高观点下实数集与复数集的相异性质


高观点下实数集与复数集的相异性质
——从一道高考题的刍议谈起 凌明灿,张上伟,吴康
(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

一、一道高考题的刍议
先看 2009 年高考文科数学全国卷Ⅱ第 13 题. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 =1, S6 =4S3 ,则 a4 =____ . 【原解答】答案为 3. 设等比数列 {an } 的公比为 q ,若 q =1 ,则 S6 =6a1 =6 ,

1-q6 1-q3 不满足题意 S6 =4S3 , 故 q ? 1. 由 S6 =4S3 得 , 解得 q3 ? 3 ? 4? S3 =3a1 =3 , 1-q 1-q 3 或 1(舍去) ,所以 a4 =a1q ? 3 .
q ? 1 就意味着 q3 ? 1 ?其实不然.若 q3 ? 1 有 (q ?1)(q2 ? q ? 1) ? 0 ,又 q ? 1 ,

?1 ? ?3 ?1 ? 3i ?1 ? 3i 3 3 ? ) ? 1 .故正确解 ,此时仍有 q ? ( 2 2 2 3 答应为 q3 ? 3 或 1, a4 =a1q ? 3 或 1.本题正确答案应为 3 或 1.
所以 q2 ? q ? 1 ? 0 , q ? 原解答的问题是:无意地视数列为实数列.若要保留原解答,此高考题可改为: 设等比实数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a1 =1, S6 =4S3 ,则 a4 =____.

二、实数集与复数集的相异性质
在中学, 教材仅对复数及其基本运算作简单的介绍, 很多中学教师和学生的复数意识并 不强.如上题,出题者应意在考查实数列,却没料到公比有复数解,这是一个疏忽.相信解 题者也往往自然地当成实数列来解而忽略了公比的复数解. 在数的发展过程中, 实数集扩充 到了复数集,复数具有的性质实数一定具有,但实数具有的性质未必能推广到复数.因此, 为了加深对复数的认识, 系统地去比较探究实数集与复数集的相异性质, 无论对教师还是对 学生,都显得非常必要. 此前, 也有文章对从实数集扩充到复数集后须注意的问题进行探讨, 但大多仅限于易错 问题的列举,而未挖掘其背后的原因.如数学大师克莱因在《高观点下的初等数学》中所倡 导的: “基础数学的教师应该站在高视角来审视、理解初等数学问题,只有观点高了,事物 才能显得明了而简单. ”
[1]

为此,本文试图深入探究实数集与复数集的相异性质,并分析其

失效原因之根本,以期加深读者对两数集性质的理解.

(一) “ ” 的意义
实数集中的 x ? r ? x ? ?r 在复数集中不一定成立. 在复数集中称为模,在实数集中称为绝对值,它在两个数集上的几何意义都是距 “ ”

离.如 z 表示复数 z 对应复平面上的点到原点的距离.但实数集中的 z ? r ? z ? ?r 在复 数集中不一定成立.虽其几何意义都是“到原点的距离为 r ” ,但两数集对应的“形”不一 样了,满足条件的点也不一样了.实数集与一条数轴上的点一一对 应, “到原点的距离为 r ”的点只有两个 z ? ?r .复数集则维度升 高,与一个复平面上的点一一对应. “到原点的距离为 r ”的点就 在以原点为圆心 r 为半径的圆上,有无数个.如右图,在复平面上 由 z ? r 有 z ? r (cos ? ? i sin ? ) , ? ? [0, 2? ) . 但 上 式 包 括 了

z ? ?r .因为若在实数集上,则 ? ? 0 或 ? , z ? ?r .
(二) i 2 ? ?1 所引起的
2 在数扩充到复数集的过程中,定义了 i ? ?1 的运算,这导致

实数的许多性质在复数中不再成立,具体体现在: (1) z 恒大于等于 0 不成立. 比 如 在 实 数 集 中 , 由 x2 ? y 2 ? 0 易 得 x ? y ? 0 . 而 在 复 数 集 中 , x2 ? y 2 ? 0 有
2

x2 ? ? y 2 ? (iy)2 , x ? ?iy .此时 ( x,y ) ? (?i,1), (?2i, 2),

有无穷多组解.

(2)一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 判别式的判断功能失效.

b 2 b2 ? 4ac 对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,由配方法有 a( x ? .在实 ) ? 2a 4a
2
2 “i ? ?1” 数集中,若判别式 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则方程无解.而在复数集中,由 知方程仍

2

有根 x ?

?b ? i 4 ac ? b2 ,所以 ? 的判断功能失效.如上述高考题中 q2 ? q ? 1 ? 0 ,虽 2a
?1 ? 3i .另外, ? 的判断功能失效,但一元二次方程 2
mn

? ? ?3 ? 0 ,但方程仍有两根 q ?

的求根公式和韦达定理在复数集中仍适用. (3)分数指数幂的运算法则 (a ) ? a
m n m n mn

不成立.

在实数中有 (a ) ? a (a ? 0, m, n ? Q) . 而在复数集中只有整数指数幂的运算法则成 立,即 (a ) ? a (a ? 0, m, n ? Z) .因为若 (a ) ? a (a ? 0, m, n ? Q) 在复数中成立,
m n mn m n mn
2 则 i ? (i ) ? (1) ? 1 ,这与 i ? ?1 矛盾.

2

2 4 4

2 4

(4)复数不能比较大小. 我们知道,实数可以比较大小,而复数不可以.其实,严格地说,复数只是没有合理、

有效的比较大小的方法.规定复数的大小其实很容易,如可以定义: a ? ib ? c ? id 当且仅

? 当a ?c, 或 a ?cb, d

2 2 i ? 0, . 按照这个定义, 但 i ? ?1 ? 0 , 这与熟知的 a ? 0 ? a ? 0

不同,用起来不方便,因此,大家都不去定义它. [2]

(三) n 次方根的个数
n 实数集中,若 x ? a ( a ? 0, n ? N, n ? 2 ) ,则 n 为奇数时, x ?

n

a ; n 为偶数时,

x ? ? n a .实数中开方运算最多只有两个解.而在复数集中,任一个数的 n 次方根均有 n 个
不 同 的 解 . 因 为 复 数 中

xn ? a ? r (cos? ? i sin ? )(r ? 0)



x ? n r (cos

? ? 2k?
n

? i sin

? ? 2k?
n

)(k ? 0,1,

, n ? 1) ,共有 n 个值.如上述高考题,在复

数 集 中 , 1 的 3 次 方 根 有 3 个 不 同 的 解 , 即 q3 ? 1 的 解 为 q ?

?1 ? 3i ,1 . 于 是 2

(? q3 ?1 ? (q ? 1) q

?1 ? 3i ? 1? 3 i )q (? ) .所以在复数中,任一个 n 次多项式可因式分 2 2

解成为 n 个一次因式的乘积,而这在实数集内是无法实现的.

(四)注意共轭的性质

x 2 = x 仅 在实 数中成 立, 在复数 中不 成立. 复数 z =a ? ib 的 共轭 复数 定义为 :
2 2 ? b ? z ? 2 z. 特 别 地 , 实 数 x 的 共 轭 是 其 本 身 , 所 以 z =a ? ib , 于 是 z z ? a 2 x x? x = x .于是虚根成对存在只适用于实系数方程,复系数方程不再成立.另外,容易 2 2

2

验证,在复数集中有 z = z 2 成立. 实数集是复数集的特例, 实数集上的性质就有了特殊性与局限性, 部分性质不能直接推 广到复数集,我们在平时学习中应加以比较与辨析.

2

参考文献
[1]F.克莱因.高观点下的初等数学(中译本)[M].上海:复旦大学出版社, 2008. [2]陈宗煊、孙道椿.复变函数[M].北京:科学出版社, 2010. [3]曲一线.5 年高考 3 年模拟:A 版.[M].北京:首都师范大学出版社,2010.1.


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