一道高考题的简证


j 目 息 

中学生数学 ?2 0 1 3年 1月上 ? 第4 5 7期( 高中)  

广东 省珠 海 市第一 中学高一 ( 1 9 ) 班( 5 1 9 0 0 0 )   郭达雅  方晓楠  指导 教 师
题 目   ( 2 0 1 2年 全 国 高 考 安 徽 理 科 卷 ) 数 

审  学  
擘 


傅 乐新 
( c -  1)


_ - l  

只 需 取 > 石  +1的正 整 数 , 便 有 

列{ z   ) 满足 z 1 —0 ,  + 1 = = = 一 : +z   +c (  ∈  
N  ) .  

z   > ( n -1 ) ( C -  1) >  1


作 
这就 与① 矛盾 !  

( 工) ( 略)  

( I I ) 求C 得 取 值范 围 , 使{  } 是递 增数 列 .  
解  ( Ⅱ) 由  1 <z 2 , 得 0 <C ,   由0 一l z 1 <z 2 < …<z   <…, 得 o 4  ,  
由O <x   + 2 一z   + 1 一( 一z 2   + 1 +z   + 1 +c ) 一  

下 面只 需 用数 学归 纳法证明: 当0 < c ≤亡  
时, ② 成立 .   ( 1 ) 当  一1时 , 由于  :0 ,   有 O ≤z   <4 i , ② 成 立.   ( 2 ) 假设 当 n 一是时 , ②成 立 ,  

( ~z : +z   +c ) 一( z  1 一L z   ) ( 1 一z   + 1 一z   ) ,  
? . .  

1 >z   +z   >2 z   , 即  <   1
,  

即o 4, 2 7   <√ c ,  
① 

?


对任 意 E   N  , 都有 o 4z   <  1  

. 

则 由 o < c ≤ { , 可 知 0 ≤   < √ _ < 1 一 √   ,  
。 .

又。 . ’ 0< z  1 一z  

.  

+ l一

√   一( 一z l +z   +c ) ~√   二 = = ( z &  

一( 一z : +  + f ) 一L z  



√ _ ) ( 1 一√   一z   ) <0 , 即z   +   <√   ,  
又z   + l 一一3 5 i +z ^ +c  

一一5 C : +f ,  

. . 

对任 意  ∈N  , 都有 o ≤  < 


② 




 

+z   )  

一z   ) +  > 0,  

比较 ① 与② , 我们 有若 c >  1 则 由① , 得 



.  

O <x   +   <  , 就有 0 ≤z 抖  <  , 这 就 

是说当 n 一是 +1时 , ②也 成立 .  

z   一 z   一   一 c — z :   > c 一 丢 ,   ~一   = C - X  ̄  c 一 丢 ,  

- 

综合( 1 ) 、 ( 2 ) , 对 任 意  ∈N  , 都有 0 ≤z  
< 

于是 z   + 1 一z   =一z : +z   +c —z   一C -X :  

:( 、  +  ) ( √   一  ) >O , 即5 C   + 1 >  ,  

~= C - X z > c 一 ÷ ,  
将 I - 述  一 1不 等 式 相 加 , 得 z   >(  ~ 1 )  



故当o <c ≤亡 时, { z   ) 是递 增 数列 .  
( 责审   高 雪松)  

( 上接 第 4 4页 )  

2 . 同济 大 学数 学教 研 室. 高等数 学( 第 四版 ) .   参考 文献  高等教 育 出版社 , 1 9 9 6   ( 责审   连 四 清)  

1 . 姜 启源, 谢金 星, 叶俊. 数 学模型 ( 第三 版 ) .   高等教 育 出版社 , 2 0 0 3  

移  ●  ● 

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