三段九环教学设计——余弦定理


余 弦 定 理
吉林省大安市第一中学校 一、教学内容分析
人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书·必修(五)》第一章《解三角形》第一单 元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理,正确理解其结构特征和 表现形式,解决“边、角、边”和“边、边、边”问题,初步体会余弦定理解决“边、边、 角”,体会方程思想,激发学生探究数学,应用数学的潜能。

刘海礁

二、学生学习情况分析
本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形 中的边角关系有了较进一步的认识。 在此基础上利用向量方法探求余弦定理, 学生已有一定 的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问 题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在 发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从 具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交流,深刻地理解基本结论的本质, 体验数学发现和创造的历程,力求对生活中蕴含的一些数学模式进行思考,作出判断;同时 要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化,从课堂的执行者 向实施者、探究开发者转化。本节课遵循新课程要求,利用师生的互动合作,提高学生的数 学思维能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,激发学生探究数学、应用数学知识的潜 能。

四、教学目标
1.通过实践与探究,会利用数量积证明余弦定理,提高数学语言的表达能力,体会向量 工具在解决三角形的度量问题时的作用。 2.会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围,并通过实践演算掌握运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 3.在方程思想指导下,提升处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数 量积等知识间的关系 ,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。[

五、教学重难点
教学重点:余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。 教学难点:理解余弦定理的作用及适用范围。 突破关键:将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。

学科 课型

数学 新课

课题 班级

余弦定理 一年十三班 授课人 刘海礁

课 标

(1) 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题。 (1)掌握余弦定理的内容及其变形形式,能够运用余弦定理解 知识 与 技能 决相关边角问题。 (2)体会余弦定理证明的思路及过程,学会运用其解决实际建 模问题。 (1)运用向量、坐标系法的相关知识,使得几何问题代数化。

学 习 目 标 过程 与 方法

(2)多种角度证明余弦定理,一题多解,同时开发学生思考问 题的角度多样性。 (3)在余弦定理的应用中,培养学生利用方程思想解决三角形 问题。 (4)引导学生体会“发现问题,思考问题,解决问题”的过程, 使学生深刻体会定理的内涵。 (1)在余弦定理的证明过程中,引导学生自主探究证明的思路 情感 态度 价值观 及解法,培养学生善于思考,勇于思考的精神。 (2)运用余弦定理解决实际问题,使得学生了解到数学的实用 性。激发学生热爱数学的情感。同时培养学生的数学应用意识。

重点 难点 关键 教 学

余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。 理解余弦定理的作用及适用范围。 将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组 环节 学生活动 教师活动 一段:出示目标 设计意图



程 复习提问

1、 一般三角形全等的四种判断 防止遗 学 生 举 手 回 答 2 、 三 角 形 的 正 弦 定 理 内 容 回顾旧知, 忘 问题 a b c ? ? ,主要 sin A sin A sin C 解决哪几类问题的三角形? 学生可能比较茫 然,帮助学生分析 相关内容,激发求 知欲望 在△ABC 中 a=8,b=5,∠c =60°,你能求 c 边长吗? 引导学生从平面几何、实践作 图方面进行估计判断。 从多角度看待问 题, 用实践进行检 验。 方法是什么?

导入新课

出示目标

阅读目标

出示目标

使学生明确学 习任务

二段:落实目标
你能够有更好的具体的量化方 分组合作, 利用向 量法推导余弦定 理,并展示结果 让学生从错误中 发现问题, 巩固向 法吗? 量知识, 明确向量 帮助学生从平面几何、三角函 工具的作用。同 数、向量知识、坐标法等方面 时, 让学生明确数 进行分析讨论,选择简洁的处 学中的转化思想: 理工具,引发学生的积极讨论。 化未知为已知。

教 学 过 程

指导自学

督导合作

余 弦 定 理 的 推 论 : 观察余弦定理, 指 明了三边长与其 b2 ? c2 ? a2 cos A ? 中一角的具体关 2bc 系, 并发现 a 与 A, b 与 B,C 与 c 之 a2 ? c2 ? b2 cos B ? 间的对应表述, 同 2ac 时发现三边长的 平方在余弦定理 a2 ? b2 ? c2 cosC ? 中同时出现 2ab

使学生明确对应 关系, 树立方程思 想, 解决 “边、 角、 边”、“边、边、 边” 问题

例 1:在△ABC 中,已知 b= 60cm,c=34cm, A 分组合作, 利用公 = 41 °,求解三角形(角度精 式及计算器解题, 确到 1°,边长精确到 1cm) 并展示结果 例 2:在△ABC 中,已知 a= 134.6cm , b = 87.8cm , c = 161.7cm,解三角形(角度精确 到 1′)

应用数学知识求 解问题加强计算 器的运算功能, 同 时, 巩固好正弦定 理,余弦定理知 识, 发现两种知识 方法在解三角形 中的综合应用。 继续深化正弦、 余



3 : 已 知 △ ABC



弦定理, 尤其是余

聆听并比较两种 引导探究
方法的利弊。 能用 正弦定理解决的 问题均可以用余 弦定理解决, 更具 有优越性。

a ? 3, b ? 3, sin A ?

弦定理的方程思 6 求c 3 想求解问题优越 于余弦定理。 并让 学生初步发现

边长 分析:(1)用正弦定理 分析引导( 2 )应用余弦定理
2 2 2

a ? b ? c ? 2bc cos A 构造 “边、边、角”问
关于 C 的方程求解。( 题解法, 为下节学 习辅垫。

三段:检测目标
通过知 识 回 顾,使 学生各 自体会 收获。

总结展示 教 学 过 程 检测目标

学 生 1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题?各有什 么利与弊? 总结 回顾 2、从本课中你学到了哪些知识和方法?
1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看 见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆 与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离

积极 动手 做题

用练习 去巩固 所学知 识,使 d 1 与第二辆车的距离 d 2 之间关系为( ) 学生逐 步形成 A: d 1 > d 2 B: d 1 = d 2 C: d 1 < d 2 D:大小不确定 良好的 2、锐角△ABC 中 b=1,c=2,则 a 取值为( ) 知识结 构,加 A:(1,3) B:(1, 3 )C:( 3 ,2)D:( 3 , 强数学 知识应 5) 用能力 3、在△ABC 中若有 a cos A ? b cos B ,你能判断这 培养。

个三角形的形状吗?若 a cos B ? b cos A 呢?

布置作业

板 书 设 计

1、推导余弦定理及其推论 2、例 3、例 4 3、练习指导 4、小结投影正弦、余弦定理,比较它们理解知识

注:教学过程部分可自行调整。


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