淮南市2014-2015(1)期末考试高二数学试卷(理科)试卷及答案


淮南市 2014-2015 学年度高二第一学期期末考试

数学试卷(理科)
考试时间:100 分钟;满分 100 分 题号 得分 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(10*4=40 分) 1. F1, F2 为平面上两个不同定点,| F1 F2 |? 4 ,动点 P 满足:| PF1 | ? | PF2 |? 4 ,则动点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.不存在 ) B.线段 D.椭圆或线段或不存在 )

2. “ p ? q 是真命题”是“ ?p 为假命题”的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.执行右面的程序框图,若输入 N=2015,则输出 S 等于(

A.1

B.

2012 2013

C.

2013 2014

D.

2014 2015
^
1 0 1 0

4. 已知变量 x, y 之间具有线性相关关系, 其回归方程为 y =-3+bx, 若 ? xi ? 17, ? yi ? 4,
i ?1 i ?1

则 b 的值为( ) A.2 B.1

C.-2

D.-1

5.对于平面 ? , ? , ? 和直线 a , b , m , n ,下列命题中真命题是( A.若 a ? m , a ? n , m ? ? , n ? ? ,则 a ? ? B.若 ? / / ? , ?



? ? a , ? ? ? b ,则 a / / b

C.若 a / / b , b ? ? ,则 a / /? D.若 a ? ? , b ? ? , a / /? , b / /? ,则 ? / /?

x2 y2 5 6.已知双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( ) a b 2
A、y=±

1 x 4

(B)y=±

1 x 3

(C)y=±

1 x 2

(D)y=±x

7 . 已 知 a ? b ? 0 , e1, e2 分 别 为 圆 锥 曲 线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 的离心率,则 和 a 2 b2 a 2 b2

lg e1 ? lg e2 的值为(
A.正数

) B.负数 C.零 D.不确定

8.一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几 何体的表面积是( )

A. ?

B. 3? ? 4

C. ? ? 4

D. 2? ? 4

2 9.若曲线 x ? 1 上的动点 P 到 A(?1, 2 3) 的距离与到 y 轴的距离之和为 d, 则 d 的最小值 4 y

是( A.



13

B.

2 3

C.

3

D.

4

10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹 为( )

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题(5*3=15 分)

11.如图正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若△A′B′C′的面积为 么△ABC 的面积为 .

,那

2 12 .已知点 P 是抛物线 y ? 6 x 上的动点,F 是抛物线的焦点, A( , 2 3) 为定点,则

7 2

PA ? PF

的最小值是

,取得最小值时点 P 的坐标是

.

13.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 a 2 b2
4 , 则C的离心率e= 5
. .

F , C与过原点的直线相交于 A, B两点,

连接AF , BF .若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

14.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 10,则 m = 13 ? m m ? 2

15.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点, 过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是 所有正确命题的编号) 。 (写出

①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时, S 为四边形 2

1 时, S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形 4
⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 评卷人 得分 三.解答题(5 小题共 45 分)

6 2

16. (本小题 8 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA =AB=2,M, N 分别为 PA, BC 的中点.

(1)证明:MN∥平面 PCD; (2)求 MN 与平面 PAC 所成角的正切值. 17.(本小题 9 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3)求点 C 到平面 A 1 BC1 的距离. 18.(本小题 9 分)如图,斜率为 1 的直线过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,与抛物线交于两 点 A,B,M 为抛物线弧 AB 上的动点.
2

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 S?ABM 的最大值 19. (本小题 9 分) 已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0) , 左顶点为 (? 3,0) 。 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的公共点 A,B,且 OA OB ? 2 (其中 O 为坐标原点),求 k 的取值范围。

20. (本小题满分 10 分)已知椭圆

x2 y2 3 ? ? 1 ,离心率为 . 2 a 16 5

(1)求椭圆的方程; (2)当 a ? 4 时,过椭圆的右焦点 F 任作一条斜率为 k ( k ? 0 )的直线交椭圆于 A,B 两 点,问在 F 右侧是否存在一点 D ( m,0) ,连 AD、BD 分别交直线 x ?

25 于 M,N 两点,且 3

以 MN 为直径的圆恰好过 F ,若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

淮南市 2014-2015 学年度高二第一学期期末考试

数学试卷(理科)
参考答案 题号 答案 1 B 2 A 3 见备注 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 A

备注:第三题没有答案,请各校自行赋分!谢谢 11. 2 6 ;12.

5 ; 13. 7

?5或20 ; 14. (1) (2) (3) (5).

? 2k ? 1 ? 0, ? 15. 解:若命题 p 为真,则 ? k ? 1 ? 0, 解得 k ? 1 ; ? 2k ? 1 ? k ? 1, ?
若命题 q 为真,则 (4 ? k )(k ? 3) ? 0 ,解得 k ? 3 或 k ? 4 . 由题意可知命题 p 与 q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ?

2分

3分 5分

?k ? 1, ,解得 3 ? k ? 4 ; ?3 ? k ? 4,

当 p 假 q 真时,则 ?

?k ? 1, 解得 k ? 1 . k ? 3 或 k ? 4, ?

7分 8分

综上,实数 k 的取值范围 k ? 1 或 3 ? k ? 4 . 考点:1 椭圆和双曲线的标准方程;2 复合命题真假判断。 16.
z P E D N C

M A B x

y

证明: (1)取 PD 的中点 E,连接 ME, CE. ∵M, N 分别为 PA, BC 的中点, 1 1 ∴ ME // AD , NC // AD ,∴ ME //NC , 2 2 ∴MNCE 是平行四边形,∴MN∥CE, ∵CE?平面 PCD,MN?平面 PCD, ∴MN∥平面 PCD. 2分 5分

解: (2)作 NF⊥AC 于 F,连接 MF. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥NF,又∵PA∩AC=A, ∴NF⊥平面 PAC,∴∠FMN 是 MN 与平面 PAC 所成的角. 在 Rt△MFN 中, NF ? FC ? ∴ MF ? MA 2 ? AF 2 ? ∴ tan ?FMN ?

6分

3 2 2 2 1 , AF ? AC ? FC ? , MA ? PA ? 1 , NC ? 2 2 2 2

22 , 2

NF 11 . 9分 ? MF 11 解法二: (1)建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),PD 中点 E(0,1,0),则 EC ? (2,1, ?1) , MN ? (2,1, ?1)

? EC ∥ MN ,即 EC ∥ MN , 又EC ? 平面PCD , MN ? 平面PCD ,? MN 平面 PCD
5分 (2)设平面 PAC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? 令 y ? ?1 , 得n ?( 1 , 1 ? ,0 ) 则 sin ? ?

? ? n ? PA

? ? z?0 ? n PA ? 0 ?? ?? ? ? ?n ? AC ?n AC ? 0 ? x ? y ? 0
所成的角为 ? , 9分

N 与平面 P A C , 由 (1) 知 MN ? (2 , 1 , 1 )? ,设 M

n MN n MN

?

3 11 ,? tan ? ? 。 6 11

考点: 1、线面平行的判定定理和性质定理;2、线面角的求法. 17.证明: (1)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ? AC . 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ,且平面 ABC 所以 AA1 ⊥平面 ABC. 解: (2)由(1)知, AA1 ⊥AC, AA1 ⊥AB. 由题意知 AB ? 3, BC ? 5, AC ? 4 ,所以 AB ? AC . 如 图 , 以 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 平面 AA1C1C ? AC , 3分

A ? xyz , 则

B ? 0,3,0 ? , A1 ? 0,0, 4 ? , B1 ? 0,3, 4 ? , C1 ? 4,0, 4 ? .
设平面 A1BC1 的法向量为 n ? ? x, y , z ? ,则 ?

? ?n ? A1B ? 0, ? ?n ? A1C1 ? 0.

即?

?3 y ? 4 z ? 0, ?4 x ? 0,

令 z ? 3 ,则 x ? 0, y ? 4 ,所以 n ? ? 0, 4,3? . 同理可得,平面 B1BC1 的法向量为 m ? ? 3, 4,0 ? .

所以 cos ? m, n ??

m?n 16 . ? | m | ? | n | 25

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 . 25

7分

z

y x
(3)由(2)知平面 A1BC1 的法向量为 n ? ? 0, 4,3? ,

CC1 ? (0,0, 4)
9分

所以点 C 到平面

A1BC1 距离 d ?

C1C n n

?

12 5

本题考查了平面与平面垂直的性质定理,直线和平面垂直的判定定理,考查了法向量、空间 向量在立体几何中的应用和二面角的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力. 18. (1)由条件知 lAB: y ? x ?

p 1 2 2 ,则 y 2 ? 2 px ,消去 y 得 x ? 3 px ? p ? 0 ,则 x1+x2 2 4
4分

=3p,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p. 又因为|AB|=8,即 p=2,则抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (2)由(1)知|AB|=4p,且 lAB: y ? x ?

p , 2

p ? ?y ? x ? 2 2 2 ,消 x 得: y ? 2 px ? p ? 0 ,即 y ? (1 ? 2) p , ? 2 ? ? y ? 2 px
设M(
2 y0 , y0 ) ,则 (1 ? 2) p ? y0 ? (1 ? 2) p , 2p

2 y0 p | ? y0 ? | 2 y0 p 2p 2 M 到 AB 的距离 d ? ,因为点 M 在直线 AB 的上方,所以 ? y0 ? ? 0 , 2p 2 2

2 y0 p ? y0 ? 1 2p 2 2 所以 d ? ? ? (? y0 ? 2 py0 ? p 2 ) , 2 2 2p

当 y0 ? p 时, d max ?

2 p. 2
9分

则 ( S?ABM ) max ?

1 2 ? p ? 4 p ? 2 p2 . 2 2

19.解: (1)当焦点在 x轴 上时,

?a 2 ? 16 ? c 2 ?a 2 ? c 2 ? 16 16 ? ? 由 ?c 3 ?? ? a 2 ? 16 ? a 2 ? 25 , 故 所 求 椭 圆 方 程 为 3 25 ? ? ?c ? a 5 ?a 5 ?
x2 y 2 ? ?1. 25 16
当焦点在 y轴 上时,

?16 ? a 2 ? c 2 ?a 2 ? 16 ? c 2 25 x 2 y 2 256 ? ? ? ? 1. 由 ?c 3 ,故所求椭圆方程为 ? ? 12 ? a2 ? 256 16 25 ? c ? ? ? 5 ?4 5 ?
综上所述,所求椭圆方程为 (2)如图所示:

x2 y 2 25 x 2 y 2 ? ?1或 ? ? 1. 25 16 256 16

4分





线

AB









y ? k ? x ? 3? , ? k ? 0?



? 25 ? ? 25 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? , y3 ? , N ? , y4 ? ,则由 ? 3 ? ? 3 ?

? y ? k ? x ? 3? ? 2 ? ?16 ? 5k 2 ? x 2 ? 150k 2 x ? 25k 2 ? 400 ? 0 ,根据韦达定理(根与系数的关 ?x y2 ?1 ? ? ? 25 16
系)得:

x1 ? x2 ?

150k 2 225k 2 ? 400 x x ? , , 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2
?? ①

? ?256k 2 ? y1 ? k ? x1 ? 3? ? y1 y2 ? k 2 ? x1 ? 3?? x2 ? 3? ? ?由 ? 16 ? 25k 2 ? ? y2 ? k ? x2 ? 3?

25 ? ? M 、D、A 三点共线,即 MD / / DA ,且 MD ? ? m ? , ? y3 ? , DA ? ? x1 ? m, y1 ? , 3 ? ?

y ? 3m ? 25? y ? 3m ? 25? 25 ? ? ,同理可得 y4 ? 2 , ? ? y3 ? x1 ? m ? ? y1 ? m ? ? ? y3 ? 1 3? 3 ? m ? x1 ? 3 ? m ? x2 ? ?

? 3m ? 25? y1 y2 ? y3 y4 ? 9 ? m ? x1 ?? m ? x2 ?
2

??②

根所题意, ?MFN ?

?
2

(直径所对圆周角) ,即 FM ? FN ? FM ? FN ? 0 ,

? ? 16 ? 2 ? FM ? ? 3 , y3 ? 256 ? ? ? ? 16 ? ?? ? y3 y4 ? ? ? ? 0 ? y3 y4 ? ? 9 ? 3? ? FN ? ? 16 , y ? 4? ? ? ? 3 ? ?
3m ? 25 ? ? ?256k 2 ? 由①、②、③得: 9 ? m ? x1 ?? m ? x2 ? 16 ? 25k 2
2

??③

??

256 ? ?1 ? k 2 ??16m2 ? 400 ? ? 0 , 9

1 ? k 2 ? 0 ,? 由 16m2 ? 400 ? 0 ? m ? ?5 ,
点 D 在 F ?3,0? 的右侧,? m ? 3 , m ? 5 . 9分

? 存在满足条件的 D 点,且 m ? 5 .
考点:①椭圆的方程和性质;②直线方程;③向量共线和垂直的动用;④根与系数的关系; ⑤数形结合思想;⑥方程思想;⑦推理和运算能力.


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