暑期班第13讲.解析几何综合.文科.学生版


第十三讲 解析几何综合

高考要求

要求 层次 直线的倾斜角和斜率 过两点的直线斜率的计算公 式 两条直线平行或垂直的判定 直线方程的点斜式、两点式 及一般式 两条相交直线的交点坐标 两点间的距离公式、点到直 线的距离公式 两条平行线间的距离 解析几 何综合 圆的标准方程与一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 抛物线的定义及标准方程 抛物线的简单几何性质 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 B C C C B C B C C B C C A A A A ⑴直线与方程

重难点

①在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几 何要素. ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率 的计算公式. ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④掌握确定直线位置的几何要素, 掌握直线方程的几种形式, 了解斜截式与一次函数的关系. ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离. ⑵圆与方程 ①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能 根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. ⑶圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道 它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤理解数形结合的思想.

直线与圆锥曲线的位置关系

C

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知识精讲

(一) 主要方法:
解析几何问题的几个常用思想方法是:
⑴方程的思想: 大部分题目是以方程形式给出的曲线,因此利用两个方程联立,特别是直线与二次曲线(包括圆与圆锥曲线) 的联立后的一元二次方程,可以判断交点个数,可以利用韦达定理求得中点与弦长等,避免直接求交点的复 杂计算; ⑵函数的思想: 对于曲线上的动点,在变化过程中引入一些相互关联、相互制约的量,得到一些函数关系,可以有效地处理 一些解析几何问题; ⑶坐标思想: 坐标法是解析几何的基本方法,灵活运用坐标法可以解决很多问题,注意对向量的坐标的利用; ⑷对称思想: 圆锥曲线与圆都具有一定的对称性,利用对称有时可以达到减少变量,简化计算的效果; ⑸转化思想: 利用圆锥曲线的定义、利用平面几何知识将条件进行适当转化,可以达到明了题意,方便解题的目的. ⑹其它思想:参数思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、运动的观点,在恰当的时候运用可以达 到意想不到的效果. 总体来说,解析几何的思想方法很多,对综合性与灵活性要求较高,没有一些很固定的公式化的套路. 需要在解题中不断积累经验,多动手多尝试,同时注意思考总结不同题型的典型解题思路,并举一反三,最 终达到顺利解决解析几何压轴题的目的.

(二)典例分析:
【例1】 (2009 东城一模 12) 直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B ,该椭圆的离心率为_________.

【例2】 若椭圆

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e ? ,则实数 k 的值是 k ?8 9 2



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【例3】 (2009 浙江 6)
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 BF ? x 轴,直线 AB a 2 b2 ??? ? ??? ? 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2PB ,则椭圆的离心率是( )

已知椭圆

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

【例4】 (2009 山东 9)
x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点, a 2 b2 则双曲线的离心率为( )

设双曲线

A.

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

【例5】 (2009 海淀一模) 已知实数 x ,y 满足 A. y ?
b x a

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , ? 0 ? ,则下列不等式中恒成立的是( b a 2 b2 b b 2b B. y ? ? C. y ? ? x D. y ? x x 2a a a



【例6】 (2008 天津 13) 已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称,直线 4x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A ,

B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为



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【例7】 (2009 湖南 13) 过双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的一个焦点作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,切点分别为 A ,B .若 b a 2 b2 ,则双曲线 C 的离心率为 . ?AOB ? 120? ( O 是坐标原点)

【例8】 (2008 江西 7) 是( )

???? ????? ? 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围

A. (0 , 1)

? 1? B. ? 0 , ? ? 2?

? 2? C. ? 0 , ? ? 2 ? ? ?

? 2 ? ,? 1? D. ? ? 2 ?

【例9】 (2009 海淀一模 13) 已知圆 A : ? x ? 3? ? y 2 ? 2 ,点 P 是抛物线 C : y 2 ? 4 x 上的动点,过点 P 作圆 A 的两条切线,则两切
2

线夹角的最大值为



【例10】 (2007 江西)
x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c , 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根 2 a b 2 分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1 , x2 ) ( )

设椭圆

A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外

B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

【例11】 (2008 海南宁夏 11) 已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 那么点 P 到点 Q(2 , 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小 ? 值时,点 P 的坐标为( ) ?1 ? ?1 ? ? A. ? , 1? B. ? , ? C. (1, D. (1, 2) 1 2) ? ?4 ? ?4 ?

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【例12】 (2008 辽宁 10) 已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点, 则点 P 到点 A ? 0 ,2 ? 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( A.
17 2

) B. 3 C. 5 D.
9 2

【例13】 (2009 北京 8)点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 2 于 A , B 两点,且
PA ? AB ,则称点 P 为“ A 点” ,那么下列结论中正确的是(



A.直线 l 上的所有点都是“ A 点” B.直线 l 上仅有有限个点是“ A 点” C.直线 l 上的所有点都不是“ A 点” D.直线 l 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“ A 点”

【例14】 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A , B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆,其左 2

焦点为 F .若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x ? ?2 于点 Q .
⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵若点 P 的坐标为 (1 , 1) ,求证:直线 PQ 与圆 O 相切. ⑶试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A , B 重合) ,直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若 是,请证明;若不是,请说明理由.
Q P y

-2

A

F

O

B x

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【例15】 (2008 广东 17)
x2 y2 b ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 8( y ? b) .如图所示,过点 F (0 , ? 2) 作 x 轴 2b2 b 的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G .已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 . ⑴求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; ⑵设 A , B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 ?ABP 为直角三 角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

设 b ? 0 ,椭圆方程为

y F G

F1 A O B x

图4

【例16】 (2009 西城一模 19)
y2 1 ? 1 ,过点 M ? 0 , ? 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B . 4 ⑴若 l 与 x 轴相交于点 P ,且 P 是 AM 的中点,求直线 l 的方程; ??? ??? ? ? 1? ? ⑵设点 N ? 0 , ? ,求 NA ? NB 的最大值. 2? ?

已知椭圆 C : x 2 ?

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【例17】 (2009 朝阳一模 19) 已知 ?ABC 的三边长 CB , AB , CA 成等差数列,若点 A ,B 的坐标分别为 ? ?1, ? , ?1,0 ? . 0 ⑴求顶点 C 的轨迹 W 的方程; ⑵若线段 CA 的延长线交轨迹 W 于点 D ,记线段 CD 的垂直平分线 l 与 x 轴交点的横坐标为 x0 ,试将
x0 表示成直线 AC 的斜率 k 的表达式. 5 ⑶当 2 ≤ CB ? 时,求 x0 的取值范围. 2
l E A D O B x y C

【例18】 (2009 山东文 22)
x2 y 2 ? ? 1 ( a , b ? 0 )过 M 2 , 2 , N a 2 b2 ⑴求椭圆 E 的方程;

设椭圆 E :

?

?

?

6 , 两点, O 为坐标原点, 1

?

? ? ? ? ⑵是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A ,B , O ?B 且 A O 若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由. ⑶在⑵的条件下,求 AB 的取值范围.



家庭作业

习题1.

(2008 海南宁夏 2)双曲线
A. 3 2 B. 4 2

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( 10 2



C. 3 3

D. 4 3

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习题2.

(2009 东城一模 5)
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( 2 m 2?m A. m ? 2 或 m ? ?1 B. m ? ?2 C. ?1 ? m ? 2 D. m ? 2 或 ?2 ? m ? ?1

已知



习题3. (2009 辽宁 16)
已知 F 是双曲线 为 .
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A ?1,4 ? , P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值 4 12

习题4.

(2008 江苏 12)
在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,以点 O 为圆心, a 为半径作圆 a 2 b2

? a2 ? M .若过点 P ? ,0 ? 作圆 M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为 ? c ?



习题5.

(2009 广东 19)
3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上 2 一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12 .圆 Ck : x2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ?R) 的圆心为点 Ak . ⑴求椭圆 G 的方程; ⑵求 ?Ak F1 F2 的面积.

已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

⑶问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G ?请说明理由.

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月测备选

习题1.

(2008 重庆 8)
若双曲线 A. 2
x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为( 3 p



B. 3

C. 4

D. 4 2

习题2.

设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐 标是( )
C. (1 , 2) D. (2 , 2 2) A. (2 , ? 2 2) B. (1, ? 2)

??? ??? ? ?

习题3.

设椭圆

x2 y 2 2 a2 右焦点分别是 F1 和 F2 , 离心率 e ? , F2 到直线 l :x ? 点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 a2 b c

的距离为 2 ,其中 c 为椭圆的半焦距, ⑴求 a、b 的值;

???? ? ????? ???? ? ????? ????? ???? ? ? ? F ⑵设 M 、N 是 l 上的两个动点, 满足 F1M ? F2 N ? 0 , 证明: MN 取最小值时, 2 F1 ? F2 M ? F2 N ? 0 . 当

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