绝对值不等式的解法


绝对值不等式的解法

知识回顾

绝对值的定义

? a, a ? 0 ? |a|= ?0, a ? 0 ? ? a, a ? 0 ?
绝对值的几何意义: |a | O A a x

表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.

绝对值不等式 | x | < a 和 | x | > a 的解法 方程│x│=2的解集?
-2 0 2

{x│x = 2或 x= ?2}

观察、思考:不等式│x│< 2 的解集?

?-2 a

0

a2

{x│?2 < x < 2 }

不等式│x│> 2解集?

?-2 a

0

a

2

{x│x > 2 或 x < ?2 }

类比:
|x| < 3的解 |x|<?2的解 |x| > 3 的解 |x| > ?2 的解

|x|<a(a>0) |x|>a (a>0)

?a < x < a

x > a 或 x < ?a

从几何意义入手同样可得: 如果a > 0,则

x ? a ? ?a ? x ? a

x ? a ? x ? ?a或x ? a

引申

? 如果把 |x| < 2中的 x 换成“x?1”,
也就是| x?1 |<2如何解? ? 如果把|x|>2中的 x 换成“3x?1”, 也就是| 3x?1|>2如何解?

整体换元

类型一:
型如| f(x)|<a, |f(x)|>a (a>0) , 不等式的解法:

f ( x) ? a ? ?a ? f ( x) ? a
f ( x) ? a ? f ( x) ? ?a 或 f ( x) ? a

应用举例:
例 1. 解不等式 2x ? 3 ? 5.
解: 这个不等式等价于

?5 ? 2 x ? 3 ? 5 ?5 ? 3 ? 2 x ? 3 ? 3 ? 5 ? 3

?2 ? 2 x ? 8 ?1 ? x ? 4

因此,不等式的解集是(–1,4)

例 2 解不等式 2 x ? 3 >5
解:这个不等式等价于

2x ? 3 ? 5


(1) (2)

2 x ? 3 ? ?5

(1)的解集是(4,+∞), (2)的解集是(-∞,-1), ∴ 原不等式的解集是(4,+∞)∪ (-∞,-1)。

课堂练习:
求下列不等式的解集

① |2x+1|<5
③ |4x|<?1

(?3,2)

② 3|1?4x|>9 (?∞,?1/2)∪(1,+ ∞)

?
R

④ |x2?5x|>?6

⑤ 3<| 2x?1 | <5 (?3,?2)∪(1,2)

类型二:
型如 | f(x)| < a, |f(x)| > a的不等式中“a” 用代数式替换,如何解? |f(x)| < g(x) |f(x)| > g(x) ? ?g(x) < f(x) < g(x) ? f(x) < ? g(x) 或 f(x) > g(x)

例3:解不等式 | 5x?6 | < 6 – x
解(法一)对绝对值里面的代数式符号讨论: (Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时,不等式化为 5x-6<6-x,解得x<2, 所以6/5≤x<2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时,不等式化为 -(5x-6)<6-x,解得x>0 所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得(0,2)

例3:解不等式 | 5x?6 | < 6 – x
解(法二) 由绝对值的意义,原不等式转化为: ?(6?x) < 5x?6 < (6?x) 解得:0 < x < 2;

综合得解集为{ x | 0 < x < 2 }

课堂练习
把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值 不等式。

1、|2x ? 3|<5x 2、|x2?3x?4| > 4

-5x < 2x - 3 < 5x x2 - 3x - 4 < -4 或 x2 - 3x - 4 > 4

3、| x?1 | > 2( x?3) x-1<-2(x - 3)或x-1>2(x-3)
x x 4、 ? x?2 x?2
x ?0 x?2

5、| 2x ? 1 |> | x ? 2 | ( 2x + 1 )2 > ( x + 2 )2

类型三:型如

x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 的不等式
例4: x ?1 ? x ? 2 ? 5 方法1:讨论去绝对值 方法2:几何意义

x ≤? 3 或 x ≥ 2

课堂练习:
解不等式

1. x ? 2 ? x ? 3 ? 7

?3<x<4

6 2. 2x ? 4 ? 3x ? 3 ? 7 0 < x < 5

3. x ? 3 ? x ? 4 ? 5

x<3

作业:课本 p20 6, 7, 8 第9题选做


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