圆锥曲线与方程知识点总结及练习


沿途教育 2.1 曲线与方程
1.曲线方程的定义 在直角坐标系中, 如果曲线 C (看做适合某条件的点的集合或者适合某种条件的点的 轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

2 小结:求曲线的方程的步骤: ① 建 立适当的坐标系 . ② 设 .M ( x, y) 为曲线上的任意一点的坐标 ③ 列出限 制条件 P 的点 M 的集合 P ; ? { M |p ( M ) } . ④ 将 M 点的坐标代 入条件 P ,写出方程 f(x ; ,y )? 0 . ⑤ 将方程 f(x 化 为最简形式; ,y )? 0 . 简称:“建设限代化”

2.2 椭
一、椭圆的定义:



平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a (其中 2a ? F1F2 )的点的轨迹叫做 椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1F2 . 注意:当 2a ? F1F2 时,表示线段 F1F2 ;当 2a ? F1F2 时,轨迹不存在.

?

?

二、椭圆的标准方程与几何性质:
1

当椭圆焦点在 x 轴上时 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

当椭圆焦点在 y 轴上时
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范 围 对称轴 对称中心 长轴、短 轴 顶点坐标 焦点坐标 离心率

? a ? x ? a , ?b ? y ? b

?a ? y ? a , ?b ? x ? b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O(0, 0) 长轴长 2a ,短轴长 2b
(? a, 0) , (0, ?b) (?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
e? c ( 其中 0 ? e ? 1) a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O(0, 0) 长轴长 2a ,短轴长 2b
(0, ? a) , (?b, 0) (0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
e? c ( 其中 0 ? e ? 1) a

1. a 、 b 、 c 、 e 的几何意义: a 叫做长半轴长; b 叫做短半轴长; c 叫做半焦距; a 、 b 、

c 之间满足 a 2 ? b2 ? c 2 . e 叫做椭圆的离心率, e ?
度, e 越大,椭圆越扁, e 越小,椭圆越圆.

c 且 0 ? e ? 1 , e 可以刻画椭圆的扁平程 a

2.点 P 是椭圆上任一点, F 是椭圆的一个焦点,则 PF max ? a ? c , PF min ? a ? c . 3.点 P 是椭圆上任一点,当点 P 在短轴端点位置时, ?F1PF2 取最大值. 4.椭圆的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c, 0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线 l :

2

沿途教育
x?
c a2 的距离的比是常数 e ? (0 ? e ? 1) 时,这个点的轨迹是椭圆,定点是椭圆的焦点, a c

定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率.
x2 y 2 5.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? , a b

则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

.

三、点与椭圆位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 位置关系: a 2 b2

x0 2 y0 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b
2 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? x0 ? y0 ? 1 a 2 b2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ?

x0 2 y0 2 ? ?1 a 2 b2

四、直线与椭圆位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系及判定方法 位置关系 相交 相切 公共点 有两个公共点 有且只有一个公共 点 无公共点
??0 ??0

判定方法 直线与椭圆方程 首先应消去一个 未知数得一元二 次方程的根的判 别式 ?

相离

??0

(2)弦长公式:设直线 y ? kx ? b 交椭圆于 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
2 x1 ? x2 ,或 | PP 则| P 1P 2 |? 1 ? k 1 2 |? 1 ?

1 y1 ? y2 (k ? 0) . k2

3

2.3 双曲线
一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a (其中 2a ? F1F2 )的点的 轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1F2 . 注意:当 2a ? F1F2 时,表示分别以 F1 、 F2 为端点的两条射线;当 2a ? F1F2 时,轨迹 不存在.

?

?

二、双曲线的标准方程与几何性质: 当双曲线焦点在 x 轴上时 标准方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

当双曲线焦点在 y 轴上时
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

范 围 对称轴 对称中心 实轴、 虚轴 顶点坐标 焦点坐标 渐近线 离心率

x ? ? a ,或 x ? a

y ? ? a ,或 y ? a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O(0, 0) 实轴长 2a ,虚轴长 2b
(? a, 0) (?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
x y b ? ? 0 ,即 y ? ? x a b a c e ? ( 其中 e ? 1) a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O(0, 0) 实轴长 2a ,虚轴长 2b
(0, ? a) (0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
y x a ? ? 0 ,即 y ? ? x a b b c e ? ( 其中 e ? 1) a

4

沿途教育
1. a 、 b 、 c 、 e 的几何意义: a 叫做半实轴长; b 叫做半虚轴长; c 叫做半焦距; a 、 b 、

c 之间满足 c2 ? a 2 ? b2 . e 叫做椭圆的离心率,e ?

c 且 e ? 1 . e 越大,双曲线的张口就越大. a

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线为 y ? ? x 离心率 e ? 2 . 3. 双曲线的第二定义: 当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线 l :
x?
c a2 的距离的比是常数 e ? (e ? 1) 时,这个点的轨迹是双曲线,定点是双曲线的焦点, a c

定直线叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地,直线与双曲线有一个公共点,除相切外还有当 直线与渐进线平行时,也是一个公共点.
x2 y 2 5.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 a b

?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t

?
2

2.4 抛物线
一、抛物线的定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛 物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 注意:当定点 F 在定直线 l 上时,点的轨迹为过点 F 与直线 l 垂直的直线.

5

二、抛物线的标准方程与简单几何性质:

标准方 程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

图形

焦点坐 标 准线方 程 范围 对称性 顶点 离心率

p ( , 0) 2
x?? p 2

(?

p , 0) 2
p 2

p (0, ) 2
y?? p 2

p (0, ? ) 2
y? p 2

x?

x?0

x?0

y?0

y?0

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

1. p 的几何意义: p 表示焦点到准线的距离. 2 p 表示抛物线的通径(过焦点且垂直于轴 的弦). 2. 若点 M ( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点,则 MF ? x0 ?
p . 2

3. 若 过 焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两 点 , 则 弦 长

AB ? x1 ? x2 ? p .
4. 焦点弦长 | AB | ?
2p sin 2 ? (其中?为直线AB 的倾斜角)

6


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