2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第六章数列6.1数列的概念与简单表示法


6.1

第六章 数列 数列的概念与简单表示法

考纲要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示 方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

1.数列的概念 按照一定____排列着的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的__, 数列中 的每一项都和它的____有关.排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做____).往 后各项依次叫做这个数列的第 2 项,?,第 n 项,?. 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,?,an,?,其中____是数列的第 n 项,我们把 上面的数列简记 为____. 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 有穷数列 项数____ 项数 无穷数列 项数____ 递增数列 an+1>an 项与项间 其中 的大小 递减数列 an+1<an n∈N* 关系 常数列 an+1=an 从第 2 项起,有些项大于它 其他 摆动数列 的前一项,有些项小于它的 标准 前一项 3.数列的表示法 (1)列举法:a1,a2,a3,?,an,?; (2)图象法:数列可用一群孤立的点表示; (3)解析法(公式法):通项公式或递推公式. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的____________________可以用一个公式______来表示, 那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.通项公式 可以看成数列的函数______. 5.递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任意一项 an 与 an-1(或其前面的项)之间的关系 可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 6.数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为 __________的函数,即当 自变 量从小到大依次取值时对应的一列______,而数列的________也就是相应函数的解析式.
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2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,?的一个通项公式 an 是( ). 3 5 7 9 n n n n A. B. C. D. 2n+1 2n-1 2n-3 2n+3 2.在数列{an}中,已知 a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则 a92 等于( ). A.a B.b C.b-a D.a-b na 3. 已知数列{an}的通项 an= (a, b, c 都是正实数), 则 an 与 an+1 的大小关系是( ). nb+c A.an>an+1 B.an<an+1 C.an=an+1 D.不能确定 2 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-n ,则 a4=__________. 1 5.数列{an}的通项公式 an= ,则 a2 011=__________, 10-3 是此数列的 n+ n+1

第__________项.

一、由数列的前几项 求数列的通项公式 【例 1】写出下面各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,?. 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?. 2 4 8 16 32 2 4 6 8 10 (3) , , , , ,?. 3 15 35 63 99 方法提炼 1.观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的规律,横看“各项之间的关系结构”, 纵看“各项与项数 n 的关系”,从而确定数列的通项公式. 2.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的 特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. 3.(1)根据数列的前 n 项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊 到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变 + 化,可用(-1)n 或(-1)n 1 来调整. (2)数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可以为 an=(-1)n 或 an ? ?-1,n为奇数, =? 有的数列没有通项公式. ?1,n为偶数. ? 请做演练巩固提升 3 二、由递推公式求数列的通项公式 n+2 【例 2】(2012 大纲全国高考)已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn= a. 3 n (1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 方法提炼 由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”、“累乘法”等. (1)已知 a1 且 an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即 an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n -1),?,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2). 所有等式左右两边分别相加,代入 a1 得 an. an (2)已知 a1 且 =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”, an-1 an-1 an a3 a2 即 =f(n), =f(n-1),?, =f(3), =f(2),所有等式左右两边分别相乘,代 a2 a1 an-1 an-2 入 a1 得 an. 请做演练巩固提升 1 三、已知数列的前 n 项和求通项公式 1 【例 3】数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,?),求 an. 3 方法提炼 ? ?S1,n=1, 1.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适合 ?Sn-Sn-1,n≥2. ? an=Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1, 则用分段函数的形式表示. 2.转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略,数列中的转化更是层出不穷,

如 Sn 和 an 的转化. 请做演练巩固提升 4 忽视数列的项数 n 的范围而致误 an 【典例】已 知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为________. n 解析:∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+?+2+33=n2-n+33(n≥2), 又 a1=33 适合上式,∴an=n2-n+33, an 33 ∴ =n+ -1. n n 33 33 令 f(x)=x+ -1(x>0),则 f′(x)=1- 2 , x x 令 f′(x)=0 得 x= 33. ∴当 0<x< 33时,f′(x)<0, 当 x> 33时,f′(x)>0, 即 f(x)在区间(0, 33)上递减;在区间( 33,+∞)上递增, 又 5< 33<6, 33 53 11 21 且 f(5)=5+ -1= ,f(6)=6+ -1= , 5 5 2 2 an 21 ∴f(5)>f(6),∴当 n=6 时, 有最小值 . n 2 21 答案: 2 答题指导: 1.在解答本题时,以下几点容易出错: (1)an 求错; an (2)求 的最小值时,直接 使用基本不等式,忽视了等号成立的条件; n an (3)求 的最小值时,误认为是 n=5 时的值最小. n 2.解决此类数列问题时,以下几点在备考时要高度关注: (1)用“累加法”求 an 时,不要忘记加上 a1. an (2)在用基本不等式求 的最小值时,由于等号成立的条件(n= 33 ? N*)不满足,故不能 n 使用基本不等式求最小值,而应借助函数的单调性求解.

1 1 1.在数列{an}中,若 a1= ,an= (n≥2,n∈N*),则 a2 012=( ). 2 1-an-1 1 1 A. B.2 C.- D.-2 2 2 2.将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,?为梯形数,根据图形的构成,此 数列的第 2 012 项与 5 的差即 a2 012-5=( ).

A.2 018×2 012 B.2 018×2 011 C.1 009×2 012 D.1 009×2 011 3.写出下面各数列的一个通项公式.

3 1 3 1 3 (1)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (2)3,33,333,3 333,?. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,求下列条件下数列的通项公式 an. (1)Sn=2· 5n-2; (2)若 S1=1,Sn+1=3Sn+2. 5.已知在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,求 k 的取值范围.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.顺序 项 序号 首项 an {an} 2.有限 无限 4.第 n 项与序号 n 之间的关系 an=f(n) 解析式 6.正整数集 N* 函数值 通项公式 基础自测 1 2 3 n 1.B 解析:由已知得,数列可写成 , , ,?.故通项为 . 1 3 5 2n-1 2.B na a 3.B 解析:an= = , c nb+c b+ n c ∵y= 是减函数, n a ∴y= 是增函数, c b+ n ∴an<an+1. 故选 B. 4.-6 解析:a4=S4-S3=4-42-3+32 =-6. 1 5.2 503- 2 011 9 解析:a2 011= 2 011+ 2 012 = 2 012- 2 011 =2 503- 2 011. 1 又∵ 10-3= 10 - 9= , 10+ 9 ∴n=9. 考点探究突破 【例 1】解:(1)各项减去 1 后为正偶数, 所以 an=2n+1. (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?, 2n-1 所以 an= n . 2 (3)注意到分母分别是 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?为两个连续奇数的积,故所求 2n 数列的通项公式为 an= . (2n-1)(2n+1) 4 【例 2】解:(1)由 S2= a2 得 3(a1+a2)=4a2,解得 a2=3a1=3; 3 5 3 由 S3= a3 得 3(a1+a2+a3)=5a3,解得 a3= (a1+a2)=6. 3 2 (2)由题设知 a1=1. n+2 n+1 当 n>1 时有 an=Sn-Sn-1= a- a , 3 n 3 n-1 n+1 整理得 an= a-. n-1 n 1 于是 a1=1,

3 a2= a1, 1 4 a3= a2, 2 ?? n an-1= a-, n-2 n 2 n+1 an= a-. n-1 n 1 n(n+1) 将以上 n 个等式两端分别相乘,整理得 an= . 2 n(n+1) 综上,{an}的通项公式 an= . 2 1 【例 3】解:∵an+1= Sn, 3 1 ∴an= Sn-1(n≥2). 3 1 1 ∴an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2). 3 3 4 ∴an+1= an(n≥2). 3 1 1 1 又 a1=1,a2= S1= a1= , 3 3 3 4 ∴{an}是从第二项起,公比为 的等比数列. 3 1 4?n-2 an= ? . 3?3? 1,n=1, ? ? ∴an=?1?4?n-2 ?3?3? ,n≥2. ? 演练巩固提升 1 1 1.B 解析:∵a1= ,an= (n≥2,n∈N*), 2 1-an-1 1 ∴a2=2,a3=-1,a4= . 2 ∴{an}是以 3 为周期的数列. ∴a2 012=a670×3+2=a2=2. 故选 B. 2.D 解析:结合图形可知,该数列的第 n 项 an=2+3+4+?+n+2. 2 011×2 010 所以 a2 012-5=4+5+?+2 014=4×2 011+ =2 011×1 009.故选 D. 2 3.解:(1)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含有因子(-1)n;各项绝对值的分 母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即 2+(-1)n 奇数项为 2-1,偶数项为 2+1,所以 an=(-1)n· . n 1 - ,n为正奇数, n 也可写为 an= 3 ,n为正偶数. n 9 99 999 9 999 (2)数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分子是 10-1,102-1,103- 3 3 3 3 1,104-1,?,

? ? ?

1 ∴an= (10n-1). 3 4.解:(1)当 n=1 时,a1=S1= 2×5-2=8. - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2· 5n-2-2· 5n 1+2=8· 5n 1. - ∴当 n=1 时也适合 an,故 an=8· 5n 1. (2)由 S1=1,∴a1=1. 由 S2=3S1+2,∴a2=4. ∵Sn+1=3Sn+2,Sn=3Sn-1+2(n≥2), ∴an+1=3an(n≥2). ∴数列{an}从第二项起构成等比数列,首项为 a2,公比为 3. - ∴an=4· 3n 2. 故数列{an}的通项公式为: ?1,n=1, ? an=? n-2 ?4· 3 ,n≥2. ? 5.解:an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k, 又{an}单调递增, 故应有 an+1-an>0, 即 2n+1-k>0 恒成立, 分离变量得 k<2n+1, 故只需 k<3 即可.


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