2015上海三校生数学真题(含详解)


2015 年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试

数学试卷
考生注意: 1.本试卷满分 100 分,考试时间 100 分钟. 2.本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求;所有答题必须涂(选择题)或 写(非选择题)在答题纸上,作图可以使用铅笔,在草稿纸和试卷上答题一律无效. 3.答题前,考试务必用签字笔、钢笔或圆珠笔在答题纸上清楚地填写姓名、准考证号,并将 核对后的条形码贴在指定位置上. 4.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位. 一、选择题(本大题共 6 题,每题 2 分,满分 12 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上.】 1.已知指数函数 f ( x) ? 10 x ,若 f (a) ? f (4) ,则( A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 4 D. a ? 4 )

【考查内容】指数函数的单调性 【答案】B 【解析】 f ( x) ? 10 x 在定义域内单调递增, f (a) ? f (4) ,则 a ? 4 . 2.图①、②、③是图 1 所示几何体的三个视图,则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依 次为( )

① ② ③ 15SH1 15SH2 15SH3 A.①③② B.①②③ C.③①② D.③②① 【考查内容】简单几何体的三视图 【答案】D 【解析】该几何体的主视图为③,俯视图为②,左视图为①. 3.不等式 2 x ? 1 ? 3 的解集为( A. (?∞, ?2] ? [1, ?∞) ) C. (?∞, ?2) D. (?2,1)

图1 15SH4

B. (?∞, ?1] ? [2, ?∞)

【考查内容】绝对值不等式 【答案】A 【解析】 2 x ? 1 ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3或2 x ? 1 ? ?3 ? x ? 1或x ? ?2 .

4.某中职校在职业体验开放日活动中,要从 4 名男生和 5 名女生中任选两名担任讲解员,假 设每名学生被选中的可能性相同,则正好选出一名男生和一名女生的概率为( ) A.
2 9

B.

5 18

C.

5 9

D.

1 4

【考查内容】等可能事件的概率 【答案】C C1 C1 5 【解析】所求概率 P ? 4 2 5 ? . 9 C9 5.“ a ? 1, b ? ?1 ”是“方程 ax 2 ? by 2 ? 1 表示的曲线为双曲线”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 【考查内容】双曲线的标准方程,充分、必要条件 【答案】A )

D.既非充分又非必要条件

【解析】 a ? 1, b ? ?1 ? 方程 ax 2 ? by 2 ? 1 表示的曲线是双曲线;方程 ax 2 ? by 2 ? 1 表示的曲线 是双曲线 ? ab ? 0 ? / a ? 1, b ? ?1 .是充分非必要条件. 6.如图 2 所示,在三角形空地中欲建一个内接矩形花园(阴影部分) ,则矩形的面积 y(平方 米)与其一条边长 x(米)之间的函数关系是( )

图2 15SH5 A. y ? x 2 ? 40 x(0 ? x ? 40) C. y ? 40 x ? x 2 (0 ? x ? 40) B. y ? x 2 ? 20 x(0 ? x ? 40) D. y ? 20 x ? x 2 (0 ? x ? 40)

【考查内容】二次函数的实际应用 【答案】C 【解析】 如图, ∵ BC ? DE ,∴ △ABC ∽ △ADE , ∴
y ? x(40 ? x) ? 40 x ? x 2 (0 ? x ? 40) . BC AF ? , ∴ BC ? AF ? x , ∴ FG ? 40 ? x , DE AG

15SH6

二、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,满分 36 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上.】 7.已知全集为 ?1, 2,3, 4,5? ,则集合 ?2, 4? 在全集中的补集为 【考查内容】集合的补集 【答案】 ?1,3,5? 8.函数 f ( x) ? x 2 的定义域为 【考查内容】函数的定义域 【答案】 [0, ?∞) 【解析】 f ( x) ? x 2 ? x ,其中 x ? 0 . 9.下表为甲、乙两个家庭两个月的消费情况,则甲、乙两个家庭这两个月各自消费金额的月 平均值用列矩阵表示为 . 三月消费金额(元) 甲 乙 【考查内容】矩阵 ? 3014 ? 【答案】 ? ? ? 4255 ?
3088 ? 2940 乙家庭这两个月的消 ? 3014 , 2 ? 3014 ? 4210 ? 4300 费金额的月平均值是 ? 4255 ,用列矩阵表示为 ? ?. 2 ? 4255 ?
1 1

.

.

四月消费金额(元) 2940 4300

3088 4210

【解析】 甲家庭这两个月的消费金额的月平均值是

10.某市出租车运价 y(元)与行驶里程 x(千米)的关系如图 3 所示,若输入的 x 为 8,则 输出的 y 为 .

图3 15SH7

【考查内容】程序框图 【答案】26
?14, 0 ? x ? 3 ? 【解析】该程序框图表示的函数为 y ? ?2.4 x ? 6.8,3 ? x <10 , x ? 8 时, y ? 2.4 ? 8 ? 6.8 ? 26 . ?3.6 x ? 5.2, x ? 10 ?

11.在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经 过点 P(?1, 2) ,则 sin ? ? . 【考查内容】任意角的三角函数 【答案】
2 5 5 2 (?1) ? 2
2 2

【解析】由任意角的三角函数的定义得 sin ? ?

?

2 5 . 5

12. 若 函 数 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (2015) ? f (?2015) ? 4 , 则 . f (2015) ? 【考查内容】偶函数的性质 【答案】2 【解析】由偶函数的性质得 f (?2015) ? f (2015) ,∴ f (2015) ? f (?2015) ? 2 f (2015) ? 4 ,得 f (2015) ? 2 . 13.若复数 z ? (a 2 ? 2) ? (a ? 2)i (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? 【考查内容】纯虚数的概念 【答案】 2
?a 2 ? 2 ? 0 ? 【解析】由纯虚数的概念可得 ? ,解得 a ? 2 . ? ?a ? 2 ? 0

.

14.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,若 C 上的点 M 到 y 轴的距离为 3,则点 M 到 C 的焦点 F 的距离 为 . 【考查内容】抛物线的定义 【答案】4 【解析】抛物线的准线方程是 x ? ?
p ? ?1 ,∴点 M 到准线的距离为 4,由抛物线的定义可 2

知点 M 到 C 的焦点 F 的距离为 4. 15.如图 4 所示,以沪 D·Z 打头后面加四个阿拉伯数字是上海新能源车牌专段号码之一, 车牌号码中的阿拉伯数字是 0 到 9 这十个自然数中的任意一个,则以沪 D·Z 打头的新能源 车牌号码最多可有 个.(结果用数值表示)

图4 15SH8 【考查内容】分步计数原理 【答案】10 000

【解析】由分步计数原理可知号码最多有 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 000 个.
3 ? 16.已知 cos ? ? ? , ? ? (0, ?) ,则 sin(? ? ) ? 5 3

.

【考查内容】同角三角比的关系,加法定理 【答案】
4?3 3 10 4 , 5

【解析】∵ ? ? (0, ?) ,∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 . sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? (? ) ? ? 3 3 3 5 2 5 2 10 ? x ? y ? 1, ? 17.已知实数 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? y 仅在点(1,0)处取得最小 ?2 x ? y ? 2. ?

值,则实数 a 的取值范围是 【考查内容】线性规划 【答案】 (?2,1)

.

【解析】如图所示:(1)当 a ? 0 时,显然成立; (2)当 a ? 0 时,需满足 ?a ? ?1 ,此时 0 ? a ? 1 ; (3)当 a ? 0 时,需满足 ?a ? 2 ,此时 ?2 ? a ? 0 . 综上所述,实数 a 的取值范围是 (?2,1) .

15SH9 18. 设 数 列 ?an ? (n ? N*) 是 等 比 数 列 , 公 比 q 为 整 数 , 若 数 列 ?an ? 的 连 续 四 项 是 集 合
{?24, ?6,3, 6,12} 中的四个元素,则 q ?

.

【考查内容】等比数列 【答案】 ?2 【解析】观察该集合中的五个元素,有两个负数三个正数,等比数列的连续四项中第 1 项和 第 3 项、第 2 项和第 4 项符号相同,∴ ?24 和 ?6 是该等比数列连续四项中的两项,由等比 中项的性质可知 12 为 ?24 和 ?6 的等比中项,另一项为 3.由于公比 q 为整数,故为 ?2 . 三、解答题(本大题共 6 题,满分 52 分) 【解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤.】

19.(本题满分 7 分)第(1)小题满分为 3 分,第(2)小题满分为 4 分. 图 5 的正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 3 ,高为 1,O 为下底面的中心. 求: (1)异面直线 AB 与 CD1 所成角的大小; (2)正四棱锥 O ? ABCD 的体积.

图5 15SH10 【考查内容】异面直线所成的角,棱锥的体积 【 解 】 (1) ∵ AB ? CD , ∴ ?DCD1 为 异 面 直 线 AB 和 CD1 所 成 的 角 , 在 △ DCD1 中 ,
tan ?DCD1 ? DD1 1 3 , ?DCD1 ? 30? ,即异面直线 AB 和 CD1 所成的角为 30? . ? ? DC 3 3

1 1 (2) V ? S ABCD ? AA1 ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 . 3 3

20. (本题满分 7 分)第(1)小题满分为 2 分,第(2)小题满分为 5 分. 如图 6,在直角坐标平面内,等腰梯形 ABCD 的下底 BC 在 x 轴上,BC 的中点是坐标原点 O, 已知 AD ? AB ? DC ? 1, BC ? 2 . ???? (1)写出与向量 OD 相等的一个向量,其起点与终点是 A、B、C、D、O 五个点中的两个点; ? ???? ???? ? ? (2)设向量 a ? OC ? OD ,求出向量 a 的坐标,并在答题纸上的图 6 中画出向量 a 的负向量, 要求所画向量的起点与终点是 A、B、C、D、O 五个点中的两个点.

图6 15SH11 【考查内容】平面向量的线性运算 【解】(1)易知 AB ? BO 且 AB ? BO ,∴四边形 ABOD 为平行四边形.∴ AB ? OD 且 AB ? OD . ???? ??? ? ∴ OD ? BA . ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? (2) 如 图 所 示 , 作 平 行 四 边 形 OCED , 则 OD ? CE , ∴ a ? OC ? OD ? OC ? CE ? OE , 易 知
? ??? ? OE ? BD 且 OE ? BD ,∴ ? a ? DB .

15SH12 21. (本题满分 8 分)每小题满分各为 4 分.
? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? )( x ? R ) . 4 (1) 写出函数 f ( x) 的最小正周期 T 和最大值 M,并求出当函数 f ( x) 取最大值时与之对应的 x

的一个值;
? 21 (2)△ABC 的三个内角分别为 A、B、C,已知 f ( A ? ) ? 3 , BC ? 7 , sin B ? ,求 AC 的 4 7 长. 【考查内容】正弦型函数的图像和性质

【解】(1) T ? (符合 x ?

2? ? ? ? ? 2? , f ( x) max ? 2 ,取最大值时 x ? ? ? 2k ? , k ? Z .即 x ? ? 2k ? , k ? Z . 1 4 2 4

? ? 2k ? , k ? Z 的任意的一个 x 的值均得分) 4

? 3 AC BC ( 2 ) f ( A ? ) ? 2sin A ? 3 , ∴ sin A ? , 在△ ABC 中,由正弦定理可得 ,得 ? 4 2 sin B sin A AC ? 2 .

22. (本题满分 10 分)每小题满分各为 5 分. 某地政府支持当地老公房加装电梯,补贴其建设总费用的 50%,另外 50%由住户分摊. 住户按如下步骤分摊费用: (一)先按楼层分摊,底层住户不出钱,从第二层起,每层都比下面一层增加费用 k; (二)每层分摊到的费用再按户平均分摊. 现计划为某小区 1 号六层老公房加装电梯,建设总费用为 48 万元.(本题涉及的费用均以万 元为单位) (1)设第 n 层住户分摊到的费用为 an (n ? N*, n ? 6) , a1 ? 0 ,求 k; (2) 该号每层有 8 户, 设第 n 层的每一户分摊到的费用为 bn (n ? N*, n ? 6) , 求 b4 以及数列 ?bn ? 的通项公式. 【考查内容】等差数列的实际应用 【解】(1)由题意可得每一层建设费用成等差数列,第一层费用为 0, · · · ,第六层费用为 5k , 则
0 ? 5k 16 ? 6 ? 48 , k ? . 2 5 k 8 ? 的等差数列. 2 5

(2) 由题意可得第 n 层住户分摊的的费用 an 是以首项 a1 ? 0 ,公差为
a 8 8 1 3 则 an ? a1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) .则 bn ? n ? (n ? 1) , b4 ? . 5 5 8 5 5

23. (本题满分 10 分)每小题满分各为 5 分.

已知函数 f ( x) ? log 2 x . (1)在答题纸相应位置的坐标系中画出函数 y ? f ( x) 的大致图像,并写出实数 m 的取值范 围,使得 x ? [m,3] 时, f ( x) ? 0 ; (2)设 0 ? a ? b ,如果 f ? a ? ? f ? b ? ,问 a 与 b 的乘积是否为定值?若是,请求出该定值; 若不是,请说明理由. 【考查内容】对数函数的图像和性质 【解】(1) y ? f ( x) 的大致图像如图所示:

15SH13 由图可知,m 的取值范围是 [1,3) . (2) 由 函 数 f ( x) ? log 2 x 在 定 义 域 内 单 调 递 增 , 可 知 0 ? a ? 1 ? b . 由 f ? a ? ? f ? b ? 可 得
? log 2 a ? log 2 b , log 2 a ? log 2 b ? log 2 ab ? 0 ,得 ab ? 1 .∴a 与 b 的乘积为定值 1.

24. (本题满分 10 分) 第(1)小题满分为 3 分,第(2)小题满分为 7 分.
x2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 ). a2 (1)若曲线 C 是圆,且直线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与该圆相切,求实数 k;

圆锥曲线 C 的方程为

(2)设 a ? 1 ,曲线 C 的一个焦点为 F (c, 0)(c ? 0) ,它与 y 轴正半轴的交点为 B,过点 B 且垂 直于 BF 的直线 l 与 x 轴相交于点 D(?
3 , 0) ,与曲线 C 的另一个交点为 E,求 a 以及线段 BE 3

的长. 【考查内容】直线与圆的位置关系,直线与椭圆相交的综合问题 【解】(1)曲线 C 是圆时, a ? 1 .圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 .由直线与圆相切可得圆心(0,0)到 该直线的距离为半径的长 1.即
?2 k ? (?1) 2
2

? 1 ,又∵ k ? 0 ,∴ k ? 3 .

(2)当 a ? 1 时,曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆. ∴ c ? a 2 ? 1 .即 F ( a 2 ? 1, 0), B(0,1), D(?
3 , 0) . 3

??? ? ??? ? 3 BF ? ( a 2 ? 1, ?1) , DB ? ( ,1) . 3 ??? ? ??? ? 3 由 BF ? ED 可得 BF ? DB ? 0 ,即 ,可得 a ? 2 . ? a2 ?1 ?1 ? 0 ( a ? 1 ) 3

椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,易知 BE 所在直线的斜率为 3 ,方程为 y ? 3 x ? 1 , 4

? 8 3 x ?? ? ? x1 ? 0 ? 2 13 , 可 得 方 法 一 : 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 可 得 ? , ? 11 ? y1 ? 1 ?y ? ? 2 ? 13 ? BE ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 16 3 . 13 8 3 , x1 x2 ? 0 . 13

方法二:联立直线与椭圆方程,消去 y 得 13x 2 ? 8 3x ? 0 , x1 ? x2 ? ? ∴ BE ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
16 3 . 13


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