2013届赤峰二中高三5月模拟考试理科数学卷(2013年5月)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 赤峰二中 520 模拟试题
注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷首相应的空格内,做在第 Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1.若集合 A ? {0,1,2, x} , B ? {1, x }, A ? B ? A ,则满足条件的实数 x 的个数有
2

A. 1个

B 2个

C. 3 个

D 4个

2.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼 ? 15 飞机准备着舰,如果 甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法 A. 12 B. 18 C. 24 D. 48

3.若复数 z ? 2 ? i ,则 z ? A. 2 ? i

10 等于 z
C. 4 ? 2i D. 6 ? 3i 的值为( )

B. 2 ? i

4.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

A.

B.

C.

D.

5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为

A. 5

B. 9

C. 14

D. 41
1

6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的 是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8

3

3

4 正视图 2 2

2 侧视图

2

俯视图 图1

7.已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线错误!未找到引用源。的右焦点重合,抛物线的准线
2

与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? (A)4 (B)8

2 | AF | ,则△错误!未找到引用源。的面积为
(D)32

(C)16

8.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 最小值点,且 OM ? ON ,则 A ? ? 的值为

?
2

) 在一个周期内的图像,M、N 分别是最大、

???? ?

????

A.

? 6

B.

2? 6

C.

7? D. 6

7? 12

[来源:Z#xx#k.Com]

9.设函数 f ( x) ? k ? a ? a
x

?x

( a ? 0 且 a ? 1 )在 (??,??) 上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是
y y y y

o

1

2

x

o 1

2 x

-1

0

x

-1

0

x

A

B

C

D

10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2 , AC=2,若四面体 ABCD 体积的最大值为

2 , 3

2

则这个球的表面积为

A

125? 6

B

25? 4

C8?

D

25? 16
1 -x, 2

11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x) 。当 x ? [0,1]时,f(x)= 若 g(x)=f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 (A) (-

1 1 , ) 4 6

(B) (-

1 1 , ] 4 6

(C) [ ? , ]

1 1 6 4

(D) ( ? , )

1 1 6 4

12.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1 、 F2 是 一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60 时,这一对相关曲线中双
?

曲线的离心率是(



A. 3

B. 2

C.

2 3 3

D.2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二填空题(共 4 个小题每小题 5 分) 13.已知向量 a =(sin ? ,2)与向量 b =(cos ? ,1)互相平行,则 tan2 ? 的值为_______。 14.设 n ?

?

2

1

( 3 x 2 ? 2)dx ,则 ( x ?

2 x

) n 展开式中含 x 2 项的系数是_________。

15,已知数列满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 * , n? N ) ( ,若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1) , b1 ? ?? ,且 an ? 2 an


数列 {bn } 是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围为 16.下面 6 个命题:①把函数 y=3sin(2x ? 象; ②函数 f ( x) ? ax ? ln x
2

?
3

) 的图象向右平移

?
3

个单位,得到 y=3sin2x 的图

的图象在 x=1 处的切线平行于直线 y=x,则 (

2 , ??) 是 f(x)的单调 2

递增区间; ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1∶3; ④“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充分不必要条件。 ⑤ G 是 ?ABC 的重心,且 7 sin AGA ? 3 sin BGB ? 3 7 sin CGC ? 0 ,则角 B 的大小为 设

? 3

⑥ 已知变量错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 的取值范围是错误!未找到引用源。 其中所有正确命题的序号为________
3

17,在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c , 且 2a sin C ? 3a cos B ? 3b cos A ,b=2, (1) 求 A 的值。 (2) 若边 AB 上的中线 CD ? 7, 求 a 的值; 18. (本题满分 12 分)甲乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场, 则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之 一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场 增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) . 19. (本题满分 12 分) 如图, 在体积为 1 的三棱柱 ABC - A1B1C1 中, 侧棱 AA1?底面 ABC, AB?AC, AC = AA1 = 1, P 为线段 AB 上的动点. (1)求证: CA1?C1P; (2)当 AP 为何值时, 二面角 C1 - PB1 - A1 的大小为 C1 C B1 P B

π ? 4

A1 A
2

20(本小题满分 12 分).已知椭圆 C :

x ? y 2 ? 1?a ? 1? 的上顶点为 A ,左焦点为 F ,直线 AF 与 2 a
? ? 1? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点. 2?

圆 M : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,?
2 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程. 21.(本小题满分 12 分 )函数 f ?x ? ?

ln(x ? 1)

?x ? 1?

2

?

a ? 2 x(a ? R) . x ?1

(1) 若函数 f ?x ? 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值; (2) 若 x ? ?1 时,函数 f ?x ? 的图像永远在直线 y ? ?2 x 的下方,求 a 的取值范围;
1 1

(3) 求证: (n ? 1) n?1 ? n n (n ? N ? , n ? 3) 。

22(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】
4

如图 6, 已知圆 O 外有一点 P , 作圆 O 的切线 PM ,M 为切点, PM 的中点 N , 过 作割线 NAB , 交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线 ?

? x ? 3cos ? 3 ? (? 为参数)和定点 A(0, ), F1,F2 是圆锥曲线的左右焦点。 3 ? y ? 2 2 sin ? ?

(1)求经过点 F2 且垂直于直线 AF 1 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程。 24(本小题满分10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x | ?2 | x ? a | (a ? 0). (1)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ? 8 ; (2)若 f ( x) ? 6 恒成立,求正实数 a 的取值范围。

赤峰二中 520 模拟试题理数答案 1B 2C 3D 4A 5D 6C 7D 8C 13. 9C 10B 11B 12A

4 14.40 15, ? ? 2 16. 235 3

17,解: (1)由正弦定理得, 2 sin A sin c ? 3 sin A cos B ? 3 sin B cos A, 则 ----------3 分
5

2 s i nA s i n ? 3 s i nA ? B) ? 3 s i n , 又? s i n ? 0,? s i nA ? c ( c c ?A?
(2) 当

?
3

或A ?

2? , 3
中,由余弦定理得------------------------8 分

3 2
6分

A?

?
3

时, ?ADC 在

得 AD=3 或-1(舍)所以 AB=6,在 ?ABC 中,由余弦定理得 BC=a= 2 当

7

-------10 分

A?

2? 3

时,同理得,a= 2

3

----------------------------------12 分

18.解析: (1)连接 AC1,C1B. ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC, ∴AA1⊥AB, 又∵AB⊥AC, AC∩AA1 = A, ∴AB⊥平面 A1ACC1, ∴AB⊥CA1. ∵AC = AA1, ∴四边形 A1ACC1 为正方形, ∴AC1⊥CA1. 又∵AC1∩AB = A, ∴CA1⊥平面 AC1B, ∴ CA1⊥ 1P. C ------------------------------5 分

(2)∵C1A1⊥AA1, C1A1⊥A1B1, AA1∩A1B1 = A1, ∴C1A1⊥平面 ABB1A1, 又∵ VABC-A B C =
1 1 1

1 2

× AB× 1 = 1, ∴AB=2. 1×

如图, 以 A1 为原点, 建立空间直角坐标系 A1 - xyz, 设 AP = x(0 ≤ x ≤ 2), 则 A1(0, 0, 0), B1(0, 2, 0), C1(0, 0, 1), P(1, x, 0). 由题意知平面 A1PB1 的一个法向量为 A1C1 = (0, 0, 1). ----7 分 设平面 C1PB1 的法向量为 n = (a, b, c),

????? ?

z C1 C B1 P B

???? ? n ? B1P ? 0 由 ? ????? , n ? C1B1 ? 0 ?

???? B1P =

(1, x - 2, 0),

????? C1B1
得?

=(0, 2, - 1),

?a ? ( x ? 2)b ? 0 , ? 2b ? c ? 0

A1 A x

y

令 b = 1, 则 c = 2, a = 2 - x, ∴n = (2 - x, 1, 2). -------9 分

????? ? π n ? A1C1 2 ????? = ? 依题意: cos = , 4 | n | ? | A1C1 | (2 ? x)2 ? 5
解得 x1 = 2 + ∴AP= 2 -

3 (不合题意,

舍去),x2= 2 -

3,

π .--------------------------12 分 4 2 2 2 2 20 解:(I)将圆 M 的一般方程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 3 ,则圆

3 时,

二面角 C1 - PB1 - A1 的大小为

M 的 圆 心 M ?? 3,1? , 半 径 r ? 3 . 由 A?0,1?, F ?? c,0 ? c ? a 2 ? 1 得 直 线 AF 的 方 程 为

?

?

x ? cy ? c ? 0 .
由直线

AF 与圆 M

相切,得

?3?c ?c 1? c2

? 3 ,----------------------------3 分

6

所以 c 当c

? 2

或c
2

?? 2

(舍去).

? 2

时, a

? c2 ?1 ? 3 ,

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????5 分 3

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为

y ? kx ?

1 2

.-------------------------------------7 分

因为 0 ? t ? 1 ,
所以当 t 此时

? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大,

1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2 y?? 1 2
.???????12 分

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为

21 答案: (1) a =2---------------------------------------------------3 分

7

(2)由题意得 f ?x ? ? ?2 x ,即

ln(x ? 1)

?x ? 1?

2

?

ln( x ? 1) a ,因为 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? 。 x ?1 x ?1

令 g ( x) ?

ln( x ? 1) 1 ? ln(x ? 1) ,则 g ( x)? ? ,令 g ( x)? ? 0 ,得 x ? e ? 1 。 x ?1 ( x ? 1) 2

所以 ?g ( x)?max ? g (e ? 1) ?

1 1 ,所以 a ? 。-------------------------------------7 分 e e ln( x ? 1) ln x (3)由(2)得 g ( x ) ? 在 x ? (e ? 1,??) 时单调递减,所以函数 p ( x) ? 在 x ?1 x

x ? (e,??) 时单调递减。所以当 n ? N ? , n ? 3 时,--------------------15 分
22 证明: (Ⅰ)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

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22 证明: (Ⅰ)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

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