二次函数性质的再研究


?

§4

二次函数性质的再研究

1.函数y=2x+1的图象与y轴的交点为 (0,1) ,其单调性 为 在(-∞,+∞)上是增函数 . 2.函数y=x2-2x+1的开口方向向 上 ,顶点坐标为 (1,0) , 对称轴为 x=1 ,单调增区间为 [1,+∞) ,单调减区间 为 (-∞,1] .

二次函数图象间的变换 (1)y=x2与y=ax2(a≠0)间的变换 纵坐标

a

左 上 右 下

h k

h k

在二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象变换中,参数“a,h,k”的作用 分别是什么? 【提示】 ①a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方 向和大小;②h决定了二次函数图象的左、右平移,而且“h正左移,h负 右移”;③k决定了二次函数图象的上、下平移,而且“k正上移,k负下 移”.

二次函数的图象的平移 1 画出函数 y= x2-6x+21 的图象,并指出由函数 y=x 2 如何平 2 1 移得到 y= x2-6x+21? 2

【解析】 y=x2-6x+21=(x-6)2+3. 顶点坐标是(6,3)对称轴为x=6. 利用二次函数的对称性列表:

x

4

5

6

7

8

y

5

3.5

3

3.5

5

描点连线得到函数y=x2-6x+21

的图象如图.
平移过程如下: 把y=x2的纵坐标缩短为原来的倍,得到函数y=x2,再把y=x2的图象向 右平移6个单位,得到函数y=(x-6)2的图象,最后把y=(x-6)2的图象向上平 移3个单位,得到函数y=(x-6)2+3的图象.

在作二次函数图象时,通过配方直接选出关键点,即顶点.

再依据对称性选点,减少了选点的盲目性,二次函数图象的开口方向、对
称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用. 二次函数图象平移规律:

1.函数y=x2的图象

平移

个单位长度,

得到函数y=(x+2)2的图象,再

平移

个单位长度,得到函
平移

数y=(x+2)2-1的图象.若想要变回原来的函数,则需 个单位长度,再 【答案】 向左 2 平移 向下 1 个单位长度. 向上 1 向右 2

求二次函数的解析式
二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),求这个二次函数的 解析式. 【思路点拨】 二次函数的一般式是y=ax2+bx+c,其中a、b、c为待

定系数,应当根据三个条件,列出三个方程,进而求出待定的系数,写出 函数解析式,本题给出的顶点坐标(2,3)还隐含着图象的对称轴x=2这样一 个条件,即 ?
b ?2 . 2a

【解析】

方法一:设所求二次函数为 y=ax2+bx+c.

由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1), b 函数图象的对称轴是- =2. 2a

?9a+3b+c=1, ?4a+2b+c=3, 得方程组? ?- b =2. ? 2a
解这个方程组,得 a=-2,b=8,c=-5. ∴二次函数解析式为 y=-2x2+8x-5.

方法二:二次函数的顶点式是y=a(x-h)2+k,而顶点坐标是(2,3),故有y =a(x-2)2+3,这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1),所以x=3,y=1 满足于关系式y=a(x-2)2+3,从而有1=a(3-2)2+3,解得a=-2. ∴函数解析式为y=-2(x-2)2+3, 即y=-2x2+8x-5.

方法二:二次函数的顶点式是y=a(x-h)2+k,而顶点坐标是(2,3),故有y =a(x-2)2+3,这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1),所以x=3,y=1 满足于关系式y=a(x-2)2+3,从而有1=a(3-2)2+3,解得a=-2. ∴函数解析式为y=-2(x-2)2+3, 即y=-2x2+8x-5.

运用待定系数法求二次函数的解析式时,一般可设出二 次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0),但如果已知函数的对称轴、顶点

坐标或最值,则将解析式设为y=(x-h)2+k会使求解更加方便.具体来说:
(1)已知顶点坐标为(m,n),可设y=a(x-m)2+n,再借助于其他条件 求a; (2)已知对称轴方程x=m,可设y=a(x-m)2+k,再借助于其他条件求a 和k; (3)已知最大值或最小值为n,可设y=a(x-h)2+n,再借助于其他条件 求a和h; (4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时,可设y=a(x-h)2,再借助 于其他条件求a和h.

2.已知二次函数y=f(x)满足以下条件,求该函数的解析式: (1)图象过A(0,1),B(1,2),C(2,-1)三点; (2)图象顶点是(-2,3),且过点(-1,5).

【解析】 (1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0),由已知函 数的图象经过(0,1),(1,2),(2,-1)三点, ?c=1 ?a=-2 ? ? 得?a+b+c=2 ,解得?b=3 , ? ? ?4a+2b+c=-1 ?c=1 ∴函数的解析式为 y=-2x2+3x+1. (2)设二次函数的解析式为 y=a(x-h) 2+k(a≠0),其顶点的坐标是(h, k).∵顶点的坐标是(-2,3),∴y=a(x+2)2+3. 又∵图象过点(-1,5),∴5=a(-1+2)2+3. ∴a=2,∴y=2(x+2)2+3=2x2+8x+11. 即函数的解析式为 y=2x2+8x+11.

1.五点法作二次函数图象的步骤
①确定顶点坐标,画出对称轴; ②找出关于对称轴对称的四个点; ③用平滑曲线连接五个点.

如何平移抛物线y=2x2可得到抛物线y=2(x+4)2+k? 【错解】 要得到y=2(x+4)2+k的图象,只需将y=2x2的图象向左平移 4个单位 【错因】 没有对k进行讨论,k的正负、上下是不同的.

【正解】 要得到y=2(x+4)2+k的图象,只需将y=2x2的图象向左平移4
个单位,当k>0时,向上平移k个单位,当k=0时,不作平移,当k<0时, 向下平移|k|个单位.

1.二次函数y=x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到的新图象 的二次函数是 ( )

?A.?y=x2+2
?C.?y=

B.?y=2x2
D.?y=x2-2

【答案】 ?B?

1 2 x ? 2

1 2.函数y= 2 x2-5x+1的对称轴和顶点坐标分别是 (
23 ? ? 23 ? ? ?5, ? 5, ? ? ? ?A.?x=5, ? ?B.?x=-5, 2 ? ? 2 ? ? 23 ? ? 23 ?C.?x=5, ? ?5, ??D.?x=-5, 5, ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 【答案】 ?A?

)

3.二次函数的顶点坐标为(2,-1),且过点(3,1),则解析式为 【答案】 y=2x2-8x+7

.

4.对于二次函数y=-x2+4x+3, (1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标. (2)说明其图象是由y=-x2的图象经过怎样的平移得来? 【解析】 ∵y=-(x-2)2+7, ∴(1)开口向下;对称轴方程为x=2;顶点坐标为(2,7); (2)先将y=-x2的图象向右平移2个单位,然后再向上平移7个单位,即可

得到y=-x2+4x+3的图象.


相关文档

更多相关文档

二次函数性质再研究2
二次函数性质的再研究(2)
二次函数性质再研究2[1]1
二次函数的性质再研究(一)
二次函数的性质再研究之函数图像
二次函数性质再研究(训练案1)
课时训练(第二章 第三节 二次函数性质的再研究)
2.4 二次函数性质的再研究
2.4.2二次函数性质的再研究
课时训练 二次函数性质的再研究与简单的幂函数(北师大版)
二次函数性质再研究(3)
二次函数性质的再研究(2)
二次函数性质的再研究(1)
二次函数图像和性质复习课件
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质
电脑版