, ?

cos 2t

?

12. ?1, ?? ?

13. 1

14. 1 ? 7, 2 , 1 ? 7, 2

?

??

?
? ?,?k ? Z ? ?

x2 y 2 ? ?1 15. 9 4

cos
16.

???

2 ??? cos 2
20. ? ?

17. ? k? ?

? ?

3? 7? , k? ? 8 8

18.

?

6, 6

?

19. 8

? 15 3 7 ? ? 15 3 7 ? , ? ?或? ? 4 ,? 4 ? ? 4 4 ? ? ? ?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 21. 148 37 13 52
24. 5或3 25.

4 x2 y 2 ? ?1 22. 15 3
26. m ?

x2 y 2 ? ?1 23. 36 27
27.

4 5 14 5 和 5 5
29.

1 且m ? 0 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

28.

1 2 5 ?2 2

x2 y 2 ? ?1 25 75

30.
2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 25 9 9 25
33. 6 34. 20 ? 3

x2 y 2 ? ?1 31. 15 10
35.

32.

? x ? 4?
9
36.

2

? y ? 4? ?
25

?1

x2 y2 ? 2 ?1 1 t 2 t ?1 t 2 ?1

? 0,1?

37. 7

38.

x2 y 2 ? ?1 15 5
? 6 ? ,3? ? 3 ?
5? 6

39.

3 ?1

40.

? 2
6 3

41.

1 ? a2 或 a ? 2 或 a ? 2
16 25
50. ? ? ?

42. ?

43.

m≥1 且 m≠5

44.

45. 60?

46.

47.

?
6



48.

?

3 4

49. y ? ?

1 ? 4 ?? ? 4 x, ? x ? ? ? 5, 5? 4 ? 5 ?? ? 5 ?

? 4 2 1? ,? ? 3 3? ? ?

椭圆训练试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.请将唯一正确结论的代号填入题后 的括号内.
2 1.椭圆 x ? 2

m

y 2 =1的准线平行于 x 轴,则实数 m 的取值范围是 2m ? 3





A.-1<m<3 C.-1<m<3且 m≠0

B.-

3 <m<3 且 m≠0 2

D.m<-1 且 m≠0

2. a、b、c、p 分别表示椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、焦点到相应准线的距离,则它 们 的关系是 ( ) A.p= b
2

B.p= a

2

C.p= a

2

D.p= b

2

a2
3

b

c

c

3.短轴长为 5 ,离心率为 2 的椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则Δ ABF2 的周长为 A.24 B.12 C.6 4.下列命题是真命题的是 A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
c

( D.3 (

) )

B.到定直线 x= a 2 和定 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆
a

C.到定点 F(-c,0)和定直线 x=- a 2 的距离之比为
c

c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 a

D.到定直线 x= a 2 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆
c

c

5.P 是椭圆 x 2 + y 2 =1 上任意一点,F1、F2 是焦点,那么∠F1PF2 的最大值是
4 3





A.60 6.椭圆

0

B.30
b2

0

C.120

0

D.90

0

x2 4b 2

+ y 2 =1 上一点 P 到右准线的距离是 2 3 b,则该点到椭圆左焦点的距离是( B.



A.b
2
2

3 b 2

C.

3b

D.2b

7.椭圆 x + y =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 F1P 的中点在 y 轴上,那么
12 3

|PF1|是|PF2|的 A.7 倍
a2 b2

( B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍



8.设椭圆 x 2 + y 2 =1(a>b>0)的两个焦点是 F1 和 F2,长轴是 A1A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的 点,考虑如下四个命题: ①|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|; ②a-c<|PF1|<a+c; ③若 b 越接近于 a,则离心率越接近于 1; ④直线 PA1 与 PA2 的斜率之积等于- b .
a2
2

其中正确的命题是





A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①④ 2 2 9.过点M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x +2y =2 交于P1、P2两点,线段P1P2的中点 为P,设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0) ,直线OP的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.

1 2

D.-

1 2

10.已知椭圆

x 2 y2 + =1(a>b>0)的两顶点 A(a,0)、B(0,b),右焦点为 F,且 F 到直线 AB a 2 b2
( D. 2 -1<e<1 ) B. 2 <e<1
2
a
2

的距离等于 F 到原点的距离,则椭圆的离心率 e 满足 A.0<e< 2
2

C. 0<e< 2 -1

11.设F1、F2是椭圆 x 2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的两个焦点,以F1为圆心,且过椭圆中心的 )

圆与椭圆的一个交点为M,若直线F2M与圆F1相切,则该椭圆的离心率是( A.2- 3
2
2

B. 3 -1

C. 3
2

D. 2
2

12. 在椭圆 x + y =1 内有一点 P (1, -1) , F 为椭圆右焦点, 在椭圆上有一点 M, 使|MP|+2|MF|
4 3

的值最小,则这一最小值是` A.

( C.3 D.4



5 2
2
2

B.

7 2
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将最简结果填入题中的横线上. 13.椭圆 x + y =1 的离心率是 2x -11x+5=0 的根,则 k=
3 k



14.如图,∠OFB=

? ,SΔ ABF=2- 3 ,则以OA为长半轴,OB 6

2 2

为短半轴,F为一个焦点的椭圆的标准方程为
2 2

15.过椭圆 x ? y =1的下焦点,且与圆 x +y -3x+y+ 3 =0 相切 2 3 2 的直线的斜率是 . 16.过椭圆 x + y =1 的左焦点作一条长为
2

2

9

12 的弦

AB,将椭圆绕其左准线旋转一周,则

5

弦 AB 扫过的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答题应写出必要的计算步骤或推理过程. 17. (本小题满分 12 分) 已知 A、B 为椭圆

8 x 2 25y 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 2 2 5 a 9a

中点到椭圆左准线的距离为

3 ,求该椭圆方程. 2

18. (本小题满分 12 分) 设中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 交于 A、B 两点,若线段 AB 的长等于圆的直径. (1) 求直线 AB 的方程; (2) 求椭圆的方程.

5 3 2 2 ,并且椭圆与圆 x +y -4x-2y+ =0 2 2

19. (本小题满分 12 分) 已知

x 2 y2 + =1 的焦点 F1、F2,在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M,求以 F1、F2 为焦点, 5 9

通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

20. (本小题满分 12 分) 一条变动的直线 l 与椭圆

x 2 y2 + =1 交于 P、Q 两点,M 是 l 上的动点,满足关系 2 4

|MP|·|MQ|=2.若直线 l 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程, 并说明曲线的形状.

21. (本小题满分 12 分) 设椭圆

x 2 y2 + =1 的两焦点为 F1、F2,长轴两端点为 A1、A2. a 2 b2
0

(1) P 是椭圆上一点,且∠F1PF2=60 ,求Δ F1PF2 的面积; 0 (2) 若椭圆上存在一点 Q,使∠A1QA2=120 ,求椭圆离心率 e 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个顶点为A(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点到直线 x-y+2 2 = 0 的距离为3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时, 求 m 的取值范围.

椭圆训练试卷参考答案
一、B D C D A 二、13.4 或 9
4

A A ADC

B C 15. 3 ? 2 6 5 16.18π

2 2 14. x ? y ? 1 8 2

三、17.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由焦点半径公式有 a-ex1+a-ex2= 8 a,∴x1+x2= 1 a(∵e= 4 ),即 AB
5 2
2

5
2

中点横坐标为 1 a,又左准线方程为 x=- 5 a,∴ 1 a+ 5 a= 3 ,即 a=1,∴椭圆方程为 x + 25 y =1.
4 4 4 4 2
2
2

9

18.解: (1)直线 AB 的方程为 y=2
2

1 x+2; 2

(2)所求椭圆的方程为 x + y =1.
12 3

19.解:由 x +
9

y / / =1,得 F1(2,0) ,F2(-2,0) ,F1 关于直线 l 的对称点 F1 (6,4) ,连 F1 F2 交 l 于一 5

点,即为所求的点 M,∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1 F2|=4 程为 x + y =1.
20 16
2
2

/

5 ,∴a=2 5 ,又 c=2,∴b =16,故所求椭圆方
2

20.解:设动点 M(x,y),动直线 l:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组 ?y ? x ? m, 的解, ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 消去 y,得 3x +4mx+2m -4=0,其 Δ =16m -12(2m -4)>0,∴2 x1x2= 2m ? 4 , 故 |MP|= 3
2 2 2 2

6 <m< 6 ,x +x =1 2

4m , 3

2

|x-x1| , |MQ|=

2

|x-x2| . 由 |MP||MQ|=2 , 得 |x-x1||x-x2|=1 , 也 即

2 2 2 2 2 2 2 |x -(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有|x + 4 mx + 2m ? 4 |=1.∵m=y-x,∴|x +2y -4|=3.由 x +2y -4=3,得椭 3 3

2 2 圆 x + 2 y =1 夹在直线 y=x± 7 7

6 间两段弧,且不包含端点.由 x +2y -4=-3,得椭圆 x +2y =1.
2 2 2 2

21.解: (1)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 S ?PF F =
1 2

1 2

r1r2sin∠F1PF2,由 r1+r2=2a,

4c =r1 +r2 -2cos∠F1PF2,得 r1r2=

2

2

2

2b 2 .代入面积公式,得 1 ? cos?F1PF2

2 2 2 S ?PF F = sin ?F1PF2 b =b tg∠ F1 P F2 = 3 b . 1 2 3 2 1 ? cos?F1PF2

(2)设∠A1QB=α ,∠A2QB=β ,点 Q(x0,y0)(0<y0<b).tgθ =tg(α +β )= t g? ? t g? = 1 ? t g?t g?

a ? x0 a ? x0 ? y0 y0 2 2 a ? x0 1? 2 y0

=

2 2 2ay0 .∵ x 0 + y 0 =1,∴x0 =a 2 2 2 2 2 b a x 0 ? y0 ? a

2

2

a2 b2

-y0 .∴tgθ =

2

2 = 2ab =2ay 0 2 2 ? c y0 a ?b 2 ? y0 2 b

3.

2

∴2ab ≤

2

3 c2y0≤ 3 c2b, 即 3c4+4a2c2-4a4≥0,∴3e4+4e2-4≥0,解之得 e2≥ 2 ,∴
3

6 ≤e<1 为所求. 3

22.解: (1)用待定系数法.椭圆方程为 x 2 ? y 2 =1.
3

? y ? kx ? m, 2 2 2 2 2 (2)设P为弦MN的中点.由 ? 2 得(3k +1)x +6kmx+3(m -1)=0.由Δ >0,得 m <3k ?x 2 ? ? y ? 1, ?3

+1 得

①,∴xP= x M ? x N ? ? 3mk ,从而,yP=kxp+m= m .∴kAP= ? m ? 3k ? 1 .由MN⊥AP, 3k 2 ? 1 3km 2 3k 2 ? 1
2

?

2 m ? 3k 2 ? 1 =- 1 , 即 2m=3k +1 k 3km

②. 将②代入①, 得 2m>m , 解得0<m<2. 由②得 k = 2 m ? 1 3
2 2

>0.解得 m> 1 .故所求 m 的取值范围为( 1 ,2) .

2

2


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