高中复数教案练习题及答案


2014 年考纲: 1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. 2.掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数形式的加法、减法、乘法、除法运算. 3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想. 注:对于复数的考查越来越简单,一般只有一个选择题,以代数形式运算为主,另外还 有时考查复数的有关概念,代数形式的运算技巧,复数的几何意义,复数模的最值,复数平 面内点的轨迹等. 1.复数的有关概念 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,当 b=0,z 是实数;当 b≠0 ,z 是虚数,当 a=0,b

≠0 ,z 是纯虚数.
(2)若 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),当 a1=a2,b1=b2 ?z1=z2.

z=a+bi(a,b∈R),则 z=0? a=b=0 .
(3)z=a+bi(a,b∈R),则 z = a-bi . |z|= a 2 ? b 2 ,z 对应平面上的点 Z(a,b) ; |z1-z2|表示 Z1、Z2 两点间的距离 2.复数的运算 (1)(a+bi)± (c+di)=(a±c)+(b±d)i . (2)(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i . a+bi (a ? bi )( c ? di ) (3) = c+di c2 ? d 2 (4)①i4n= i4n 2=


,i4n 1=


. . .

,i4n 3=


②(1+i)2=

,(1-i)2=

1 3 ③1 的立方根 w=- + i; 2 2 1 3 w =- - i 的性质. 2 2 有 w3=1, w 3=1,w2= w , w 2=w. 题型一 复数的概念
2 2

例 1 设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i, 试求实数 m 取何值时, (1)z 是纯虚数; (2)z 是实数;(3)z 对应的点位于复平面的第二象限. 【解析】
2

? ?lg m -2m-2 (1)由? 2 ?m +3m+2≠0, ?

2

0,

得 m=3.

(2)由 m +3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2.

?lg m -2m-2 ? (3)由? 2 ?m +3m+2>0, ?

2

<0,

得-1<m<3.
? ?a=0, ?b≠0, ?

探究 1 复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件为? ≠0,从而造成错误. 思考题 1 【解析】
?2-b=0, ? ? ?2b+1≠0, ?

做题时容易忽略 b

(1)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位, b 是实数), 则 b=________. (1 + bi)(2 + i) = 2 + i + 2bi - b = (2 - b) + (2b + 1)i 为 纯 虚 数 时 ,

∴b=2.

【答案】 2 (2)(2012?陕西)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的( i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

b

)

【解析】 复数 a+ =a-bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0;而 ab=0 表示 a=0 或者 b=0,故 i “ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充分条件,故选 B. i 【答案】 B 题型二 复数的运算

b

b

例 2 (1)(2011?浙江理)把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位.若 z=1+i,则 (1+z)? z =( A.3-i C.1+3i ) B.3+i D.3

【解析】 (1+z)·z =(2+i)(1-i)=3-i. 答案:A (2)已知复数 z1=cos23°+isin23°和复数 z2=cos37°+isin37°,则 z1?z2 为 1 3 A. + i 2 2 B. 3 1 + i 2 2 1 3 C. - i 2 2 D. 3 1 - i 2 2

【解析】

z1z2 = (cos23° + isin23° )(cos37° + isin37° ) = cos23° cos37° - sin23° sin37° +

1 3 (sin37° cos23° +cos37° sin23° )i=cos60° +isin60° = + i. 2 2 答案:A

探究 2 代数形式的复数运算,基本思路是应用法则,但如果能通过对表达式的结构特 征的分析,灵活运用 i 的幂的性质,1 的立方虚根ω 的性质以及 1±i 的幂的性质等,将可 有效地简化运算,提高速度. 思考题 2 (1)(2012?福建)若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于( A.-1-i C.-1+i 1-i 1-i i 【解析】 z= = =-1-i. i i?i 答案:A 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.6+5i C.-6+5i 解析 B.6-5i D.-6-5i 5-6i =( i ) B.1-i D.1+i )

5-6i =-5i-6=-6-5i,选 D. i

答案:D 2.(2012?湖南)复数 z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( A.-1-i C.1-i B.-1+i D.1+i )

解析 ∵z=i(i+1)=-1+i,∴ z =-1-i.

答案:A
10i 3.(2012?北京)在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 3+i A.(1,3) C.(-1,3) 解析 A. 答案:A 1+ai 4.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 1 C.- 2 ) B.-2 D. 1 2 由 ) B.(3,1) D.(3,-1)

10i?3-i? 10?1+3i? 10i = = =1+3i,得该复数对应的点的坐标为(1,3),选 10 3+i ?3+i??3-i?

解析

方法一

1+ai = 2-i

1+ai 2-i

2+i 2-a = 2+i

2a+1 i 为纯虚数,所以 2-a 5

=0,a=2,故选 A. 方法二 答案:A 5.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 1+i=z(-1+i),则复数 z A.i C.1 B.-i D.-1
2 012

1+ai i a-i = 为纯虚数,所以 a=2,故选 A. 2-i 2-i

等于

1+i 1+i 1 2 012 解析 z= = 2 = =-i,则复数 z 等于 1.故选 C. -1+i i +i i 答案:C 6.设 x>0,若(x+i) 是纯虚数(其中 i 为虚数单位),则 x=( A.±1 C.-1
2 2 2 2

) B.2 D.1

解析 (x+i) =x -1+2xi,因为(x+i) 是纯虚数,所以 x=±1,结合 x>0,得 x= 1. 答案:D

1.(2012· 天津)i 是虚数单位,复数 A.2+i C.-2+i 答案 解析 B

7-i = 3+i B.2-i D.-2-i

(

)

7-i ?7-i??3-i? 20-10i = = 10 =2-i. 3+i ?3+i??3-i? ( )

2.(2012· 安徽)复数 z 满足(z-i)(2-i)=5,则 z= A.-2-2i C.2-2i 答案 解析 D 由题意知 z= 5?2+i? 5 +i= +i=2+2i. 2-i ?2-i??2+i? 2 的四个命题: -1+i B.-2+2i D.2+2i

3.(2012· 新课标全国)下面是关于复数 z= p1:|z|=2, p2:z2=2i,

p3:z 的共轭复数为 1+i, 其中的真命题为 A.p2,p3 C.p2,p4 答案 解析 C ∵ z=

p4:z 的虚部为-1, ( B.p1,p2 D.p3,p4 )

2 =-1-i,∴|z|= 2,z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,z 的共 -1+i

轭复数为-1+i,z 的虚部为-1,综上可知 p2,p4 是真命题. 4.在复平面内,复数 z=cos3+isin3(i 是虚数单位)对应的点位于 ( A.第一象限 C.第三象限 答案 解析 B π 因为2<3<π,所以 cos3<0,sin3>0,故点(cos3,sin3)在第二象限,即 B.第二象限 D.第四象限 )

复数 z=cos3+isin3 对应的点位于第二象限. 5.已知 a∈R,若(1-ai)(3+2i)为纯虚数,则 a 的值为 3 A.-2 2 C.-3 答案 解析 3 -2. 6.复数 2 A.5 1 C.5 答案 A i (i 是虚数单位)的实部是 1+2i 2 B.-5 1 D.-5 ( ) A ?3+2a=0, (1-ai)(3+2i)=(3+2a)+(2-3a)i 为纯虚数,故? 得 a= ?2-3a≠0, 3 B.2 2 D.3 ( )

解析

2+i i 2 = 5 ,实部为5. 1+2i ( )

7.已知(x+i)(1-i)=y,则实数 x,y 分别为 A.x=-1,y=1 C.x=1,y=1 答案 解析 D B.x=-1,y=2 D.x=1,y=2

由(x+i)(1-i)=y,得(x+1)+(1-x)i=y.又因 x,y 为实数,所以有

?y=x+1, ?x=1, ? 解得? ?1-x=0, ?y=2. π 2 2 8.设 0<θ<2,(a+ 2 i)(1-i)=cosθ+ 2 i,则 θ 的值为 2π A. 3 π C.3 答案 D ) 3π B. 4 π D.4 ( )

9. (2013· 西城区)设 i 是虚数单位, 复数 z=tan45° -i· sin60° , 则 z2 等于( 7 A.4- 3i 7 C.4+ 3i 答案 解析 B 3 1 z=1- 2 i,z2=4- 3i. 1 B.4- 3i 1 D.4+ 3i

10. 设复数 z 的共轭复数是 z , 若复数 z1=3+4i, z2=t+i, 且 z1·z2 是实数, 则实数 t 等于 3 A.4 4 C.-3 答案 解析 A 3 z1·z2 =(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i 是实数,则 4t-3=0,∴t=4. 4 B.3 3 D.-4 ( )

1+i 2 011 11.i 为虚数单位,则( ) = 1-i A.-i C.i 答案 解析 A 因为 B.-1 D.1

(

)

1+i ?1+i??1+i? = =i,所以原式=i2 011=i4?502+3=i3=-i. 2 1-i )

12. 对任意复数 z=x+yi(x, y∈R), i 为虚数单位, 则下列结论正确的是( A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x 答案 解析 D B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

|z|= x2+y2≤ x2+2|xy|+y2= ?|x|+|y|?2=|x|+|y|,D 正确,易知 A、

B、C 错误. 13.(2012· 江苏)设 a,b∈R,a+bi= ________. 答案 解析 8. 14.(2012· 湖南)已知复数 z=(3+i)2(i 为虚数单位),则|z|=________. 答案 解析 10 因为 z=(3+i)2=8+6i,所以|z|= 82+62=10. 8 ∵a+bi= 11-7i ?11-7i??1+2i? = =5+3i,∴a=5,b=3,∴a+b= 5 1-2i 11-7i (i 为虚数单位),则 a+b 的值为 1-2i

15.(2011· 江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 是虚数单位),则 z 的实部 是________. 答案 解析 1 z= -3+2i -1=1+3i,所以 z 的实部是 1. i

16.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为 A, → → → B,C,若OC=xOA+yOB,求 x+y 的值.

答案 解析

5 → → → 由OC=xOA+yOB,得(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i)=(-x+y)+(2x

?-x+y=3, ?x=1, -y)i,∴? 解得? 故 x+y=5. ?2x-y=-2. ?y=4, 17. (2013· 沧州七校联考)已知实数 m, n 满足 求双曲线 mx2-ny2=1 的离心率. 答案 解析 3 ?m=1+n, m=(1+i)(1-ni)=(1+n)+(1-n)i,则? ∴n=1,m=2, ?1-n=0, m =1-ni(其中 i 是虚数单位), 1+i

从而 e= 3. 18.(2011· 上海)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1z2 是实数,求 z2. 答案 解析 z2=4+2i (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i,

设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1z2∈R,∴z2=4+2i.


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